立體幾何3—5講點(diǎn)、線面地位置關(guān)系

1、第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【2013年高考會(huì)這樣考】1 本講以考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為主，同時(shí)考查邏輯推理能力與空間想象能力.2 有時(shí)考查應(yīng)用公理、定理證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面的問題.3 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1 掌握平面的基本性質(zhì)，在充分理解本講公理、推論的基礎(chǔ)上結(jié)合圖形理解點(diǎn)、線、面的位 置關(guān)系及等角定理.2 異面直線的判定與證明是本部分的難點(diǎn)，定義的理解與運(yùn)用是關(guān)鍵.基礎(chǔ)梳理1. 平面的基本性質(zhì)(1) 公理1 :如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi), 那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).(2) 公理2 :經(jīng)過不在同

2、一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(3) 公理3:如果兩個(gè)平面(不重合的兩個(gè)平面)有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且 所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2 :經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3 :經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.2 .直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類平行共面直線、相交異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(2)異面直線所成的角 定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn) 0作直線a'由，b ' b，把a(bǔ)'與)所成 的銳角或直角叫做異面直線a, b所成的角(或夾

3、角).n 范圍：0, 2.3. 直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況.4. 平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.5. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.6. 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).修擻爆兩種方法異面直線的判定方法一；.一(1) A與平面內(nèi)一點(diǎn)B.(2) 反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面:三個(gè)作用公理.1.的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在. 平面內(nèi).(2)公理一 2 一的作用:公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法. 公理-3-

4、旳作用:判定兩平面相交；作-兩.平面相交的交線;證明多點(diǎn)共線.精彩文檔雙基自測1 (人教 A 版教材習(xí)題改編 )下列命題是真命題的是 ()A 空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C .一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面D .梯形一定是平面圖形解析 空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面， A 錯(cuò)；空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確 定一個(gè)平面， B 錯(cuò)；經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面， C 錯(cuò)；故 D 正確.答案 D2. 已知a, b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b( ).A .一定是異面直線B. 一定是相交直線C .不可能是平行直線D .不可能是相交直線解析

5、由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b /c, 則a /b，與已知a、b為異面直線相矛盾.答案 C3. (2011 浙江下列命題中錯(cuò)誤的是().A .如果平面a丄平面B，那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面 BB.如果平面a不垂直于平面B，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 BC .如果平面a丄平面Y，平面B丄平面Y， aGB= l，那么I丄平面丫D .如果平面a丄平面B，那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面B解析 對(duì)于D,若平面a丄平面B，則平面a內(nèi)的直線可能不垂直于平面B，甚至可能平行于平 面B，其余選項(xiàng)均是正確的.答案 D4. （2011 武漢月考如果兩條異

6、面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直 線（）.A. 12 對(duì) B. 24 對(duì) C. 36 對(duì) D . 48 對(duì)解析因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们胰鐖D所示，與AB異面的直線有BiCi; CCi, A1D1, DDi四條,12 X4正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線= 24（對(duì)）.答案 B5. 兩個(gè)不重合的平面可以把空間分成 E分.答案 3或4* a KAQI.IIAJNGTANJIIJDA0XI *02 * 考向探究導(dǎo)析考向一平面的基本性質(zhì)【例1】?正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是（

7、）.A .三角形B.四邊形C .五邊形D .六邊形審題視點(diǎn)過正方體棱上的點(diǎn)P、Q、R的截面要和正方體的每個(gè)面有交線. 解析w如圖所示，作RG/PQ交CiDi于G,連接QP并延長與CB交于M，連接MR交BBi于E, 連接PE、RE為截面的部分外形.同理連PQ并延長交CD于N，連接NG交DD i于F,連接QF，F(xiàn)G.截面為六邊形PQFGRE.答案 D工 畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可 確定作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快的確定交線的位置.【訓(xùn)練1】 下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是

8、 解析A Q B在圖中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點(diǎn)不共面.可證中四邊 形PQRS為梯形；中可證四邊形PQRS為平行四邊形；中如圖所示取 AiA與BC的中點(diǎn)為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形.答案考向二異面直線【例2】?如圖所示,4B正方體ABCDAiBiCiDi中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn).問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；DiB和CCi是否是異面直線？說明理由.審題視點(diǎn)第問，連結(jié)MN , AC，證MN /AC，即AM與CN共面；第問可采用反證法.解D,n-1B,7cA£(1) 不是異面直線.理由如下：連

9、接 MN、AiCi、AC.VM、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MN /A1C1.又 VA1A 綉 C1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1/AC，.MN /AC，A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故 AM和CN不是異面直線.(2) 是異面直線.證明如下：'ABCDA1B1C1D1 是正方體，B、C、C1、D1 不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面a,使D1B?平面a, CC1?平面a， D1， B、C、C1 a，與 ABCDA 1B1C1D1 是正方體矛盾.假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線.丁 m證明兩直線為異面直線的方法 (1)定義法(不易操作)反證法：先假設(shè)兩條

10、直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過 嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.【訓(xùn)練2】 在下圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有 上所有正確答案的序號(hào))解析 如題干圖(1)中，直線GH /MN ;圖(2)中，G、H、N三點(diǎn)共面，但 M?面GHN，因此直線GH與MN異面;圖中，連接MG，GM /HN，因此GH與MN共面;圖中，G、M、N共面，但H?面GMN，GH與MN 異面.所以圖(2)、中GH與MN 異面.答案考向三異面直線所成的角【例3】? (2011 寧波調(diào)研正方體ABCDAiBiCiDi中.

11、(1)求AC與A1D所成角的大??；若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.審題視點(diǎn)(1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計(jì)算.可證A1C1與EF垂直.如圖所示，連接 ABi, BiC，由ABCDAiBiCiDi是正方體,易知AiD /BiC,從而BiC與AC所成的角就是AC與AiD所成的角.'ABi = AC = BiC,/Bi CA = 60 ° 即AiD與AC所成的角為60如圖所示，連接 AC、BD，在正方體ABCDAiBiCiDi 中,AC 丄 BD，AC /AiCi,E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，EF/BD ,：EF丄 AC./E

12、F± AiCi.即AiCi與EF所成的角為90 °亠亠蚩求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖 中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面 直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.【訓(xùn)練3】A是壬CD平面外的一點(diǎn)，E, F分別是BC, AD的中點(diǎn).求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC丄BD , AC = BD，求EF與BD所成的角.證明 假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與 BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與 A是壬CD平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線 EF與

13、BD是異面直線.解如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接EG、FG,則EG/BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角.1在Rt竺GF中，由EG= FG = ：AC，求得ZFEG= 45。，即異面直線EF與BD所成的角為45考向四 點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共點(diǎn)的證明【例4】？正方體ABCDA iBiCiDi 中,E、F分別是AB和AAi的中點(diǎn).求證:(1) E、C、Di、F四點(diǎn)共面；(2) CE、DiF、DA 三線共點(diǎn).審題視點(diǎn)(i)由EF/CDi可得；先證CE與DiF相交于P,再證P AD.證明如圖，連接EF，CDi, AiB.E、F分別是AB、AAi的中點(diǎn),EF/BA1.又 AiB

14、/DiC,.£F/CDi,£、C、Di、F四點(diǎn)共面. TEF/CD1, EFvCDi,CE與DiF必相交，設(shè)交點(diǎn)為 P,則由 P CE, CE?平面 ABCD , 得P 平面ABCD .同理P平面ADD 1A1.又平面ABCD G平面ADD iAi = DA ,P直線DA,.CE、DiF、DA三線共點(diǎn).丁m 要證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上，也就是利用平面的基本性質(zhì)3，即證點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上.或者選擇其中兩點(diǎn)確定一直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上.B FF、G【訓(xùn)練4】 如圖所示，已知空間四邊形 ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)CF CG

