立體幾何之空間夾角

1、第26練“空間角”攻略題型分析 高考展望空間角包括異面直線所成的角，線面角以及二面角，在高考中頻繁出 現(xiàn)，也是高考立體幾何題目中的難點所在掌握好本節(jié)內(nèi)容，首先要理解這些角的概念，其 次要弄清這些角的范圍，最后再求解這些角. 在未來的高考中，空間角將是高考考查的重點,借助向量求空間角，將是解決這類題目的主要方法.體驗高考CD將厶ACD翻折成 A' CD ,1 . （2015浙江）如圖，已知 ABC, D是AB的中點，沿直線 所成二面角A' CD B的平面角為 a則（）A . Z A' DB W aB . Z A ' DB > a C . Z A' C

2、B W aD. Z A' CB> a2 . （2016課標(biāo)全國乙）平面a過正方體 ABCD AiBiCiDi的頂點 ABCD = m, aQ平面ABBiAi = n,貝U m, n所成角的正弦值為（A, a/平面 CBiDi,)aQ平面A.132bF3 . (20i6課標(biāo)全國丙)如圖，四棱錐 P-ABCD中，PA丄底面 ABCD , AD / BC, AB = AD = AC =3, PA = BC = 4, M為線段 AD上一點，AM = 2MD , N為PC的中點.(i)證明MN /平面PAB;（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.高考必會題型題型一異面直線所成的角例i

3、在棱長為a的正方體ABCD AiBiCiDi中，求異面直線 BAi與AC所成的角.變式訓(xùn)練 i （20i5浙江）如圖，三棱錐 A BCD中，AB= AC = BD = CD = 3, AD = BC= 2,點M , N分別是AD , BC的中點，則異面直線 AN , CM所成的角的余弦值是 .題型二直線與平面所成的角 例2 如圖，已知四棱錐 P ABCD的底面為等腰梯形， AB /CD, AC丄BD，垂足為H , PH 是四棱錐的高，E為AD的中點. 證明：PE丄BC;若/ APB =Z ADB = 60°求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.變式訓(xùn)練2 如圖，平面 ABDE丄平面A

4、BC , ABC是等腰直角三角形， AB= BC = 4,四邊1形ABDE是直角梯形，BD / AE, BD丄BA, BD = qAE = 2,點0、M分別為CE、AB的中點.(1)求證：0D/平面ABC;(2)求直線CD和平面0DM所成角的正弦值；能否在EM上找到一點N，使得0N丄平面ABDE ?若能，請指出點 N的位置并加以證明； 若不能，請說明理由.題型三二面角例3(2016浙江)如圖，在三棱臺 ABC DEF中，平面 BCFE丄平面 ABC,/ ACB = 90°BE= EF = FC = 1, BC= 2, AC= 3.(1)求證：BF丄平面 ACFD ;求二面角B AD

5、F的平面角的余弦值.變式訓(xùn)練3如圖，長方體ABCD AiBiCiDi中，AAi= AD = 1 , AB = 2,點E是CiDi的中點.(1)求證：DE丄平面BCE; (2)求二面角 A EB C的大小高考題型精練1.在正方體 ABCD AiBiCiDi中，AiB與BiC所在直線所成角的大小是 ()A. 30 °B . 45C. 60 °D. 90°2 .在正方體 ABCD AiBiCiDi中，AiB與平面BBiDiD所成的角的大小是（）A. 90 ° B. 30 ° C. 45 ° D. 603 如圖所示,將等腰直角 ABC沿斜邊B

6、C上的高AD折成一個二面角,此時/ B ' AC = 60 °,那么這個二面角大小是（）A. 90B. 60° C. 45° D. 30°4.已知正三棱錐 S ABC中，E是側(cè)棱SC的中點，且SA丄BE,貝U SB與底面ABC所成角的 余弦值為（）if5 如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F、G、H分別為 AAi、AB、BBi、BiCi的 中點，則異面直線 EF與GH所成的角等于（）A. 45 ° B. 60 ° C. 90 ° D. i20A F M （5 題）6如圖， ABC是等腰直角三角形，

7、 AB = AC,/ BCD = 90 °且 BC = J3CD = 3,將厶ABC 沿BC的邊翻折，設(shè)點 A在平面BCD上的射影為點 M，若點M在厶BCD內(nèi)部（含邊界），則 點M的軌跡的最大長度等于 ;在翻折過程中，當(dāng)點 M位于線段BD上時，直線AB和CD所成角的余弦值等于 .7 .直三棱柱 ABC AiBiCi中，若/ BAC = 90 ° 2AB= 2AC= AAi，則異面直線 BAi與BiC所 成角的余弦值等于 .8.如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，已知PA丄底面ABCD , PA= i，底面ABCD是正方形,nPC與底面ABCD所成角的大小為；，則該四棱錐的體

8、積是 .69 .以等腰直角三角形 ABC斜邊BC上的高AD為折痕，使 AB ' D和厶ACD折成互相垂直 的兩個平面，則/ B ' AC =.10. 如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB= 1 , AC= 2, BC= 3, D、E 分別是 ACi 和 BBi 的中點，則直線 DE與平面BBiCiC所成的角為 .（i0 題）（ii 題）iii. (20i6 四川)如圖，在四棱錐 PABCD 中，AD / BC, / ADC = Z PAB= 90 ° BC = CD =qAD.E 為棱AD的中點，異面直線 PA與CD所成的角為90°(1) 在平面FAB內(nèi)找一點M，使得直線 CM /平面PBE,并說明理由；(2) 若二面角FCD A的大小為45°求直線FA與平面FCE所成角的正弦值.12. 如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABC