理論力學(xué)動(dòng)量定理

1、動(dòng)力學(xué)普遍定理概述動(dòng)力學(xué)普遍定理概述 從本章起將講述動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理，包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理。 它們以簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式，表明兩種量 一種是同運(yùn)動(dòng)同運(yùn)動(dòng)特征相關(guān)的量特征相關(guān)的量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能等)，一種是同力相關(guān)的量同力相關(guān)的量(沖量、力矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對(duì)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來(lái)解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題非常方便簡(jiǎn)捷 。 本章研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，建立了動(dòng)量的改變與動(dòng)量的改變與力的沖量之間的關(guān)系力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一重要形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱(chēng)為質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的

2、質(zhì)量中心稱(chēng)為質(zhì)心。定義質(zhì)心 C 點(diǎn)的矢徑為： 11-1 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力iMm i iCmrM rMzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,一一. 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心i iCm rrM于是其中在直角坐標(biāo)上投影，得 在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合，可采用靜力學(xué)中確定重心的各種方法來(lái)確定質(zhì)心的位置。如果物體的質(zhì)量均勻分布，則其質(zhì)心與形心的位置重合。 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：( )( )( )0 , ()0 ()0iiiiOixiFmFm F或二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外

3、力外力外力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系的力。內(nèi)力內(nèi)力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。11-2 動(dòng)量與沖量動(dòng)量與沖量 1.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。動(dòng)量。 為瞬時(shí)矢量，方向與v 相同。單位：kg m/s。 一、動(dòng)量一、動(dòng)量2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。iipmv注意到i iCmrMr兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得CpM v即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量就等于其全部質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量就等于其全部質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。連桿AB：2 52ABP

4、Cl 例例1曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)OA=AB=l ，曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿，質(zhì)量各為m ， 滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng) = 45時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。11 , 2Cm vl22, CABm vPC曲柄OA：（P為連桿AB的速度瞬心）33, CABm vPC滑塊B：解解:52l2l1253125122222221010mlij1515sin45cos2cos45sin2222mlllillj1222mlij123CCCpmvmvmv系統(tǒng)的動(dòng)量為11223(sincos) (cossin)() CCCCCmvivjvivjvi 2 2xpml 22ypml112Cvl252Cvl32

5、Cvl2力是變矢量：（包括大小和方向的變化）FIF ttddFI 0dtIF t1力是常矢量：F力與其作用時(shí)間的乘積稱(chēng)為力的沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱(chēng)為力的沖量。二沖量二沖量 沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動(dòng)車(chē)子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長(zhǎng)的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。元沖量元沖量：沖量沖量：沖量的單位：N s 與動(dòng)量單位相同。2kg m/sskg m/s 11-3動(dòng)量定理動(dòng)量定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理d()dmvFt即在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在該時(shí)間內(nèi)的沖量。Itmdd)d( Fv00dtmvmvF tI則得

6、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理： 微分形式微分形式：即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的微分等于質(zhì)點(diǎn)上力的元沖量。 積分形式積分形式：由于二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理( )( )d()dieiiiim vFFt( )( )d()dieiiiimvFFt()ddeipFt對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn) i， 0iiF注意到d()iimv則得質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力主矢）。矢量和（外力主矢）。diimvd p()d() deipFt簡(jiǎn)化為 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微

7、分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。矢量和。 在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于這段時(shí)間內(nèi)在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力沖量的矢量和。作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力沖量的矢量和。 積分形式積分形式)(0eiIpp 微分形式微分形式()ddeipFt 故質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量，但可以引起質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。eipieIdtF)()(dd 投影形式：投影形式：)(eixxFdtdp)(eiyyFdtdp)(eizzFdtdp)()(0t0eixexxdtFIixpp)(

8、)(0t0eiyeyydtFIiypp)()(0t0eizezzdtFIizpp若 ，則 為常矢量。( )0eiF0pp若，則 為常量。( )0eixF0 xxpp三三. 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律()ddeipFt)(0eiIpp解解: 以活塞為研究對(duì)象，采用積分形式的動(dòng)量定理。取坐標(biāo)軸Ox向右為正，根據(jù)公式有xxxImvmv12在給定條件下21 dtxxtIFt(a)(b)例例2設(shè)作用在活塞上的力為F，按規(guī)律F=0.4mg (1- k t)變化，其中m為活塞的質(zhì)量，k=1.6 s-1。已知 t1= 0 時(shí)活塞的速度 v1= 0.2 m /s，方向沿水平向右。試求 t2= 0.5