15、2分別是邊Be、CD上的點(diǎn)，且眇CD=3，求證：三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明 £、H分別為邊AB、AD的中點(diǎn),1CF回綉2BD，而CBCG 2CD 二 3，F(xiàn)G 2BD = 3，且 FGBD.四邊形EFGH為梯形，從而兩腰EF、GH必相交于一點(diǎn)P.直線 EF，EF?平面 ABC,：P 平面 ABC.同理，P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交線AC上，故EF、GH、AC三直線交于一點(diǎn).矗氏 KACTIjZMUANXIANGTUPO03 R 考題專項(xiàng)突破閱卷報(bào)告10 點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全致誤【問題診斷】 由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮

16、，這與在平面上考慮點(diǎn)、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會(huì)導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷.【防范措施】 借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析.【示例】？(2011 四丿)|ll，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是().A . l1 丄 l2 , 12 丄 l3? l1 /l3B. l1 丄 12，l2 /l3? l1 丄 l3C . I1 /I2l3? l1， l2， l3 共面D . l1，l2，l3 共點(diǎn)？ l1，l2，l3 共面錯(cuò)因 受平面幾何知識(shí)限制，未能全面考慮空間中的情況.實(shí)錄甲同學(xué)：A乙同學(xué)：C 精彩文

17、檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案丙同學(xué)：D.正解 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故 A錯(cuò)；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故 C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三 條側(cè)棱，故D錯(cuò).答案 B【試一試】（2010 江西過正方體ABCDAiBiCiDi的頂點(diǎn)A作直線I，使I與棱AB，AD，AAi所成的角都相等，這 樣的直線I可以作（）.A . 1條B. 2條C . 3條D . 4條 嘗試解答如圖，連結(jié)體對(duì)角線 ACi，顯然ACi與棱AB、AD，AAi所成的角都相等，所 成角的正切值都為2.聯(lián)想正方體的其他體

18、對(duì)角線，如連結(jié)BDi，則BDi與棱BC、BA、BBi所成的角都相等,vBBi /AAi, BC /AD，體對(duì)角線BDi與棱AB、AD、AAi所成的角都相等，同理，體對(duì)角線AiC、DBi也與棱AB、AD、AAi所成的角都相等，過A點(diǎn)分別作BDi、AiC、DBi的平行線都滿足題意，故這樣的 直線I可以作4條.答案 D第4講 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)【2013年高考會(huì)這樣考】1.考查空間直線與平面平行，面面平行的判定及其性質(zhì).2 .以解答題的形式考查線面的平行關(guān)系.3 .考查空間中平行關(guān)系的探索性問題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1.熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會(huì)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，解答過

19、 程中敘述的步驟要完整，避免因條件書寫不全而失分.2 .學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化，牢記解決問 題的根源在“定理”.H A KAOl 2IZHUDAOXILJE01 * 考基自主導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)梳理1.平面與平面的位置關(guān)系有相交、平行兩種情況.2 .直線和平面平行的判定(1) 定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線平行于平面;(2)判定定理：a? a，b? a,且 a/b? a /a;其他判定方法：all p； a? a? a / 3.3 .直線和平面平行的性質(zhì)定理：a/a, a? B, aGB= I? a /I.4 .兩個(gè)平面平行的判定(1) 定義：兩個(gè)平面沒有

20、公共點(diǎn)，稱這兩個(gè)平面平行；(2) 判定定理：a? a, b? a, anb = M , a/B b / B? all B；推論：a nb = M , a, b? a, a' n'如，a ',b'? B, a /a',b /b ? a / B.5. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 a / B, a? a? a / B;(2) a/B, 丫na= a, 丫n B= b ? a /b.6. 與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a丄 a, b丄 a? a /b；aX a, a丄 B? a / B.=肋修擻除一個(gè)關(guān)系平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系:兩個(gè)防范(1) 在推證線面平行.時(shí)，.一定要

21、強(qiáng)調(diào)直線不在.平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤(2) 把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,.則直線與 交線平行，一雙基自測1 .(人教A版教材習(xí)題改編)下面命題中正確的是(). 若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行； 若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行； 若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行； 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.A B C. D 解析 中兩個(gè)平面可以相交， 是兩個(gè)平面平行的定義， 是兩個(gè)平面平行的判定定理答案 D2 .平面a/平面B, a? a, b?

22、B,貝U直線a, b的位置關(guān)系是().A .平行B.相交C .異面D .平行或異面答案 D3. (2012 銀川質(zhì)檢在空間中，下列命題正確的是().A .若 a / a，b /a，貝U b / aB.若 a / a， b / a， a? B， b? B，則 BaC .若 a / B， b / a，貝U b / BD .若 a / B， a? a，貝U a / B解析 若a /a，b /a，則b /a或b? a,故A錯(cuò)誤；由面面平行的判定定理知，B錯(cuò)誤；若a / B, b / a,則 b / B或 b? B,故 C 錯(cuò)誤.答案 D4. (2012 溫州模擬已知m、n為兩條不同的直線，a、B為兩個(gè)

23、不同的平面，則下列命題中正確的是().A. m /n , m 丄 a? n 丄 aB. a/B， m?a， n?B? m/nC. m 丄 a, m 丄 n?n /aD. m? a, n? a, m n /p? aB解析選項(xiàng)A中，如圖，n /m , m丄a? n丄a定成立，A正確；選項(xiàng)B中，如圖，a/ p, m? a, n? p? m與n互為異面直線，二B不正確；選項(xiàng) C中，如圖，m丄a, m丄nm / p, n /p? a與 p相交，：D 不? n? a, C不正確；選項(xiàng) D中，如圖，m? a, n? a,正確.答案 A5. (2012 衡陽質(zhì)檢在正方體 ABCDAiBiCiDi中，E是DDi

24、的中點(diǎn)，貝U BDi與平面ACE的位置關(guān)系為.解析如圖.連接AC、BD交于 O點(diǎn)，連結(jié)OE,因?yàn)镺E /BDi, 而 OE?平面ACE, BDi?平面ACE, 所 以BDi /平面ACE.答案平行H 州 KAQXIANIGTA 制削 OKI D2 1 考向探究導(dǎo)析考向一 直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例1】? (2011 天津改編如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn).求證：PB/平面ACM .審題視點(diǎn)連接MO，證明PB/MO即可.證明 連接BD ,MO.在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又M為PD的中點(diǎn)，所以PB/MO

25、 .因?yàn)镻B?平面ACM ,MO ?平面ACM，所以PB /平面ACM .八利用判定定理時(shí)關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.可先直觀判斷平面內(nèi)是否 已有，若沒有，貝嚅作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線 作一平面找其交線.【訓(xùn)練1】如圖，若PA丄平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF /平面PCE. 證明取PC的中點(diǎn)M，連接ME、MF，1則 FM /CD 且 FM = 一CD.2a1 又 VAE /CD 且 AE =一CD2 FM綉AE，即四邊形AFME是平行四邊形.AF/ME，又 VAF?平面 PCE, EM?平面 PCE,A

26、F / 平面 PCE.考向二平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例2】?如圖,虬在正方體ABCDAiBiCiDi中，M、N、P分別為所在邊的中點(diǎn).求證：平面MNP /平面AiCiB；審題視點(diǎn)證明MN /AiB,MP /CiB.證明 連接DiC，則MN為DDiC的中位線,MN /DiC.又DiC/AiB,：MN /AiB.同理，MP /CiB.而MN 與MP相交，MN , MP在平面 MNP內(nèi)，AiB, CiB在平面 AiCiB內(nèi).平面MNP /平面 AiCiB.證明面面平行的方法有：(1) 面面平行的定義；(2) 面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè) 平面平行

27、；(3) 利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4) 兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.【訓(xùn)練2】如圖，在三棱柱ABCAiBiCi中，E, F, G, H分別是AB , AC, A1B1, A1C1的中點(diǎn)，求證:(1) B, C, H , G四點(diǎn)共面；(2) 平面 EFAi / 平面 BCHG .證明 (1) VGH 是AiBiCi 的中位線，二 GH /BiCi.又BiCi /BC,.GH /BC,B, C, H , G四點(diǎn)共面.tE、F分別為AB、AC的中點(diǎn)， EF/BC,EF?平面 BCHG , BC?平面 BCHG

