醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)方差分析 研

1、方差分析-多個樣本均數(shù)比較的假設(shè)檢驗(yàn)1. 基本概念t檢驗(yàn)解決了推斷兩個總體均數(shù)是否相等的問題，但實(shí)際工作中還會遇到需要推斷多個總體均數(shù)是否相等的問題。如：Ex1 為研究煤礦粉塵作業(yè)環(huán)境對塵肺的影響，將 18只大鼠隨機(jī)分到甲、乙、丙三個組，每組 6只，分別在地面辦公樓、煤碳倉庫和礦井下染塵， 12周后測量大鼠的全肺濕重，數(shù)據(jù)見下表，問不同環(huán)境下大鼠全肺濕重有無差別？返返回回甲組乙組丙組樣本觀測值4.24.55.63.34.43.63.34.24.7本例的問題是，要比較不同環(huán)境下大鼠的全肺濕重有無差別，即需要對下列假設(shè)作出推斷：H0：1= 2= 3 三種不同環(huán)境對大鼠的全肺濕重?zé)o影響ex2為研究克

2、拉霉素的抑菌效果，對 28個短小芽孢桿菌平板依據(jù)菌株的來源不同分成了 7個區(qū)組，每組 4個平板用隨機(jī)的方式分配給標(biāo)準(zhǔn)藥物高劑量組(SH)、標(biāo)準(zhǔn)藥物低劑量組 (SL)，以及克拉霉素高劑量組 (TH)、克拉霉素低劑量組 (TL)。給予不同的處理后，觀察抑菌圈的直徑，結(jié)果見下表，問（ 1）4種處理效果是否不同？（ 2）不同菌源之間抑菌圈的直徑大小是否不同？本例有兩問，需要對如下兩個假設(shè)作出推斷：1.H0：SL= SH= TL = TH 4種處理效果相同2.H0：1= 2= = 7 菌源對抑菌圈的直徑大小沒有影響區(qū)組SLSHTLTH118.0219.4118.0019.4618.72218.1220.

3、2018.9120.3819.40318.0919.5618.2119.6418.88418.3019.4118.2419.5018.86518.2619.5918.1119.5618.88618.0220.1218.1319.6018.97718.2319.9418.0619.5418.94這兩個例子都涉及到多個均數(shù)的比較問題。為了解決這類問題，我們先復(fù)習(xí)一下幾個相關(guān)的概念：試驗(yàn)指標(biāo)：要考察的指標(biāo)稱為試驗(yàn)指標(biāo) -例1為全肺濕重，例2為抑菌圈的直徑；因素：因素：影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為 因素因素-例1為組別，例2為藥物（及劑量）、菌株來源；水平：因素所處的狀態(tài)稱為該因素的水平 -例1組別這個因素

4、有3個不同的水平；例2藥物（及劑量）因素有4個水平，菌株來源有7個水平。在一項(xiàng)試驗(yàn)中，如果影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素只有一個，則稱該試驗(yàn)為 單因素試驗(yàn)單因素試驗(yàn)(例1)；如果影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素有多個，則稱該試驗(yàn)為 多因素試驗(yàn)多因素試驗(yàn)(例2)。2. 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析（單因素試驗(yàn)）完全隨機(jī)設(shè)計(jì)又稱為成組設(shè)計(jì)，即將受試對象隨機(jī)分配到處理因素的不同水平組中，比較處理因素各個水平組間均數(shù)有無顯著差別。這種設(shè)計(jì)只有一個處理因素，故稱為單因素試驗(yàn)。現(xiàn)在回到例1的問題：我們在因素 (組別)所處的每一水平下進(jìn)行了獨(dú)立試驗(yàn)，其結(jié)果是一隨機(jī)變量。如果將因素的每一水平分別視為一個總體，各總體的均值分別為1、2、3，則

5、表中數(shù)據(jù)可視為來自三個不同總體的樣本值。于是，例 1的問題即為檢驗(yàn)如下的假設(shè)：H0: 1= 2= 3H1: 1、2、3不全相等水平A1A2As樣本觀測值x11x12x1sx21x22x2s樣本總和T? 1T? 2T? s樣本均值總體均值1x?2x?sx?1?完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（單因素）多個均數(shù)比較的資料11nx22nxsnsx2?s?一般地，對于單因素試驗(yàn)，假設(shè)因素A有s個水平：A1，A2，As。在水平Aj(j=1,2,s)進(jìn)行nj次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如下的試驗(yàn)結(jié)果：假定各水平Aj均為正態(tài)總體N(j,2),方差分析的任務(wù)是對假設(shè)H0：1= 2= = s進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)s=2 即只有兩個總體時，我們采用的是

6、t檢驗(yàn)，所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：121212 2XXXXtnnS?這時，考察的是兩個樣本均值之間的差異。對于多個總體的情形，很自然地，我們需要考察多個樣本均值之間的差異。這需要對樣本數(shù)據(jù)中的變異進(jìn)行分析，即對所有數(shù)據(jù)的離均差平方和進(jìn)行分解。為此，考慮：水平A1A2As樣本觀測值x11x12x1sx21x22x2s樣本總和T? 1T? 2T? s樣本均值總體均值1x?2x?sx?1?完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（單因素）多個均數(shù)比較的資料11nx22nxsn sx2?s?111jnsijjixxn? ?11jnjijijxxn?211()jnsijjiSSxx? ?總總平方和（總變差）總均值各水平的均值可將總平方和

7、SS總分解為：SSSSSS?總組內(nèi)組間其中：水平A1A2As樣本觀測值x11x12x1sx21x22x2s樣本總和T? 1T? 2T? s樣本均值總體均值1x?2x?sx?1?完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（單因素）多個均數(shù)比較的資料11nx22nxsnsx2?s?211()jnsijjjiSSxx? ?組內(nèi)反映了各水平組內(nèi)每個樣本觀察值與其樣本均數(shù)之間的差異，故SS組內(nèi)稱為組內(nèi)平方和(又稱為誤差平方和)，其自由度為n-s；21()sjjjSSn xx?組間水平A1A2As樣本觀測值x11x12x1sx21x22x2s樣本總和T? 1T? 2T? s樣本均值總體均值1x?2x?sx?1?完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（單因素）多

8、個均數(shù)比較的資料11nx22nxsnsx2?s?反映了各水平下的樣本均值與總平均值之間的差異，即各水平下樣本均值之間的差異，故稱SS組間為組間平方和(又稱為因素A的效應(yīng)平方和)其自由度為s-1。如果假設(shè)H0：1= 2= = s成立，即各總體完全相同，這時，組間平方和SS組間反映的是抽樣誤差，它不應(yīng)該很大。反之，SS組間若很大，不能用抽樣誤差來解釋，則可認(rèn)為H0不成立。根據(jù)平方和分解式：SSSSSS?總組內(nèi)組間我們來分析一下如下的統(tǒng)計(jì)量：(1)()SSsMSFSSnsMS?組間組間組內(nèi)組內(nèi)MS組間稱為組間均方MS組內(nèi)稱為組內(nèi)均方如果F值遠(yuǎn)大于1，則說明SS組間很大，SS組內(nèi)很小，即SS總主要是由

9、各水平組之間的差異引起的，即認(rèn)為假設(shè)H0不成立；可以證明，如上定義的統(tǒng)計(jì)量FF（n-s , s-1）,故可利用這個統(tǒng)計(jì)量來對 H0進(jìn)行檢驗(yàn)。如果F值接近于1，則說明SS組間與SS組內(nèi)較為接近，而SS組內(nèi)反映的是隨機(jī)誤差，SS組間是由各水平之間的差異與隨機(jī)誤差兩部分構(gòu)成的，現(xiàn)在SS組間與SS組內(nèi)很接近，即說明SS組間主要由隨機(jī)誤差構(gòu)成，即水平之間的差異很小，因此沒有理由認(rèn)為H0不成立。(1)()SSsMSFSSnsMS?組間組間組內(nèi)組內(nèi)6.56282.52784.0350SSSSSS?組內(nèi)總組間下面將例完整地做一遍。1）作假設(shè)H0：1= 2= 3作業(yè)環(huán)境不影響大鼠全肺濕重。確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)0.052