9、s時(shí)活塞的速度。將式(b)代入式(a)，得)21 (4 . 0)(2212tkmgtvvm21220.4(1)2kvvgtt2 00.4(1)dtmgktt220.4(1)2kmg tt 9.8 0.5(10.5)21.38 m/so10 3cos301050例例3 有一質(zhì)量 m =10 kg的郵包從傳送帶上以速度v1= 3 m /s 沿斜面落入一郵車(chē)內(nèi)，如圖所示。已知郵車(chē)質(zhì)量 M=50kg，原處于靜止，不計(jì)車(chē)與地面間摩擦，求郵包落入車(chē)內(nèi)后車(chē)的速度v2 。解解: : 將郵包、郵車(chē)分別視為兩質(zhì)點(diǎn)，組成一質(zhì)點(diǎn)系。因作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力水平方向上投影的代數(shù)和為零，故質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在水

10、平方向上的投影應(yīng)保持不變，即 o12cos300()mvmM v解得o12cos30mvvmM0.433 m/s( )ddyeypFt 例例4如圖所示物塊 M1、 M2 ，重量各為W1、 W2 (W1W2)，掛在繩子兩端，繩子繞在重量為W的均質(zhì)滑輪上，設(shè)M1下降時(shí)其加速度為 a1 。求支座對(duì)滑輪的約束反力 FN 。解解: 兩物塊和滑輪組成一質(zhì)點(diǎn)系。作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力有重力W1、 W2 、 W 和支座對(duì)滑輪的約束反力 FN。設(shè)M1下降時(shí)速度為v1 ，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，在坐標(biāo)軸 y上的投影式為：其中1 122ypm vm v 解得12N121WWFWWWag( )N12eyFFWWW121WW

11、vg 運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)經(jīng)過(guò) dt 時(shí)間后，流體AB運(yùn)動(dòng)到位置ab，則例例5流體流過(guò)彎管時(shí)，在截面A、B處平均流速分別為v1 、v2，求流體對(duì)彎管產(chǎn)生的動(dòng)壓力(附加動(dòng)壓力)。 設(shè)流體不可壓縮，流動(dòng)是穩(wěn)定的，流量Q為常量，密度為 。d aBabABaBBbAappppppp21 d d()aBaBBbAapppppQ tvv 解：解： 取截面A、B之間流體作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。受力分析受力分析如圖示。由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得2112d()d()dpQ vvtWPPRt動(dòng)反力動(dòng)反力12()RWPP 21()RQ vv計(jì)算 時(shí)，常采用投影形式 R21 ()xxxRQ vv21 ()yyyRQ vv與 相

12、反的力就是管壁上受到的流體作用的動(dòng)壓力。 R1221()()RWPPQ vv 于是得2112d()d()dpQ vvtWPPRt其中，靜反力靜反力11-4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理有CpMv( )d()deCiM vFt若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變，則：( )eCiM aF此即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程）。它表明，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力主矢）。矢量和（外力主矢）。1. 投影形式：投影形式：( )( )( ) , , eeeCxixCyiyCzizMa

13、FMaFMaF2( )( )( )d , , 0deeeCCiinibvvMFMFFt( )ddeipFt注意到代入得 2. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理知， 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 該質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的全部該質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量及其所受的全部外力質(zhì)量及其所受的全部外力。 此外，只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，而內(nèi)力不能只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，而內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。3. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

14、守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律若 ，則 常量，即質(zhì)心沿 x方向的速度不變；若開(kāi)始時(shí) 則 常量，即質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。( )0eixFCxCxva , 000CxvCx若 ，則 常矢量，即質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，則質(zhì)心位置 始終保持不變。 0)(eiF0 , CCavCr例例6質(zhì)量為M的大三角形柱體， 放于光滑水平面上， 斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體，求小三角形柱體滑到底時(shí)，大三角形柱體的位移。解解：取取兩柱體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。研究對(duì)象。受力分析受力分析:( )0exF則 常量。Cx 設(shè)大三角形柱體的位移為S，則 ()mSabMm1233MambMm1233MaSmb

15、SabMm解解: 取整個(gè)電動(dòng)機(jī)為質(zhì)點(diǎn)系研究，分析受力分析受力， 受力圖如圖示。 例例7 電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和機(jī)殼的質(zhì)量為m1, 轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2 , 設(shè)定子的質(zhì)心O1通過(guò)轉(zhuǎn)子的軸, 但由于制造誤差, 轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e 。已知轉(zhuǎn)子以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的約束反力。運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度a1 = 0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心 O2 的加速度a2 = e2，方向指向O1。21 1222sinyymam am et 2222cossinxyaetaet 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有CxMa( ):eCyiCiyiyMam aF22 cos,xNm et 可見(jiàn)，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。a1 = 0a2 = e221 1222+cosxxm am am et 2122sinyNm gm gm etiCixma( ):eixFxN12yNm gm g321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船、起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。 0iiPx例例8浮動(dòng)起重船的重量為P1=200kN, 起重桿的重量為P2=10kN, 長(zhǎng)l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN 。設(shè)開(kāi)始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置夾角為1=60, 水的阻力不計(jì), 求起重桿OA與鉛直位置成角2 =30時(shí)船的位移。受力