28、 ,EF /平面 BCHG.vAiG綉EB,.四邊形AiEBG是平行四邊形，AiE/GB. vAiE?平面 BCHG , GB?平面 BCHG.AE /平面BCHG.vAiEAEF= E,a平面 EFAi /平面 BCHG.考向三線面平行中的探索問題【例3】?如圖所示，在三棱柱 ABCAiBiCi中，AiA丄平面 ABC，若D是棱CCi的中點(diǎn)，問在棱 AB上是否存在點(diǎn)E,使DE/平面ABiCi ?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.審題視點(diǎn)取AB、BBi的中點(diǎn)分別為E、F,證明平面DEF /平面ABiCi即可.解存在點(diǎn)E,且E為AB的中點(diǎn).F面給出證明:如圖，取BBi的中點(diǎn)F,連接

29、DF，則 DF /BiCi.AB的中點(diǎn)為E,連接EF，則 EF/ABi.Bi Ci與ABi是相交直線，平面 DEF /平面ABiCi.而 DE?平面 DEF, ADE / 平面ABiCi.=2 解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出 發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果 找不到符合題目結(jié)果要求的條件（出現(xiàn)矛盾），則不存在.【訓(xùn)練3】如圖,BMC在四棱錐PABCD中，底面是平行四邊形,PA丄平面 ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使NM /平面ACE?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存

30、在，請(qǐng)說明理由.解 在PD上存在一點(diǎn)E,使得NM /平面ACE.證明如下：如圖，取PD的中點(diǎn)E,連接NE，EC，AE，1因?yàn)镹，E分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以NE綉?AD.1又在平行四邊形ABCD 中, CM綉2AD所以NE綉MC，即四邊形MCEN是平行四邊形.所以NM綉EC.又EC?平面ACE，NM ?平面ACE，所以MN /平面ACE， 即在PD上存在一點(diǎn)E,使得NM /平面ACE.沖科 NLAOTIZMUANXIANGTUPO a-03 R 考題專項(xiàng)突破規(guī)范解答13怎樣證明線線、線面、面面平行與垂直的綜合性問題【問題研究】 高考對(duì)平行、垂直關(guān)系的考查主要以線面平行、線面垂直為核心，以多面

31、體為 載體結(jié)合平面幾何知識(shí)，考查判定定理、性質(zhì)定理等內(nèi)容，難度為中低檔題目【解決方案】利用定理證明線面關(guān)系時(shí)要注意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，尤其注意對(duì)正棱柱、正棱錐等特殊幾何體性質(zhì)的靈活運(yùn)用，進(jìn)行空間線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化【示例】？（本題滿分12分）（2011 山東如圖,在四棱臺(tái)ABCDAiBiCiDi中,DiD丄平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形,AB = 2AD ,AD = AiBi，/BAD = 60(1) 證明：AAi 丄 BD ;證明：CC1/平面A1BD.'& ：吵笫第（1）問轉(zhuǎn)化為證明BD垂直A1A所在平面；第 問在平面A1BD內(nèi)尋找一條線與CC1平行.解答示范證明

32、（1）因?yàn)镈1D丄平面ABCD，且BD?平面ABCD ,所以D1D丄BD.（1分）又因?yàn)?AB = 2AD，/BAD = 60 ° ,在ABD 中，由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 2AD ABcos 60。書AD2，所以 AD2+ BD2 =AB2,因此AD丄BD.（4分）又 AD AD1D = D ,所以BD丄平面ADD1A1.又 AA1?平面 ADD 1A1 ,故AA1丄BD.（6分）如圖，連結(jié)AC , A1C1,設(shè) AC ABD = E,連結(jié) EA1,實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，1所以 EC=AC.（8 分）2由棱臺(tái)定義及AB = 2AD = 2A