10、）為計(jì)算F值，先計(jì)算出相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量的值21()2.5278sjjjSSn xx?組間211()6.5628jnsijjiSSxx? ?總4.03500.269183SSMSn s?組內(nèi)組內(nèi)2.52781.264131SSMSs?組間組間1.2644.700.269MSFMS?組間組內(nèi)3) 將算得的數(shù)據(jù)及相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的自由度填入下面的方差分析表：方差分析表變異來源平方和SS自由度df均方MSF值P值組間2.52821.2644.70 0.05組內(nèi)4.035150.269總6.563174) 查F界值表，得F0.05(2,15)3.68 4.70 = F從而知P 0.05于是拒絕H0，即認(rèn)為不同粉塵

11、環(huán)境影響大鼠的全肺濕重。3.隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)又稱為配伍組設(shè)計(jì)，是配對設(shè)計(jì)的擴(kuò)展。其設(shè)計(jì)方法是按兩個因素分組，一個是區(qū)組因素，一個是處理因素。具體做法是：按實(shí)驗(yàn)對象的自然屬性或?qū)?shí)驗(yàn)結(jié)果有影響的非研究因素設(shè)置區(qū)組，先將具有某種共同屬性的實(shí)驗(yàn)對象分配到同一個區(qū)組內(nèi)，再將各區(qū)組內(nèi)的實(shí)驗(yàn)對象隨機(jī)分配到各個不同的處理組中，每個實(shí)驗(yàn)對象接受一種處理，各處理組的實(shí)驗(yàn)對象數(shù)量相等。如ex2ex2為研究克拉霉素的抑菌效果，對 28個短小芽孢桿菌平板依據(jù)菌株的來源不同分成了 7個區(qū)組，每組 4個平板用隨機(jī)的方式分配給標(biāo)準(zhǔn)藥物高劑量組(SH)、標(biāo)準(zhǔn)藥物低劑量組 (SL)，以及克拉霉素高劑量組

12、(TH)、克拉霉素低劑量組 (TL)。給予不同的處理后，觀察抑菌圈的直徑，結(jié)果見下表，問（ 1）4種處理效果是否不同？（ 2）不同菌源之間抑菌圈的直徑大小是否不同？本例有兩問，需要對如下兩個假設(shè)作出推斷：1.H0：SL= SH= TL = TH 4種處理效果相同2.H0：1= 2= = 7 菌源對抑菌圈的直徑大小沒有影響區(qū)組SLSHTLTH118.0219.4118.0019.4618.72218.1220.2018.9120.3819.40318.0919.5618.2119.6418.88418.3019.4118.2419.5018.86518.2619.5918.1119.5618.8

13、8618.0220.1218.1319.6018.97718.2319.9418.0619.5418.94隨機(jī)區(qū)組的試驗(yàn)結(jié)果區(qū)組序號處理因素區(qū)組合計(jì)樣本均數(shù)總體均數(shù)1組2組g組1x11x12x1gB112x21x22x2gB22nxn1xn2xngBnn處理組合計(jì)T1T2Tg樣本均數(shù)總體均數(shù)12gnx?1x?2x?gx?1x?2x?一般地，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的試驗(yàn)結(jié)果見下表：假定處理組各水平Aj均為正態(tài)總體N(j,2),區(qū)組各水平Bk均為正態(tài)總體N(k,2),方差分析的任務(wù)是：對假設(shè)：H0：1= 2= =gH0：1= 2= n進(jìn)行檢驗(yàn)。與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的情形類似，我們將總平方和分解為：+SSSSSSS

14、S?處理組區(qū)組總誤差21()處理組gjjjSSn xx?SS處理組表示各處理組的樣本均值與全部觀測數(shù)據(jù)的總平均值之間的差異，這種差異是由不同處理組及隨機(jī)誤差所引起的，故稱SS處理組為處理組間平方和(又稱為處理因素的效應(yīng)平方和 )其自由度為g-1。其中21()區(qū)組niiiSSn xx?SS區(qū)組表示各區(qū)組的樣本均值與全部觀測數(shù)據(jù)的總平均值之間的差異，這種差異是由不同區(qū)組及隨機(jī)誤差所引起的，故稱SS區(qū)組為區(qū)組間平方和(又稱為區(qū)組因素的效應(yīng)平方和 )其自由度為n-1。v=g-1v=n -1SS誤差表示處理和區(qū)組兩個因素各水平組內(nèi)每個樣本觀察值與其樣本均數(shù)之間的差異，故SS誤差稱為誤差平方和，其自由度為

15、 (g-1)(n- 1)。于是，得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(1)(1)(1)SSgMSFSSgnMS?處理處理誤差誤差(1)(1)(1)SSnMSFSSgnMS?區(qū)組區(qū)組誤差誤差-處理區(qū)組總誤差SSSSSSSS?v=(g-1)(n- 1)例2即是一個隨機(jī)區(qū)組的方差分析問題。1）作假設(shè) 本例有兩問，需要對如下兩個假設(shè)作出推斷：1.H0：SL= SH= TL = TH 4種處理效果相同2.H0：1= 2= = 7 菌源對抑菌圈的直徑大小沒有影響檢驗(yàn)水準(zhǔn)：=0.052）計(jì)算相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，填入方差分析表中變異來源平方和SS自由度df均方MSF值P值處理16.117535.3725116.8950.01區(qū)組1.095

16、260.18253.970.05誤差0.8273180.04596總18.04273）確定P值，作出推斷結(jié)論查F界值表，得F0.01(3,18)=5.09116.859=F處理F0.05(6,18)=2.663.97=F區(qū)組從而對于處理組，按0.01的檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0，可認(rèn)為4種處理效果不全相同。對于區(qū)組，按0.05的檢驗(yàn)水準(zhǔn)拒絕H0，可認(rèn)為菌源對抑菌圈的直徑大小有影響。方差分析的應(yīng)用條件：1).各觀察值相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布；2).各組資料總體方差相等。注1：對于兩種不同設(shè)計(jì)的平方和分解，有：完全隨機(jī)設(shè)計(jì)：SS總SS處理SS組內(nèi)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)：SS總SS處理SS區(qū)組SS誤差由此可見，隨機(jī)區(qū)組

17、設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是：從組內(nèi)變異中分離出區(qū)組變異，使誤差變異減小，因而更容易發(fā)現(xiàn)處理組間的差別，提高統(tǒng)計(jì)效率。每個區(qū)組內(nèi)的若干個受試對象間具有良好的同質(zhì)性，組間的均衡性較強(qiáng)。注2：當(dāng)g=2時，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析的結(jié)果與兩樣本均數(shù)比較的t檢驗(yàn)等價，理論上有t 2=F。當(dāng)g=2時，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方差分析與配對設(shè)計(jì)資料的t檢驗(yàn)等價，理論上有t 2=F。4. 拉丁方設(shè)計(jì)資料的方差分析由g個拉丁字母排成的g*g方陣，方陣的每行每列中每個字母都只出現(xiàn)一次，這樣的方陣稱為g階拉丁方。如：DBCAACDBBDACCABDABCDBCDACDABDABC基本拉丁方拉丁方隨機(jī)調(diào)換某兩列（行）利用g階拉丁方可按行、列、拉丁

18、字母分別安排3個因素，每個因素有g(shù)個水平。如4階拉丁方可安排3個因素：一二三四1DBCA2ACDB3BDAC4CABDEx3 研究A、B、C、D四種食品以及甲、乙、丙、丁四種加工方法對小白鼠體重增加的影響。擬用 4窩小白鼠，每窩4只，每只小白鼠隨機(jī)喂養(yǎng)一種食品、隨機(jī)采用一種加工方法， 8周后觀察小白鼠的體重增加情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表。問食品種類是否影響小白鼠體重的增加？食品加工方法是否影響小白鼠體重的增加？不同窩別的小白鼠體重增加是否不同？窩別甲乙丙丁1D80B70C51A482A47C75D78B453B48D80A47C524C46A81B49D77本例有三問，需要對如下三個假設(shè)作出推斷：1

19、.H0：A= B= C = D四種食品對體重增加作用相同2.H0：1= 2= 3 = 4窩別對體重增加無影響3.H0：甲= 乙= 丙= 丁食品加工方法對體重增加無影響與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的情形類似，我們將總平方和（總變異）分解為：+SSSSSSSSSS?處理組列總行誤差其中SS處理組表示各處理組的樣本均值與全部觀測數(shù)據(jù)的總平均值之間的差異，這種差異是由不同處理組及隨機(jī)誤差所引起的，故稱SS處理組為處理組間平方和(又稱為處理因素的效應(yīng)平方和 )其自由度為g-1。SS行表示行因素各水平組的樣本均值與全部觀測數(shù)據(jù)的總平均值之間的差異，其自由度為g-1。SS列表示列因素各水平組的樣本均值與全部觀測數(shù)據(jù)的總平

20、均值之間的差異，其自由度為g-1。SS誤差表示各因素各水平組內(nèi)每個樣本觀察值與其樣本均數(shù)之間的差異，其自由度為 (g-1)(g- 2)。于是，得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(1)(1)(2)SSgMSFSSggMS?處理處理誤差誤差(1)(1)(2)SSgMSFSSggMS?行行誤差誤差(1)(1)(2)SSgMSFSSggMS?列列誤差誤差計(jì)算相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量，填入方差分析表中變異來源平方和SS自由度df均方MSF值P值處理1726.253575.4179.85 0.05列區(qū)組1304.23434.7507.44 0.05誤差350.50658.417總3479.7515根據(jù)P值，作出推斷：1.拒絕H0，認(rèn)為食品

21、種類會影響大鼠體重增加；2.不拒絕H0，不能認(rèn)為窩別可影響大鼠體重增加；3.拒絕H0，認(rèn)為食品加工方法會影響大鼠體重增加。析因設(shè)計(jì)的方差分析一、析因設(shè)計(jì)的有關(guān)概念前面我們介紹了隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析，在那里，我們指出，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)實(shí)際上是兩因素?zé)o重復(fù)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，即：隨機(jī)區(qū)組的試驗(yàn)結(jié)果區(qū)組序號處理因素區(qū)組合計(jì)樣本均數(shù)總體均數(shù)1組2組g組1x11x12x1gB112x21x22x2gB22nxn1xn2xngBnn處理組合計(jì)T1T2Tg樣本均數(shù)總體均數(shù)12gnx?1x?2x?gx?1x?2x?如果我們將區(qū)組因素視為因素A，處理因素視為因素B，則可將上表改寫為：因素A因素B水平1水平2水平s水平1x

22、11x12x1s水平2x21x22X2s水平rxr1xr2xrs兩因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)格式在上表中，兩因素各水平之間的組合共有 r*s個，在每個組合下只有一個試驗(yàn)結(jié)果，故稱該設(shè)計(jì)為兩因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在我們將上述設(shè)計(jì)作一個推廣，先看一個例子：例1 為了研究藥物治療附加磁場對人體內(nèi)磁性物質(zhì)分布的影響，安排兩個藥物組：實(shí)驗(yàn)組為 “ 絲裂霉素+高分子物質(zhì)+磁性物質(zhì)磁場” ，對照組為“ 絲裂霉素+高分子物質(zhì)+磁性物質(zhì)” 。每組分別于給藥后15分鐘和60分鐘處死實(shí)驗(yàn)小鼠，檢測小鼠肝臟組織的磁性物質(zhì)濃度，即鐵濃度（ mg/g）。采用22平衡設(shè)計(jì)，一個因素為藥物，有 2個水平，即實(shí)驗(yàn)組（A1）和對照組

23、（A2）；另一個因素為給藥后時間，亦有2個水平，即15min（B1）和60min（B2）。兩個因素有4種組合，每種組合重復(fù)例數(shù)為 6。將24只小鼠隨機(jī)分配到4個組合組，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見下表，試分析之。實(shí)驗(yàn)組（B1）對照組（B2）15min（A1）0.5540.3370.5500.2760.5780.3130.7060.3870.6860.4310.6510.36260min（A2）1.0150.5031.0050.6121.0710.5931.1060.6041.1550.6401.1450.560小鼠肝臟組織的鐵濃度（mg/g）檢測結(jié)果在這個例子中，因素 A與因素B共有2*2個組合，每個組合下效應(yīng)

24、指標(biāo) X（小鼠肝組織的鐵濃度）各有6次重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果。因此這是一個兩因素等重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)。這里每個因素各有兩個水平，故又稱為2*2析因設(shè)計(jì)。一般地，兩因素等重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)亦稱為兩因素（等重復(fù)）析因設(shè)計(jì)，它具有以下特點(diǎn)：處理因素：A、B水平：A因素有r個水平、B因素有s個水平，共有r*s種組合試驗(yàn)次數(shù)：每個組合下進(jìn)行了t次試驗(yàn)，共進(jìn)行了r*s*t次試驗(yàn)，效應(yīng)指標(biāo)X在每個組合下都有t個取值，共有r*s*t個取值。兩因素等重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)格式如下： B1 B2 Bs A1 11111211,txxxL 12112212,txxxL 1 11 21,ssstxxxL A2 21121221,txxxL

25、22122222,txxxL 2 12 22,ssstxxxL M M M Ar 11121,rrr txxxL 21222,rrr txxxL 12,rsrsrstxxxL 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)格式單獨(dú)效應(yīng)：其他因素水平固定時，某一因素各水平之間效應(yīng)指標(biāo)的差異。如因素A固定在A1水平時，因素B各水平之間效應(yīng)指標(biāo)X的差異即為因素B在A1水平上的單獨(dú)效應(yīng)。 B1 B2 Bs A1 11111211,txxxL 12112212,txxxL 1 11 21,ssstxxxL A2 21121221,txxxL 22122222,txxxL 2 12 22,ssstxxxL M M M Ar

26、11121,rrr txxxL 21222,rrr txxxL 12,rsrsrstxxxL 兩因素等重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)格式主效應(yīng)：某一因素各單獨(dú)效應(yīng)的平均效應(yīng)。如因素B在Ai水平上的單獨(dú)效應(yīng)為MBi，則因素B的主效應(yīng)即為各MBi的平均值。交互效應(yīng)：如果因素A的水平發(fā)生變化時，因素B的單獨(dú)效應(yīng)也發(fā)生變化，則稱因素A與B之間存在交互效應(yīng)。反之亦然。二、兩因素析因設(shè)計(jì)的方差分析兩因素析因設(shè)計(jì)的方差分析，就是要對如下的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)：檢驗(yàn)假設(shè)：H10：因素A的主效應(yīng)為0H20：因素B的主效應(yīng)為0H30：因素A與B之間不存在交互效應(yīng)為了對上述三個假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，按照 Fisher的平方和分解思想，我們對總

27、平方和進(jìn)行如下的分解：平方和分解：TABA BESSSSSSSSSS?SST稱為總平方和，SSE稱為誤差平方和，SSA，SSB分別稱為因素A，B的效應(yīng)平方和，SSAB稱為因素A，B的交互效應(yīng)平方和。SST的自由度為rst1 ，SSE的自由度為rs(t1)，SSA的自由度為(r1)，SSB的自由度為(s1)，SSAB的自由度為(r1) (s1)。為了檢驗(yàn)H10、 H20、 H30，需要構(gòu)造如下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：?/ (1)1,(1)/(1)AAESSrFF rrs tSSrs t?/ (1)1,(1)/(1)BBESSsFF srs tSSrs t?/ (1)(1)(1)(1),(1)/(1)A B

28、A BESSrsFFrsrs tSSrs t?例1 為了研究藥物治療附加磁場對人體內(nèi)磁性物質(zhì)分布的影響，安排兩個藥物組：實(shí)驗(yàn)組為“絲裂霉素+高分子物質(zhì)+磁性物質(zhì)磁場”，對照組為“絲裂霉素+高分子物質(zhì)+磁性物質(zhì)”。每組分別于給藥后15分鐘和60分鐘處死實(shí)驗(yàn)小鼠，檢測小鼠肝臟組織的磁性物質(zhì)濃度，即鐵濃度（mg/g）。采用22平衡設(shè)計(jì)，一個因素為藥物，有2個水平，即實(shí)驗(yàn)組（A1）和對照組（A2）；另一個因素為給藥后時間，亦有2個水平，即15min（B1）和60min（B2）。兩個因素有4種組合，每種組合重復(fù)例數(shù)為6。將24只小鼠隨機(jī)分配到4個組合組，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見下表，試分析之。實(shí)驗(yàn)組（A1）對照組（A

