用向量的方法證明平行與垂直關(guān)系

1、用向量的方法證明平行與垂直 關(guān)系用向量的方法證明平行與垂直關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一：求平面的法向量 例1.已知平面a經(jīng)過三點(diǎn)A (1,2,3), B(2,0, 1), C(3, -2, 0),試求平面a的一個(gè)法向量.解：VA(1,2, 3), B(2,0, -1), C(3, 一2, 0),= (1, 2, 4), (L 2, 4),設(shè)平面a的法向量為刀=(x, y, z).依題意，應(yīng)有 n ab 0 9 n- AC = 0.x2y4z=02x4y3z=0令 y=L 則 x=2.平面a的一個(gè)法向量為Z2=1, 0).【反思】用待定系數(shù)法求平面的法向量，關(guān)鍵是在 平面內(nèi)找兩個(gè)不共線向量，列出方程組， 取其中

2、一組解(非零向量)即可.“用向量法”求法向量的解題步驟：(1)設(shè)平面的一個(gè)法向量為、(“z)；(2)找出(或求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線 的向量的坐標(biāo)=(4,4，q)3=a也,，2)； (3)根據(jù)法 白面的而會(huì)由方班組？=。./? = ()練習(xí)：，如圖所不，已知點(diǎn)A(a,0,0),8(0,A0),C(0,0,c), 求平面 ABC 的一個(gè)法向量。知識(shí)點(diǎn)二：利用向量方法證平行關(guān)系(1)線線平行:設(shè)直線心的方向向量分別為八b 9貝| /, /2 o a!/b o a =泥(2)線面平行:由線面平行的判定定理，只要證明已知直 線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量平行即可；設(shè)直線/的方向向量為，；，平面a的法向

3、量為 / 9 貝= 0 ；由共面向量定理知，只要證已知直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示即可.（3）面面平行：證明兩個(gè)平面的法向量平行，即兩個(gè)平面 的法向量入必；證明一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量分別和另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量 平行.例2在正方體A8CDA畫GR中,。是BR的中點(diǎn)，求證：4c面證方法一 ：* BiC = Df證法二:又 BiC a 面 0D3,面 ODG.證法三：如圖建系空間直角坐標(biāo)系D-xyz , 設(shè)正方體 的棱長(zhǎng)為1,則可得71X711*z B!1X(oc1 -2Jo71X -1亍OC11F?亍 J-設(shè)平面0D3的法向量為力=(xo, y0,n x

4、OD = 0,nxOCi = 0,1 1-2Xo2y-Zo=1 , 1-xo+-yo=O 令 x0=L 得 y=L zo= 1 1).：.n= (1,1,又 Bc 0.故 x2=8入，y+l=9 入，z-7=-12 入， 又(x-22+ (y+l2+ (z-72 x = 18, y = 17, z =-17, 即 B (18, 17, - 17).=342,得(17人)2= 342, 入 0,，入=2.4 .已知a=4, 5), b=(3, x, y)分別是直 線11、k的方向向量，若Lb,貝(1()Ax =6, y =1515B. x=3, y=Cx =3, y =1515D. x=6, y

5、=2 4答案D解析瓦則有a=-=3 xR1 R2,解方程得x=6, y=T.y乙5.若直線1的方向向量為=(1,0, 2),平面a的法向量為 =(2,0, 4),貝！J()A. laB. laC. 1 aD-1與a斜交答案 B 解析 V u= -2a,，a/ u9，1 _L a . 二、填空題6 .已知 A(l, L -1), B(2, 3,1),則直線 AB 的模為1的方向向量是.田4 fl 2 2 J 12答案 鼻，鼻，鼻或一鼻，一鼻，7解析，AB (1, 2 9 2), I AB 3 . 模為1的方向向量是土星，I AB I7 .已知平面a經(jīng)過點(diǎn)0(0, 0,0),且e=(l, 1,1)

6、 是a的法向量，M(x, y, z)是平面a內(nèi)任意一點(diǎn)， 則x, y, z滿足的關(guān)系式是.答案 x+y+z=0 解析 om #e=(x, y, z)(1,L 1) = x+y+z = 0.8 .若直線a和b是兩條異面直線，它們的方向向量分別是(1,1,1)和(2, -3, -2),則直線和b的公垂線(與兩異面直線垂直相交的直線)的 一個(gè)方向向量是答案（1,4, 一5）（答案不唯一）解析 設(shè)直線a和b的公垂線的一個(gè)方向向量為/2=（x, y, z）, a與b的方向向量分別為功，n29由題意得n /?!=0,2 = 0,即:x+y+z=O, 2x3y2z=0.解之得：y=4x, z = 5x,令

7、x=l, 貝!l有力=(1,4, -5).三、解答題9 .已知正方體ABCDA】BCDi的棱長(zhǎng) 為2, E、F分別是BB1、DD】的中點(diǎn),求證: （1）FC1 平面 ADE；（2）平面ADE 平面BCF.證明 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz, 則有 D(0,0,0) A(2, 0,0), C(0,2,0),Ci(0, 2, 2), E(2, 2,1),F(O, 0, 1), Bi(2, 2, 2),所以 fc. = (0, 2, 1), DA = (2, 0, 0), AE = (0, 2, 1) .(1)設(shè)ni=(X1, yi, Zi)是平面ADE的法向量，則n1，3，n荏，即；inDA

8、 = 2xi.=2yi + zi,xi = 0,zi = - 2 yi,令 zi=2,則 yi = -1,所以 z?i=（O, 1, 2）.因?yàn)?FCi 刀i = -2+2=0,所以FC.又因?yàn)镕C 平面ADE,所以FG平面ADE.（2） V 加=（2, 0, 0）,設(shè)!？= &2 , y2 , Z 2）是平面BCF的一個(gè)法向量.由r?，F(xiàn)C1,!？，標(biāo);，得m-FC = 2y2 + Z2 = 0,nvCB = 2心=0,令 Z2=2 得 y2= -L 所以力2=（0, 1,2）, 因?yàn)榱?=3，所以平面ADE平面BCF.10.如圖，在直三棱柱4萬。一4山Ci中，ABBBC9 AB=BC=29 = E 為 /K5修的中點(diǎn)，求證：平面AEG_L平面;隊(duì) AAiCiC.aL_Jc10.證明：由題建立如圖的空間直角坐標(biāo)系, 則 A（2, 0, 0）, Ai（2, 0, 1）, C（0, 2, 0）, Ci（0,2, 1), E(O, 0, i)貝!|= (0,0,1), AC=(-2,2,0),Aq =(- 2,2,1), A = (-2,0,-).設(shè)平面AAiGC的一個(gè)法向量為心（”z）則nx AA = 0nx 9 AC = 0Z = 0一 2x + 2y = 0.令 x=L 得 y = l.= （LL。）設(shè)平面AEG