33、iBi知A1C1/EC且AiCi = EC,所以四邊形AiECCi為平行四邊形，（io分）因此 CCi /EAi.又因?yàn)镋Ai?平面AiBD ,CCi?平面 AiBD ,所以CCi /平面AiBD.（i2分）3丿"證明線面關(guān)系不能僅僅考慮線面關(guān)系的判定和性質(zhì)，更要注意對(duì)幾何體的幾何特征 的靈活應(yīng)用證明的依據(jù)是空間線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理另外根據(jù)幾何體的數(shù)據(jù)， 通過計(jì)算也可得到線線垂直的關(guān)系，所以要注意對(duì)幾何體中的數(shù)據(jù)的正確利用.【試一試】（20i0 安徽如圖，在多面體 ABCDEF中，四邊形 ABCD是正方形，AB = 2EF= 2，EF/AB，EF丄FB，ZBFC= 90 &#

34、176;,BF= FC，H 為 BC 的中點(diǎn).（i）求證：FH /平面EDB;求證：AC丄平面EDB ；求四面體BDEF的體積.嘗試解答 證明 設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，則G為AC的中點(diǎn).連EG，GH，由于H為1BC的中點(diǎn)，故GH銹AB.21又 EF綉AB,：EF綉 GH.四邊形EFHG為平行四邊形.EG/FH , 而 EG?平面 EDB,AFH /平面 EDB.證明 由四邊形ABCD為正方形，有AB丄BC.又 EF/AB,：EF丄BC.而EF丄FB,：EF丄平面BFC,：EF丄FH.AB丄FH.又BF= FC, H為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)H 丄 BC.FH 丄平面 ABCD.FH丄 AC.又 FH /E

35、G,.AC 丄EG.又 AC丄BD , EGABD = G,：AC丄平面 EDB.解 VEF± FB,/BFC = 90 ° , BF丄平面 CDEF.BF為四面體BDEF的高.又 BC = AB = 2 ,：BF= FC b.精品資料。歡迎使用。21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)精品資料。歡迎使用。21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)立體兒何直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【2013年高考會(huì)這樣考】1 以選擇題、填空題的形式考查垂直關(guān)系的判定，經(jīng)常與命題或充要條件相結(jié)合.2 以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定考查空間想象能力、邏輯思

36、維能力，考查轉(zhuǎn)化 與化歸思想的應(yīng)用能力.3 能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一 些有關(guān)空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理的簡單命題.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1 垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€(gè)解答題出現(xiàn)，所以是高考的熱點(diǎn)，是復(fù) 習(xí)的重點(diǎn)縱觀歷年來的高考題，立體幾何中沒有難度過大的題，所以復(fù)習(xí)要抓好三基：基 礎(chǔ)知識(shí)，基本方法，基本能力.2 要重視和研究數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在本講中“化歸”思想尤為重要，不論何種“垂直” 都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關(guān)系是解題的突破口.* j kAOJ»Zi2huoaOXU

37、3; * * 彳01考基自主導(dǎo)學(xué)於老譽(yù)記【毅學(xué)相饋基礎(chǔ)梳理1 .直線與平面垂直(1) 判定直線和平面垂直的方法 定義法. 利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直. 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.(2) 直線和平面垂直的性質(zhì) 直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線. 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平 垂直于同一直線的兩平面平行.2 .斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角.3 .平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法 定義法 利用判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線

38、，則這兩個(gè)平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.肋摩擻博一個(gè)關(guān)系垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系判定判定線線垂直面面垂直線面垂直性質(zhì)性質(zhì)三類證法(1) 證明線線垂直的方法 定義：兩條直線所成的角為90 ° ; 平面幾何中證明線線垂直的方法； 線面垂直的性質(zhì)：a丄a, b? a? a丄b ； 線面垂直的性質(zhì)：a丄a, b /a? a丄b.(2) 證明線面垂直的方法 線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線都垂直？ a丄a；m、n? a, m Gn = A 判定定理1 :? I丄a；l丄m , I丄n 判定定理2: a/b , a丄a