29、2）15min（B1）0.5540.3370.5500.2760.5780.3130.7060.3870.6860.4310.6510.36260min（B2）1.0150.5031.0050.6121.0710.5931.1060.6041.1550.6401.1450.560小鼠肝臟組織的鐵濃度（mg/g）檢測結(jié)果檢驗(yàn)假設(shè)：H10：因素A的主效應(yīng)為0H20：因素B的主效應(yīng)為0H30：因素A與B之間不存在交互效應(yīng)列出如下的方差分析表方差來源平方和自由度均方FP因素ASSAr1=SSA / (r1)因素BSSBs1=SSB/ (s1)因素ABSSAB(r1) (s1)誤差SSErs(t1)=S

30、SE/ rs(t 1)總平方和SSTrst 1AMBM(1)(1)A BA BSSMrs?EMAAEFMM?BBEFMM?ABABEFMM?方差來源平方和自由度均方FP因素A0.883210.8832252.340.01因素B0.727310.7273207.800.01因素AB0.077810.077822.230.01誤差0.0707200.0035總和1.759023本例：三、三因素析因設(shè)計(jì)的方差分析處理因素：A、B、C水平：A因素有r個水平、B因素有s個水平、C因素有m個水平，共有r*s*m種組合試驗(yàn)次數(shù)：每個組合下進(jìn)行了t次試驗(yàn)，共進(jìn)行了r*s*m*t次試驗(yàn)，效應(yīng)指標(biāo)X在每個組合下都

31、有t個取值，共有r*s*m*t個取值。下面是一個三因素析因設(shè)計(jì)方差分析的例子。例2：小鼠種別A、體重B和性別C對皮內(nèi)移植SRS瘤細(xì)胞生長特征影響的結(jié)果（腫瘤體積 cm3）問A、B、C各自的主效應(yīng)如何？三者間有無交互作用？例2：小鼠種別A、體重B和性別C對皮內(nèi)移植SRS瘤細(xì)胞生長特征影響的結(jié)果（腫瘤體積cm3）問A、B、C各自的主效應(yīng)如何？三者間有無交互作用？種別體重性別雄性雌性昆明種24250.70690.18850.78540.34030.35810.250313151.08380.95500.94250.92150.33350.8514瀘白種24250.06280.47120.09420.

32、08800.04710.175913150.01260.25130.00940.36760.01250.1327種別A體重B性別C雄性雌性昆明種24250.70690.18850.78540.34030.35810.250313151.08380.95500.94250.92150.33350.8514瀘白種24250.06280.47120.09420.08800.04710.175913150.01260.25130.00940.36760.01250.1327檢驗(yàn)假設(shè)：H10：因素A的主效應(yīng)為0。 H20：因素B的主效應(yīng)為0H30：因素C的主效應(yīng)為。H40：因素A與B之間不存在交互效應(yīng)。

33、H50：因素A與C之間不存在交互效應(yīng)。H60：因素B與C之間不存在交互效應(yīng)。H70：因素A、B、C之間不存在交互效應(yīng)。平方和分解：TABCA BA CB CA B CESSSSSSSSSSSSSSSSSS? ?SST：總平方和，自由度為rsmt1；SSE：誤差平方和，自由度為rsm (t1)；SSA：因素A的效應(yīng)平方和，自由度為(r1)；SSB：因素B的效應(yīng)平方和，自由度為(s1)；SSC：因素C的效應(yīng)平方和，自由度為(m1)；SSAB：因素A、B的交互效應(yīng)平方和，自由度為(r1) (s1)；SSAC：因素A、C的交互效應(yīng)平方和，自由度為(r1) (m1)；SSBC：因素B、C的交互效應(yīng)平方和

