立體幾何3—5講點、線面地位置關系

1、第3講 空間點、直線、平面之間的位置關系【2013年高考會這樣考】1 本講以考查點、線、面的位置關系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力.2 有時考查應用公理、定理證明點共線、線共點、線共面的問題.3 能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.【復習指導】1 掌握平面的基本性質，在充分理解本講公理、推論的基礎上結合圖形理解點、線、面的位 置關系及等角定理.2 異面直線的判定與證明是本部分的難點，定義的理解與運用是關鍵.基礎梳理1. 平面的基本性質(1) 公理1 :如果一條直線上的兩點在一個平面內, 那么這條直線上所有的點都在這個平面內.(2) 公理2 :經(jīng)過不在同

2、一條直線上的三點，有且只有一個平面.(3) 公理3:如果兩個平面(不重合的兩個平面)有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且 所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2 :經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3 :經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.2 .直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類平行共面直線、相交異面直線：不同在任何一個平面內(2)異面直線所成的角 定義：設a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點 0作直線a'由，b ' b，把a'與)所成 的銳角或直角叫做異面直線a, b所成的角(或夾

3、角).n 范圍：0, 2.3. 直線與平面的位置關系有平行、相交、在平面內三種情況.4. 平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況.5. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.6. 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.修擻爆兩種方法異面直線的判定方法一；.一(1) A與平面內一點B.(2) 反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面:三個作用公理.1.的作用：檢驗平面；判斷直線在平面內；由直線在平面內判斷直線上的點在. 平面內.(2)公理一 2 一的作用:公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法. 公理-3-

4、旳作用:判定兩平面相交；作-兩.平面相交的交線;證明多點共線.精彩文檔雙基自測1 (人教 A 版教材習題改編 )下列命題是真命題的是 ()A 空間中不同三點確定一個平面B.空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面C .一條直線和一個點能確定一個平面D .梯形一定是平面圖形解析 空間中不共線的三點確定一個平面， A 錯；空間中兩兩相交不交于一點的三條直線確 定一個平面， B 錯；經(jīng)過直線和直線外一點確定一個平面， C 錯；故 D 正確.答案 D2. 已知a, b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b( ).A .一定是異面直線B. 一定是相交直線C .不可能是平行直線D .不可能是相交直線解析

5、由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b /c, 則a /b，與已知a、b為異面直線相矛盾.答案 C3. (2011 浙江下列命題中錯誤的是().A .如果平面a丄平面B，那么平面a內一定存在直線平行于平面 BB.如果平面a不垂直于平面B，那么平面a內一定不存在直線垂直于平面 BC .如果平面a丄平面Y，平面B丄平面Y， aGB= l，那么I丄平面丫D .如果平面a丄平面B，那么平面a內所有直線都垂直于平面B解析 對于D,若平面a丄平面B，則平面a內的直線可能不垂直于平面B，甚至可能平行于平 面B，其余選項均是正確的.答案 D4. （2011 武漢月考如果兩條異

6、面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直 線（）.A. 12 對 B. 24 對 C. 36 對 D . 48 對解析因為各棱具有相同的位置且如圖所示，與AB異面的直線有BiCi; CCi, A1D1, DDi四條,12 X4正方體共有12條棱，排除兩棱的重復計算，共有異面直線= 24（對）.答案 B5. 兩個不重合的平面可以把空間分成 E分.答案 3或4* a KAQI.IIAJNGTANJIIJDA0XI *02 * 考向探究導析考向一平面的基本性質【例1】?正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是（

7、）.A .三角形B.四邊形C .五邊形D .六邊形審題視點過正方體棱上的點P、Q、R的截面要和正方體的每個面有交線. 解析w如圖所示，作RG/PQ交CiDi于G,連接QP并延長與CB交于M，連接MR交BBi于E, 連接PE、RE為截面的部分外形.同理連PQ并延長交CD于N，連接NG交DD i于F,連接QF，F(xiàn)G.截面為六邊形PQFGRE.答案 D工 畫幾何體的截面，關鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可 確定作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快的確定交線的位置.【訓練1】 下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是