39、? b丄a; 面面平行的性質(zhì)：a / B, a丄a? a丄B； 面面垂直的性質(zhì)：a丄B, aG I, a? a, a丄I? a丄(3) 證明面面垂直的方法 利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角； 判定定理：a? a, a丄B? a丄B.雙基自測1.（人教A版教材習(xí)題改編）下列條件中，能判定直線I丄平面a的是（）.A . I與平面a內(nèi)的兩條直線垂直B. I與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直C . I與平面a內(nèi)的某一條直線垂直D . I與平面a內(nèi)任意一條直線垂直解析 由直線與平面垂直的定義，可知 D 正確答案 D2 . （2012 安慶月考在空間中，下列命題正確的是（）.A .平行直線的平行投影重

40、合B.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C .垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D .垂直于同一平面的兩條直線平行解析 選項(xiàng)A，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項(xiàng) B，兩個(gè)相交平面的交 線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個(gè)平面；選項(xiàng)C,兩個(gè)相交平面可以同時(shí)垂直于同一個(gè)平面；選項(xiàng) D 正確答案 D3. （2012 蘭州模擬用a，b，c表示三條不同的直線，Y表示平面，給出下列命題： 若 a /b，b /c，貝U a /c； 若a丄b， b丄c，貝U a丄c； 若 a / y， b / y，貝U a / b ； 若a丄y b丄丫，貝U a /b.其中真命題的序號(hào)是 （）.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A B C

41、 D 解析 由公理4知是真命題在空間內(nèi)a丄b , b丄c,直線a、c的關(guān)系不確定，故是假 命題.由a /丫，b /丫，不能判定a、b的關(guān)系，故是假命題.是直線與平面垂直的性質(zhì)定理. 答案 C4. （2011 聊城模擬設(shè)a、b、c表示三條不同的直線，a、B表示兩個(gè)不同的平面，貝U下列命 題中不正確的是（）.A.b? B，a丄bB.? b 丄cc是a在B內(nèi)的射影b /cC. b? a ? c / ac? aa / aD.? b 丄 ab丄a解析 由a / a，b丄a可得b與a的位置關(guān)系有：b / a， b? a， b與a相交，所以D不正確.答案 D5. 如圖，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,則

42、圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為 , 解析 由線面垂直知，圖中直角三角形為 4個(gè). 答案4KAOXIANGTAIMJIUOAOXI D2 R 考向探究導(dǎo)析考向一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】? (2011 天津改編如圖，在四棱錐PABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，/ ADC = 45 °,AD = AC = 1, O為AC的 中點(diǎn)，PO丄平面ABCD.證明：AD丄平面PAC.審題視點(diǎn)只需證AD丄AC,再利用線面垂直的判定定理即可.證明 vzADC = 45 °，且AD = AC = 1./DAC = 90 °，即AD 丄 AC,又PO丄平面ABCD , AD?平

43、面ABCD ,PO 丄 AD，而 AC APO = O,AD丄平面PAC.K篤 n (1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理； a /b , a丄a? b丄a；a/ B, a丄a? a丄B；面面垂直的性質(zhì).(2)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直.【訓(xùn)練1】如圖，已知BD丄平面ABC,1MC 綉2BD，AC=BC,N是棱AB的中點(diǎn).求證：CN丄AD.證明 vBD丄平面 ABC, CN?平面ABC,.BD丄CN. 又VAC = BC, N是AB的中點(diǎn).CN 丄AB.又 VBD AAB = B,CN丄平面ABD .而 AD?平面 ABD ,/-CN 丄 AD.考向二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

44、【例2】?如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD丄平面ABCD , AB /DC,AD是等邊三角形，已知BD = 2AD = 8 , AB = 2DC = 4 ：5.M 是PC上的一點(diǎn)，證明：平面 MBD丄平面PAD.審題視點(diǎn)證明BD丄平面PAD，根據(jù)已知平面PAD丄平面ABCD，只要證明BD丄AD即可.證明在AABD中，由于AD所以 AD2 + BD2 = AB2.故 AD 丄BD.又平面PAD丄平面ABCD ,平面PAD G平面ABCD = AD , BD?平面ABCD ,所以BD丄平面精彩文檔PAD.又BD?平面MBD，故平面 MBD丄平面PAD.亍 n 面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直，線