34、，自由度為(s1) (m1) SSABC：因素A、B、C的交互效應(yīng)平方和，自由度為(r1) (s1) (m1)?/(1)1,(1)/(1)AAESSrFF rrsmtSSrsmt?/ (1)1,(1)/(1)BBESSsFF srsmtSSrsmt?/(1)(1)(1)(1),(1)/(1)A BA BESSrsFFrsrsmtSSrsmt?為了檢驗(yàn)H10、H20、H30，H40、H50、H60、H70需要構(gòu)造如下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：?/(1)1,(1)/(1)CCESSmFF mrsmtSSrsmt?/(1)(1)(1)(1),(1)/(1)A CA CESSrmFFrmrsmtSSrsmt?/(

35、1)(1)(1)(1),(1)/(1)B CB CESSsmFFsmrsmtSSrsmt?/(1)(1)(1)(1)(1)(1),(1)/(1)A B CA B CESSrsmFFrsmrsmtSSrsmt? ? ?列出如下的方差分析表ASBS(1)(1)A BA BSSrs?ESAAEFSS?BBEFSS?ABABEFSS?方差來源平方和自由度均方F因素ASSAr1=SSA / (r1)因素BSSBs1=SSB/ (s1)因素CSSCm 1=SSC/ (m 1)因素ABSSAB(r1) (s1)因素ACSSAC(r1) (m 1)因素BCSSBC(s1) (m 1)因素ABCSSABC(r1

36、)(s1) (m 1)誤差SSErsm (t1)N其余自由度之和=SSE/ rsm (t1)總平方和SSTrsmt 1N1AMBMCM(1)(1)A BA BSSMrs?(1)(1)A CA CSSMrm?(1)(1)B CB CSSMsm?(1)(1)(1)ABCABCSSMrsm? ? ?EMAAEFMM?BBEFMM?CCEFMM?ABABEFMM?A CA CEFMM?BCBCEFMM?A B CA B CEFMM?方差來源平方和自由度均方FP因素A1.495911.495943.680.0001因素B0.221410.2214 6.460.0217因素C0.012410.0124 0

37、.360.5562因素AB0.284110.2841 8.300.0109因素AC0.158610.1586 4.630.0470因素BC0.110110.1101 3.210.0919因素ABC0.065410.0654 1.910.1859誤差0.54792*2*2 (31)=160.0342總平方和2.89602*2*2*31=23本例：四、處理因素的主效應(yīng)與交互效應(yīng)對于析因設(shè)計(jì)方差分析所給出的處理因素的主效應(yīng)及交互效應(yīng)是否顯著的結(jié)果，一般說來，不應(yīng)簡單地直接下結(jié)論，需要具體情況具體分析。下面我們以兩因素的情形為例來討論：如果兩個因素之間的交互效應(yīng)不顯著，則可直接根據(jù)其主效應(yīng)是否顯著來評

38、估各因素對效應(yīng)指標(biāo)的作用大??；當(dāng)兩個因素之間的交互效應(yīng)顯著時，就不能簡單地從主效應(yīng)是否顯著直接得出結(jié)論了?，F(xiàn)在以交互效應(yīng)顯著為前提，來討論因素A的主效應(yīng)是否顯著的三種情況：1.交互效應(yīng)顯著，A的主效應(yīng)也顯著，而且主效應(yīng)的方向與單獨(dú)效應(yīng)的方向一致，如上圖中的b圖。此時，在因素B的兩個水平上，因素A從A1到A2的變化引起的效應(yīng)指標(biāo)的變化趨勢一致，只是變化幅度不同。這里的交互效應(yīng)掩蓋了因素A在因素B不同水平上的效應(yīng)量的差異。顯然，在B1水平上，A的效應(yīng)量大于其在B2水平上的效應(yīng)量。2.交互效應(yīng)顯著，A的主效應(yīng)也顯著，這時A的效應(yīng)方向可能會被交互效應(yīng)歪曲。如上圖中的a、d兩個圖。在a圖中，因素A的變化在B1的水平上引起了效應(yīng)指標(biāo)的顯著變化，但在B2水平上卻未引起效應(yīng)指標(biāo)的變化，這就是說，A的變化不是在任何情況下都會引起效應(yīng)指標(biāo)發(fā)生變化的，