8、 解析A Q B在圖中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面.可證中四邊 形PQRS為梯形；中可證四邊形PQRS為平行四邊形；中如圖所示取 AiA與BC的中點為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形.答案考向二異面直線【例2】?如圖所示,4B正方體ABCDAiBiCiDi中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點.問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；DiB和CCi是否是異面直線？說明理由.審題視點第問，連結MN , AC，證MN /AC，即AM與CN共面；第問可采用反證法.解D,n-1B,7cA£(1) 不是異面直線.理由如下：連

9、接 MN、AiCi、AC.VM、N分別是A1B1、B1C1的中點，MN /A1C1.又 VA1A 綉 C1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1/AC，.MN /AC，A、M、N、C在同一平面內，故 AM和CN不是異面直線.(2) 是異面直線.證明如下：'ABCDA1B1C1D1 是正方體，B、C、C1、D1 不共面.假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面a,使D1B?平面a, CC1?平面a， D1， B、C、C1 a，與 ABCDA 1B1C1D1 是正方體矛盾.假設不成立，即D1B與CC1是異面直線.丁 m證明兩直線為異面直線的方法 (1)定義法(不易操作)反證法：先假設兩條

10、直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過 嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.【訓練2】 在下圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有 上所有正確答案的序號)解析 如題干圖(1)中，直線GH /MN ;圖(2)中，G、H、N三點共面，但 M?面GHN，因此直線GH與MN異面;圖中，連接MG，GM /HN，因此GH與MN共面;圖中，G、M、N共面，但H?面GMN，GH與MN 異面.所以圖(2)、中GH與MN 異面.答案考向三異面直線所成的角【例3】? (2011 寧波調研正方體ABCDAiBiCiDi中.

11、(1)求AC與A1D所成角的大小；若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.審題視點(1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計算.可證A1C1與EF垂直.如圖所示，連接 ABi, BiC，由ABCDAiBiCiDi是正方體,易知AiD /BiC,從而BiC與AC所成的角就是AC與AiD所成的角.'ABi = AC = BiC,/Bi CA = 60 ° 即AiD與AC所成的角為60如圖所示，連接 AC、BD，在正方體ABCDAiBiCiDi 中,AC 丄 BD，AC /AiCi,E、F分別為AB、AD的中點，EF/BD ,：EF丄 AC./E

12、F± AiCi.即AiCi與EF所成的角為90 °亠亠蚩求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖 中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移計算異面 直線所成的角通常放在三角形中進行.【訓練3】A是壬CD平面外的一點，E, F分別是BC, AD的中點.求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC丄BD , AC = BD，求EF與BD所成的角.證明 假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與 BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內，這與 A是壬CD平面外的一點相矛盾故直線 EF與

13、BD是異面直線.解如圖，取CD的中點G，連接EG、FG,則EG/BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角.1在Rt竺GF中，由EG= FG = ：AC，求得ZFEG= 45。，即異面直線EF與BD所成的角為45考向四 點共線、點共面、線共點的證明【例4】？正方體ABCDA iBiCiDi 中,E、F分別是AB和AAi的中點.求證:(1) E、C、Di、F四點共面；(2) CE、DiF、DA 三線共點.審題視點(i)由EF/CDi可得；先證CE與DiF相交于P,再證P AD.證明如圖，連接EF，CDi, AiB.E、F分別是AB、AAi的中點,EF/BA1.又 AiB

14、/DiC,.£F/CDi,£、C、Di、F四點共面. TEF/CD1, EFvCDi,CE與DiF必相交，設交點為 P,則由 P CE, CE?平面 ABCD , 得P 平面ABCD .同理P平面ADD 1A1.又平面ABCD G平面ADD iAi = DA ,P直線DA,.CE、DiF、DA三線共點.丁m 要證明點共線或線共點的問題，關鍵是轉化為證明點在直線上，也就是利用平面的基本性質3，即證點在兩個平面的交線上.或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在此直線上.B FF、G【訓練4】 如圖所示，已知空間四邊形 ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點CF CG