45、面垂直的證明方法主要有：判定定理法、平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面）、面面垂直性質(zhì)定理法,本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核 心方法.【訓(xùn)練2】如圖所示，在長方體 ABCDAiBiCiDi 中，AB = AD = 1，AAi = 2，M 是棱 CCi 的中點(diǎn). 證明：平面ABM丄平面AiBiM .證明 vAiBil平面 BiCiCB，BM?平面 BiCiCB,：AiBi 丄BM，由已知易得Bi M =吃，又 BM = -；BC2+ CM2= ：2，BiB = 2，BiM2 + BM2 = BiB2，ABiM 丄

46、 BM .又vAiBi ABiM = Bi，ABM 丄平面 AiBiM .而BM?平面ABM，平面ABM丄平面AiBiM.考向三 平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】?如圖,在四面體ABCD中，CB = CD , AD丄BD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn).求證：(1)直線EF/平面ACD ;平面EFC丄平面BCD.審題視點(diǎn)第問需證明EF/AD ;第問需證明BD丄平面EFC.證明 (1)在ABD中，因?yàn)镋、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，所以 EF/AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，所以直線EF/平面ACD.在ABD中，因?yàn)锳D丄BD，EF/AD，所以EF丄BD.在BCD中，因?yàn)镃D = CB

47、，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，所以CF丄BD.因?yàn)镋F?平面EFC，CF?平面EFC,EF與CF交于點(diǎn)F,所以BD丄平面EFC.又因?yàn)锽D?平面BCD，所以平面EFC丄平面BCD.解答立體幾何綜合題時(shí)，要學(xué)會(huì)識(shí)圖、用圖與作圖.圖在解題中起著非常重要的作 用，空間平行、垂直關(guān)系的證明，都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合，準(zhǔn)確識(shí)圖，靈活利用幾何 體的結(jié)構(gòu)特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關(guān)系是證明的關(guān)鍵.【訓(xùn)練3】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF/AC, AB = ：'2 , CE= EF= 1.(1) 求證：AF /平面BDE;求證：CF丄平面BDE.證明(1)設(shè)AC與BD交于

48、點(diǎn)G.1因?yàn)?EF/AG,且 EF= 1 , AG =一AC = 1.2所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF/EG.因?yàn)镋G?平面BDE, AF?平面BDE,所以AF/平面BDE.(2) 如圖，連接FG.因?yàn)?EF/CG, EF= CG= 1 ,且 CE=1,所以四邊形CEFG為菱形.所以CF丄EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD 丄AC.又因?yàn)槠矫鍭CEF丄平面ABCD , 且平面ACEFA平面ABCD = AC , 所以BD丄平面ACEF.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案所以CF丄BD.又 BD GEG= G.所以CF丄平面BDE.考向四線面角【例4】？(2012 無錫模擬如圖，四棱錐PABCD的底

49、面是正方形，PD丄底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB 上.求證：平面AEC丄平面PDB ;當(dāng)PD = “ ：；2AB，且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.審題視點(diǎn)(1)轉(zhuǎn)化為證明AC丄平面PDB; (2)AE與平面PDB所成的角即為AE與它在平面PDB上的射影所成的角.證明四邊形ABCD是正方形，AC 丄 BD,PD丄底面 ABCD，PD 丄 AC.又 PD ABD = D，AC丄平面PDB.又 AC?平面AEC，平面AEC丄平面PDB.解設(shè)AC ABD = O，連接OE.精彩文檔由知，AC丄平面PDB于點(diǎn)0,/AE0為AE與平面PDB所成的角.1點(diǎn) 0、E 分別為 DB、PB 的中點(diǎn),SD，且 0E= 2PD.又VPD丄底面ABCD ,.QE丄底