ch-10-4函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開ppt課件

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開一、一、Taylor級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式二、初等函數(shù)的二、初等函數(shù)的Taylor展開展開三、例三、例 題題四、近似計(jì)算四、近似計(jì)算重點(diǎn)與難點(diǎn)：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)重點(diǎn)與難點(diǎn)：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 若存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以若存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以 f(x)為和函數(shù)，為和函數(shù)，問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?給

2、定給定 f (x),一、一、TaylorTaylor級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式1 1、TaylorTaylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù) nnxxaxxaaxfxxf)()()()(00100數(shù)數(shù)，且且的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 如如果果)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處任任意意階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnxxnxf)(!

3、)(000)( 稱稱為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 定義定義泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于 f(x) ?不一定不一定! !數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(1xSxfxrnn ,)(能能展展開開為為泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxSnn )(limxrnn)()(lim1xSxfnn

4、;0 )(000!)()()()(xxfiixixfxrnin 定義余項(xiàng)定義余項(xiàng)2 2、展開條件、展開條件數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析充分性充分性),()()(1xrxSxfnn )()(lim1xSxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxSnn 即即).()(xfxf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收斂收斂在在 nnnxx?, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)可展成點(diǎn)可展成點(diǎn)x),(0

5、0RxRxx 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析3 3、余項(xiàng)公式、余項(xiàng)公式數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析二、初等函數(shù)的二、初等函數(shù)的Taylor展開展開1、直接展開、直接展開步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(Mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析同理可以得到同理可以得到數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1()6(2 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析

6、數(shù)學(xué)分析2.2.間接法間接法 利用已知展開式利用已知展開式, , 通過代換通過代換, , 變形變形, , 逐項(xiàng)逐項(xiàng)求導(dǎo)求導(dǎo), , 逐項(xiàng)積分等方法逐項(xiàng)積分等方法, ,求展開式求展開式. .例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 xxdxx021arctan1 , 1,12)1(5131arctan1253 xnxxxxxnn xxdxx01)1ln(1 , 1(,)1(3121)1ln(132 xnxxxxxnn 121)1(513114nn數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分

7、析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析三、例題三、例題數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析,0, 10,arctan1)(2 xxxxxxf設(shè)設(shè).4)1(121的的和和的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，并并求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnx展展開開成成試試將將)(xf)1 , 1(,)1(11022 xxxnnn 1 , 1,2) 1()(arctanarctan01201 xnxdxxxnnnx,)1()1(1)(122121212 nnnnnnnnxxxf解解例例數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 121121212)1()1(1nnnnnnnnxx1 , 1,)1(2112241 xxnnnn 1 , 1,)1(21)(12241 xxxfnnnn2141

8、)1(2141)1(12 fnnn數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析);21ln()1(2xxy 練習(xí)練習(xí);11arctan)()2(xxxf 其其收收斂斂區(qū)區(qū)間間：的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，并并指指出出將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成 x).1()3(xedxdx );21ln()1ln(xx ;11)(2xxf );|(|!1!110 xnxxenxennxnnx數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析四、近似計(jì)算四、近似計(jì)算數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析五、小結(jié)五、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于和函數(shù)的條件泰勒級(jí)數(shù)收斂于和函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法.數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析思考題思考題1. 1. 舉例說明冪級(jí)數(shù)經(jīng)運(yùn)算后所得舉例說明冪級(jí)數(shù)經(jīng)運(yùn)算后所得的冪級(jí)數(shù)收斂域改變。的冪級(jí)數(shù)收斂域改變。2. 2. 什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？ 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析思考題解答思考題解答例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域分別是但它們的收斂域分別是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 1. 2. 2. 從已