15、2分別是邊Be、CD上的點，且眇CD=3，求證：三條直線EF、GH、AC交于一點.實用標準文案證明 £、H分別為邊AB、AD的中點,1CF回綉2BD，而CBCG 2CD 二 3，F(xiàn)G 2BD = 3，且 FGBD.四邊形EFGH為梯形，從而兩腰EF、GH必相交于一點P.直線 EF，EF?平面 ABC,：P 平面 ABC.同理，P平面ADC.P在平面ABC和平面ADC的交線AC上，故EF、GH、AC三直線交于一點.矗氏 KACTIjZMUANXIANGTUPO03 R 考題專項突破閱卷報告10 點、直線、平面位置關系考慮不全致誤【問題診斷】 由于空間點、直線、平面的位置關系是在空間考慮

16、，這與在平面上考慮點、線的位置關系相比復雜了很多，特別是當直線和平面的個數(shù)較多時，各種位置關系錯綜復雜、相互交織，如果考慮不全面就會導致一些錯誤的判斷.【防范措施】 借助正方體、三棱錐、三棱柱模型來分析.【示例】？(2011 四丿)|ll，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是().A . l1 丄 l2 , 12 丄 l3? l1 /l3B. l1 丄 12，l2 /l3? l1 丄 l3C . I1 /I2l3? l1， l2， l3 共面D . l1，l2，l3 共點？ l1，l2，l3 共面錯因 受平面幾何知識限制，未能全面考慮空間中的情況.實錄甲同學：A乙同學：C 精彩文

17、檔實用標準文案丙同學：D.正解 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故 A錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側棱，故 C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三 條側棱，故D錯.答案 B【試一試】（2010 江西過正方體ABCDAiBiCiDi的頂點A作直線I，使I與棱AB，AD，AAi所成的角都相等，這 樣的直線I可以作（）.A . 1條B. 2條C . 3條D . 4條 嘗試解答如圖，連結體對角線 ACi，顯然ACi與棱AB、AD，AAi所成的角都相等，所 成角的正切值都為2.聯(lián)想正方體的其他體

18、對角線，如連結BDi，則BDi與棱BC、BA、BBi所成的角都相等,vBBi /AAi, BC /AD，體對角線BDi與棱AB、AD、AAi所成的角都相等，同理，體對角線AiC、DBi也與棱AB、AD、AAi所成的角都相等，過A點分別作BDi、AiC、DBi的平行線都滿足題意，故這樣的 直線I可以作4條.答案 D第4講 直線、平面平行的判定及其性質【2013年高考會這樣考】1.考查空間直線與平面平行，面面平行的判定及其性質.2 .以解答題的形式考查線面的平行關系.3 .考查空間中平行關系的探索性問題.【復習指導】1.熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質，會把空間問題轉化為平面問題，解答過

19、 程中敘述的步驟要完整，避免因條件書寫不全而失分.2 .學會應用“化歸思想”進行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉化，牢記解決問 題的根源在“定理”.H A KAOl 2IZHUDAOXILJE01 * 考基自主導學基礎梳理1.平面與平面的位置關系有相交、平行兩種情況.2 .直線和平面平行的判定(1) 定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行于平面;(2)判定定理：a? a，b? a,且 a/b? a /a;其他判定方法：all p； a? a? a / 3.3 .直線和平面平行的性質定理：a/a, a? B, aGB= I? a /I.4 .兩個平面平行的判定(1) 定義：兩個平面沒有

20、公共點，稱這兩個平面平行；(2) 判定定理：a? a, b? a, anb = M , a/B b / B? all B；推論：a nb = M , a, b? a, a' n'如，a ',b'? B, a /a',b /b ? a / B.5. 兩個平面平行的性質定理 a / B, a? a? a / B;(2) a/B, 丫na= a, 丫n B= b ? a /b.6. 與垂直相關的平行的判定(1)a丄 a, b丄 a? a /b；aX a, a丄 B? a / B.=肋修擻除一個關系平行問題的轉化關系:兩個防范(1) 在推證線面平行.時，.一定要

21、強調直線不在.平面內，否則，會出現(xiàn)錯誤(2) 把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,.則直線與 交線平行，一雙基自測1 .(人教A版教材習題改編)下面命題中正確的是(). 若一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 若一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行； 若一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； 若一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行.A B C. D 解析 中兩個平面可以相交， 是兩個平面平行的定義， 是兩個平面平行的判定定理答案 D2 .平面a/平面B, a? a, b?

22、B,貝U直線a, b的位置關系是().A .平行B.相交C .異面D .平行或異面答案 D3. (2012 銀川質檢在空間中，下列命題正確的是().A .若 a / a，b /a，貝U b / aB.若 a / a， b / a， a? B， b? B，則 BaC .若 a / B， b / a，貝U b / BD .若 a / B， a? a，貝U a / B解析 若a /a，b /a，則b /a或b? a,故A錯誤；由面面平行的判定定理知，B錯誤；若a / B, b / a,則 b / B或 b? B,故 C 錯誤.答案 D4. (2012 溫州模擬已知m、n為兩條不同的直線，a、B為兩個

23、不同的平面，則下列命題中正確的是().A. m /n , m 丄 a? n 丄 aB. a/B， m?a， n?B? m/nC. m 丄 a, m 丄 n?n /aD. m? a, n? a, m n /p? aB解析選項A中，如圖，n /m , m丄a? n丄a定成立，A正確；選項B中，如圖，a/ p, m? a, n? p? m與n互為異面直線，二B不正確；選項 C中，如圖，m丄a, m丄nm / p, n /p? a與 p相交，：D 不? n? a, C不正確；選項 D中，如圖，m? a, n? a,正確.答案 A5. (2012 衡陽質檢在正方體 ABCDAiBiCiDi中，E是DDi

24、的中點，貝U BDi與平面ACE的位置關系為.解析如圖.連接AC、BD交于 O點，連結OE,因為OE /BDi, 而 OE?平面ACE, BDi?平面ACE, 所 以BDi /平面ACE.答案平行H 州 KAQXIANIGTA 制削 OKI D2 1 考向探究導析考向一 直線與平面平行的判定與性質【例1】? (2011 天津改編如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點，M為PD的中點.求證：PB/平面ACM .審題視點連接MO，證明PB/MO即可.證明 連接BD ,MO.在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O為BD的中點.又M為PD的中點，所以PB/MO

25、 .因為PB?平面ACM ,MO ?平面ACM，所以PB /平面ACM .八利用判定定理時關鍵是找平面內與已知直線平行的直線.可先直觀判斷平面內是否 已有，若沒有，貝嚅作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線 作一平面找其交線.【訓練1】如圖，若PA丄平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點，求證：AF /平面PCE. 證明取PC的中點M，連接ME、MF，1則 FM /CD 且 FM = 一CD.2a1 又 VAE /CD 且 AE =一CD2 FM綉AE，即四邊形AFME是平行四邊形.AF/ME，又 VAF?平面 PCE, EM?平面 PCE,A

26、F / 平面 PCE.考向二平面與平面平行的判定與性質【例2】?如圖,虬在正方體ABCDAiBiCiDi中，M、N、P分別為所在邊的中點.求證：平面MNP /平面AiCiB；審題視點證明MN /AiB,MP /CiB.證明 連接DiC，則MN為DDiC的中位線,MN /DiC.又DiC/AiB,：MN /AiB.同理，MP /CiB.而MN 與MP相交，MN , MP在平面 MNP內，AiB, CiB在平面 AiCiB內.平面MNP /平面 AiCiB.證明面面平行的方法有：(1) 面面平行的定義；(2) 面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個 平面平行

27、；(3) 利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4) 兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化.【訓練2】如圖，在三棱柱ABCAiBiCi中，E, F, G, H分別是AB , AC, A1B1, A1C1的中點，求證:(1) B, C, H , G四點共面；(2) 平面 EFAi / 平面 BCHG .證明 (1) VGH 是AiBiCi 的中位線，二 GH /BiCi.又BiCi /BC,.GH /BC,B, C, H , G四點共面.tE、F分別為AB、AC的中點， EF/BC,EF?平面 BCHG , BC?平面 BCHG

28、 ,EF /平面 BCHG.vAiG綉EB,.四邊形AiEBG是平行四邊形，AiE/GB. vAiE?平面 BCHG , GB?平面 BCHG.AE /平面BCHG.vAiEAEF= E,a平面 EFAi /平面 BCHG.考向三線面平行中的探索問題【例3】?如圖所示，在三棱柱 ABCAiBiCi中，AiA丄平面 ABC，若D是棱CCi的中點，問在棱 AB上是否存在點E,使DE/平面ABiCi ?若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由.審題視點取AB、BBi的中點分別為E、F,證明平面DEF /平面ABiCi即可.解存在點E,且E為AB的中點.F面給出證明:如圖，取BBi的中點F,連接

29、DF，則 DF /BiCi.AB的中點為E,連接EF，則 EF/ABi.Bi Ci與ABi是相交直線，平面 DEF /平面ABiCi.而 DE?平面 DEF, ADE / 平面ABiCi.=2 解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設求解的結果存在，從這個結果出 發(fā)，尋找使這個結論成立的充分條件，如果找到了符合題目結果要求的條件，則存在；如果 找不到符合題目結果要求的條件（出現(xiàn)矛盾），則不存在.【訓練3】如圖,BMC在四棱錐PABCD中，底面是平行四邊形,PA丄平面 ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點在線段PD上是否存在一點E，使NM /平面ACE?若存在，請確定點E的位置；若不存

30、在，請說明理由.解 在PD上存在一點E,使得NM /平面ACE.證明如下：如圖，取PD的中點E,連接NE，EC，AE，1因為N，E分別為PA，PD的中點，所以NE綉?AD.1又在平行四邊形ABCD 中, CM綉2AD所以NE綉MC，即四邊形MCEN是平行四邊形.所以NM綉EC.又EC?平面ACE，NM ?平面ACE，所以MN /平面ACE， 即在PD上存在一點E,使得NM /平面ACE.沖科 NLAOTIZMUANXIANGTUPO a-03 R 考題專項突破規(guī)范解答13怎樣證明線線、線面、面面平行與垂直的綜合性問題【問題研究】 高考對平行、垂直關系的考查主要以線面平行、線面垂直為核心，以多面

31、體為 載體結合平面幾何知識，考查判定定理、性質定理等內容，難度為中低檔題目【解決方案】利用定理證明線面關系時要注意結合幾何體的結構特征，尤其注意對正棱柱、正棱錐等特殊幾何體性質的靈活運用，進行空間線面關系的相互轉化【示例】？（本題滿分12分）（2011 山東如圖,在四棱臺ABCDAiBiCiDi中,DiD丄平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形,AB = 2AD ,AD = AiBi，/BAD = 60(1) 證明：AAi 丄 BD ;證明：CC1/平面A1BD.'& ：吵笫第（1）問轉化為證明BD垂直A1A所在平面；第 問在平面A1BD內尋找一條線與CC1平行.解答示范證明

32、（1）因為D1D丄平面ABCD，且BD?平面ABCD ,所以D1D丄BD.（1分）又因為 AB = 2AD，/BAD = 60 ° ,在ABD 中，由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 2AD ABcos 60。書AD2，所以 AD2+ BD2 =AB2,因此AD丄BD.（4分）又 AD AD1D = D ,所以BD丄平面ADD1A1.又 AA1?平面 ADD 1A1 ,故AA1丄BD.（6分）如圖，連結AC , A1C1,設 AC ABD = E,連結 EA1,實用標準文案因為四邊形ABCD為平行四邊形，1所以 EC=AC.（8 分）2由棱臺定義及AB = 2AD = 2A

33、iBi知A1C1/EC且AiCi = EC,所以四邊形AiECCi為平行四邊形，（io分）因此 CCi /EAi.又因為EAi?平面AiBD ,CCi?平面 AiBD ,所以CCi /平面AiBD.（i2分）3丿"證明線面關系不能僅僅考慮線面關系的判定和性質，更要注意對幾何體的幾何特征 的靈活應用證明的依據(jù)是空間線面關系的判定定理和性質定理另外根據(jù)幾何體的數(shù)據(jù)， 通過計算也可得到線線垂直的關系，所以要注意對幾何體中的數(shù)據(jù)的正確利用.【試一試】（20i0 安徽如圖，在多面體 ABCDEF中，四邊形 ABCD是正方形，AB = 2EF= 2，EF/AB，EF丄FB，ZBFC= 90 &#

34、176;,BF= FC，H 為 BC 的中點.（i）求證：FH /平面EDB;求證：AC丄平面EDB ；求四面體BDEF的體積.嘗試解答 證明 設AC與BD交于點G，則G為AC的中點.連EG，GH，由于H為1BC的中點，故GH銹AB.21又 EF綉AB,：EF綉 GH.四邊形EFHG為平行四邊形.EG/FH , 而 EG?平面 EDB,AFH /平面 EDB.證明 由四邊形ABCD為正方形，有AB丄BC.又 EF/AB,：EF丄BC.而EF丄FB,：EF丄平面BFC,：EF丄FH.AB丄FH.又BF= FC, H為BC的中點，F(xiàn)H 丄 BC.FH 丄平面 ABCD.FH丄 AC.又 FH /E

35、G,.AC 丄EG.又 AC丄BD , EGABD = G,：AC丄平面 EDB.解 VEF± FB,/BFC = 90 ° , BF丄平面 CDEF.BF為四面體BDEF的高.又 BC = AB = 2 ,：BF= FC b.精品資料。歡迎使用。21世紀教育網(wǎng)21世紀教育網(wǎng)21世紀教育網(wǎng)21世紀教育網(wǎng)精品資料。歡迎使用。21世紀教育網(wǎng)21世紀教育網(wǎng)21世紀教育網(wǎng)21世紀教育網(wǎng)立體兒何直線、平面垂直的判定及其性質【2013年高考會這樣考】1 以選擇題、填空題的形式考查垂直關系的判定，經(jīng)常與命題或充要條件相結合.2 以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定考查空間想象能力、邏輯思

36、維能力，考查轉化 與化歸思想的應用能力.3 能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，運用公理、定理和已獲得的結論，證明一 些有關空間中線面垂直的有關性質和判定定理的簡單命題.實用標準文案【復習指導】1 垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€解答題出現(xiàn)，所以是高考的熱點，是復 習的重點縱觀歷年來的高考題，立體幾何中沒有難度過大的題，所以復習要抓好三基：基 礎知識，基本方法，基本能力.2 要重視和研究數(shù)學思想、數(shù)學方法在本講中“化歸”思想尤為重要，不論何種“垂直” 都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關系是解題的突破口.* j kAOJ»Zi2huoaOXU

37、3; * * 彳01考基自主導學於老譽記【毅學相饋基礎梳理1 .直線與平面垂直(1) 判定直線和平面垂直的方法 定義法. 利用判定定理：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直. 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.(2) 直線和平面垂直的性質 直線垂直于平面，則垂直于平面內任意直線. 垂直于同一個平面的兩條直線平 垂直于同一直線的兩平面平行.2 .斜線和平面所成的角斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角.3 .平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法 定義法 利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線

38、，則這兩個平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的性質如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.肋摩擻博一個關系垂直問題的轉化關系判定判定線線垂直面面垂直線面垂直性質性質三類證法(1) 證明線線垂直的方法 定義：兩條直線所成的角為90 ° ; 平面幾何中證明線線垂直的方法； 線面垂直的性質：a丄a, b? a? a丄b ； 線面垂直的性質：a丄a, b /a? a丄b.(2) 證明線面垂直的方法 線面垂直的定義：a與a內任何直線都垂直？ a丄a；m、n? a, m Gn = A 判定定理1 :? I丄a；l丄m , I丄n 判定定理2: a/b , a丄a

39、? b丄a; 面面平行的性質：a / B, a丄a? a丄B； 面面垂直的性質：a丄B, aG I, a? a, a丄I? a丄(3) 證明面面垂直的方法 利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角； 判定定理：a? a, a丄B? a丄B.雙基自測1.（人教A版教材習題改編）下列條件中，能判定直線I丄平面a的是（）.A . I與平面a內的兩條直線垂直B. I與平面a內無數(shù)條直線垂直C . I與平面a內的某一條直線垂直D . I與平面a內任意一條直線垂直解析 由直線與平面垂直的定義，可知 D 正確答案 D2 . （2012 安慶月考在空間中，下列命題正確的是（）.A .平行直線的平行投影重

40、合B.平行于同一直線的兩個平面平行C .垂直于同一平面的兩個平面平行D .垂直于同一平面的兩條直線平行解析 選項A，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項 B，兩個相交平面的交 線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個平面；選項C,兩個相交平面可以同時垂直于同一個平面；選項 D 正確答案 D3. （2012 蘭州模擬用a，b，c表示三條不同的直線，Y表示平面，給出下列命題： 若 a /b，b /c，貝U a /c； 若a丄b， b丄c，貝U a丄c； 若 a / y， b / y，貝U a / b ； 若a丄y b丄丫，貝U a /b.其中真命題的序號是 （）.實用標準文案A B C

41、 D 解析 由公理4知是真命題在空間內a丄b , b丄c,直線a、c的關系不確定，故是假 命題.由a /丫，b /丫，不能判定a、b的關系，故是假命題.是直線與平面垂直的性質定理. 答案 C4. （2011 聊城模擬設a、b、c表示三條不同的直線，a、B表示兩個不同的平面，貝U下列命 題中不正確的是（）.A.b? B，a丄bB.? b 丄cc是a在B內的射影b /cC. b? a ? c / ac? aa / aD.? b 丄 ab丄a解析 由a / a，b丄a可得b與a的位置關系有：b / a， b? a， b與a相交，所以D不正確.答案 D5. 如圖，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,則

42、圖中直角三角形的個數(shù)為 , 解析 由線面垂直知，圖中直角三角形為 4個. 答案4KAOXIANGTAIMJIUOAOXI D2 R 考向探究導析考向一 直線與平面垂直的判定與性質【例1】? (2011 天津改編如圖，在四棱錐PABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，/ ADC = 45 °,AD = AC = 1, O為AC的 中點，PO丄平面ABCD.證明：AD丄平面PAC.審題視點只需證AD丄AC,再利用線面垂直的判定定理即可.證明 vzADC = 45 °，且AD = AC = 1./DAC = 90 °，即AD 丄 AC,又PO丄平面ABCD , AD?平

43、面ABCD ,PO 丄 AD，而 AC APO = O,AD丄平面PAC.K篤 n (1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理； a /b , a丄a? b丄a；a/ B, a丄a? a丄B；面面垂直的性質.(2)線面垂直的性質，常用來證明線線垂直.【訓練1】如圖，已知BD丄平面ABC,1MC 綉2BD，AC=BC,N是棱AB的中點.求證：CN丄AD.證明 vBD丄平面 ABC, CN?平面ABC,.BD丄CN. 又VAC = BC, N是AB的中點.CN 丄AB.又 VBD AAB = B,CN丄平面ABD .而 AD?平面 ABD ,/-CN 丄 AD.考向二平面與平面垂直的判定與性質

44、【例2】?如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD丄平面ABCD , AB /DC,AD是等邊三角形，已知BD = 2AD = 8 , AB = 2DC = 4 ：5.M 是PC上的一點，證明：平面 MBD丄平面PAD.審題視點證明BD丄平面PAD，根據(jù)已知平面PAD丄平面ABCD，只要證明BD丄AD即可.證明在AABD中，由于AD所以 AD2 + BD2 = AB2.故 AD 丄BD.又平面PAD丄平面ABCD ,平面PAD G平面ABCD = AD , BD?平面ABCD ,所以BD丄平面精彩文檔PAD.又BD?平面MBD，故平面 MBD丄平面PAD.亍 n 面面垂直的關鍵是線面垂直，線

45、面垂直的證明方法主要有：判定定理法、平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面）、面面垂直性質定理法,本題就是用的面面垂直性質定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核 心方法.【訓練2】如圖所示，在長方體 ABCDAiBiCiDi 中，AB = AD = 1，AAi = 2，M 是棱 CCi 的中點. 證明：平面ABM丄平面AiBiM .證明 vAiBil平面 BiCiCB，BM?平面 BiCiCB,：AiBi 丄BM，由已知易得Bi M =吃，又 BM = -；BC2+ CM2= ：2，BiB = 2，BiM2 + BM2 = BiB2，ABiM 丄

46、 BM .又vAiBi ABiM = Bi，ABM 丄平面 AiBiM .而BM?平面ABM，平面ABM丄平面AiBiM.考向三 平行與垂直關系的綜合應用【例3】?如圖,在四面體ABCD中，CB = CD , AD丄BD，點E、F分別是AB、BD的中點.求證：(1)直線EF/平面ACD ;平面EFC丄平面BCD.審題視點第問需證明EF/AD ;第問需證明BD丄平面EFC.證明 (1)在ABD中，因為E、F分別是AB、BD的中點，所以 EF/AD.又AD?平面ACD，EF?平面ACD，所以直線EF/平面ACD.在ABD中，因為AD丄BD，EF/AD，所以EF丄BD.在BCD中，因為CD = CB

47、，F(xiàn)為BD的中點，所以CF丄BD.因為EF?平面EFC，CF?平面EFC,EF與CF交于點F,所以BD丄平面EFC.又因為BD?平面BCD，所以平面EFC丄平面BCD.解答立體幾何綜合題時，要學會識圖、用圖與作圖.圖在解題中起著非常重要的作 用，空間平行、垂直關系的證明，都與幾何體的結構特征相結合，準確識圖，靈活利用幾何 體的結構特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關系是證明的關鍵.【訓練3】如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF/AC, AB = ：'2 , CE= EF= 1.(1) 求證：AF /平面BDE;求證：CF丄平面BDE.證明(1)設AC與BD交于

48、點G.1因為 EF/AG,且 EF= 1 , AG =一AC = 1.2所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF/EG.因為EG?平面BDE, AF?平面BDE,所以AF/平面BDE.(2) 如圖，連接FG.因為 EF/CG, EF= CG= 1 ,且 CE=1,所以四邊形CEFG為菱形.所以CF丄EG.因為四邊形ABCD為正方形，所以BD 丄AC.又因為平面ACEF丄平面ABCD , 且平面ACEFA平面ABCD = AC , 所以BD丄平面ACEF.實用標準文案所以CF丄BD.又 BD GEG= G.所以CF丄平面BDE.考向四線面角【例4】？(2012 無錫模擬如圖，四棱錐PABCD的底

49、面是正方形，PD丄底面ABCD，點E在棱PB 上.求證：平面AEC丄平面PDB ;當PD = “ ：；2AB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.審題視點(1)轉化為證明AC丄平面PDB; (2)AE與平面PDB所成的角即為AE與它在平面PDB上的射影所成的角.證明四邊形ABCD是正方形，AC 丄 BD,PD丄底面 ABCD，PD 丄 AC.又 PD ABD = D，AC丄平面PDB.又 AC?平面AEC，平面AEC丄平面PDB.解設AC ABD = O，連接OE.精彩文檔由知，AC丄平面PDB于點0,/AE0為AE與平面PDB所成的角.1點 0、E 分別為 DB、PB 的中點,SD，且 0E= 2PD.又VPD丄底面ABCD ,.QE丄底