直線的一般式方程和點(diǎn)的對稱問題教師版

1、直線的一般式方程知識點(diǎn)一直線的一般式方程1假設(shè)方程Ax+ By+ C= 0表示直線，貝U A、B應(yīng)滿足的條件為()A . A豐0 B. B乒0C. A B乒0 D . A2+ B2乒0答案D解析 要使Ax + By+ C = 0表示直線，需A、B不同時為零(包括一個為0,另一個不為0),顯然A、B項均不滿足，C項中表示A與B同時不為零，也不滿足，只有D項正確.2.直線(2m2 5m+ 2)x- (m2 4)y+ 5m = 0的傾斜角為45，貝U m的值為()A. - 2 B. 2 C. - 3 D. 3答案D-，一o一2m2 5m + 2，、入,解析 由礙m2-4豐0,且-奇_4-= 1,解礙

2、：m= 3或m= 2(舍去).知識點(diǎn)二平行、垂直問題3.直線mx+ 4y 2= 0與直線2x 5y+ n = 0垂直，垂足為(1, p),貝U n的值為()A. - 12 B. 2 C. 0 D. 10答案A解析 由兩直線垂直得2m 20=0, m= 10， 將(1, p)代入10 x+ 4y- 2=0得p=- 2,將(1,一2)代入2x 5y+n = 0得2 + 10+ n= 0, n= 12.4.點(diǎn)P(x, y)是直線l: Ax+ By+ C = 0外一點(diǎn)，那么方程Ax+ By + C + (Ax0 + By+ C)=0表示()A.過點(diǎn)P且與l垂直的直線B.過點(diǎn)P且與l平行的直線C.不過點(diǎn)

3、P且與l垂直的直線D.不過點(diǎn)P且與l平行的直線答案D解析 .點(diǎn)P(x, y0)不在直線Ax+ By+ C = 0上，.二Ax+ By+C乒0,.直線Ax+ By+ C+ (Ax0+ By0+ C) = 0不經(jīng)過點(diǎn)P.又直線Ax+ By + C + (Axo + Byc)+ C) = 0與直線l: Ax+ By + C= 0平行.應(yīng)選D.知識點(diǎn)三直線一般式方程的應(yīng)用5.設(shè)直線l的方程為(m2 2m 3)x+ (2m2+ m 1)y = 2m 6,根據(jù)以下條件分別確定m的值:(1) 1在x軸上的截距是3;(2)斜率是1.m2 2m 3豐0,解(1)由題意，得2m 620=- 3 ,m一2m 3由式

4、，得m乒3且m乒1.由式，得3m2 4m 15= 0,得m = 3或m= |. /. m= - 5.332m2+ m- 1豐0,(2)由題意，得m2 2m 3由式，得m乒一1且m乒.2mrr=T，2由式，得3m2 m-4 = 0,得m= 1或m=4./. m= 4.336.求分別滿足以下條件的直線1的一般式方程；3(1)斜率是4,且與兩坐標(biāo)軸圍成的二角形的面積是6;(2)經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,0), B(m,1);(3)經(jīng)過點(diǎn)(4, 3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等.3解(1)設(shè)直線1的方程為y= 4x+ b.令x= 0,得y= b.令y= 0,得x=- 4b, . . 1 b 4b = 6,

5、解得b =土3.323直線1的方程為y=乎x34化為一般式為3x 4y 1* 0.,-、_y 0 x1當(dāng)m乒1時，直線1的方程是y； = ,1 -0 m-1即y= 7 x i)；m-1當(dāng)m= 1時，直線l的方程是x= 1.綜上，所求直線l的方程是x m 1y 1 = 0或x 1 = 0.3設(shè)l在x軸，y軸上的截距分別為a, b.當(dāng)a乒0, b乒0時，l的方程為a+b=1.4 3,直線過(4, 3),=a b1.4 3 .一一= 1,a= 1,a= 7,又|a|= |b|,a b解得或a=比.b= 1b= 7當(dāng)a= b = 0時，直線過原點(diǎn)且過4, 3, l的方程為y= 3x.4綜上所述，直線l

6、的方程為x+ y 1 = 0或x y 7= 0或3x + 4y= 0.課堂練習(xí)：7.直線V2x+ 46y+ 1 = 0的傾斜角是A. 150 B. 30 C. 60 D. 120答案A解析 直線的斜率k=一半=一*，故其傾斜角為150 .638.直線5x 2y 10= 0在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,那么有A . a = 2, b= 5 B . a = 2, b= 5C. a = 2, b= 5 D. a = 2, b= 5答案B解析 直線5x 2y 10= 0可以化為截距式方程* += 1,所以a = 2, b=9.兩直線11: mxy+ n = 0和l2： nxy+ m= 0在同

7、一坐標(biāo)系中，那么正確的圖形可能是一5.10.直線mx + ny= 1平行于直線4x+ 3y+ 5= 0且在y軸上的截距為，貝U m、n的值3分別為A . 4和3 B. - 4和3C. 4和一3 D . 4和一3答案C解析 由題意得n乒0,于是直線可化為y=四一-. 由-+得4，n=3.11.直線a+ 2x+ 2ay 1 = 0與直線3ax- y+ 2 = 0垂直，那么實數(shù)a的值是412C. 0或一=D.一 或可32 3答案C解析 當(dāng)a= 0時，兩直線分別為2x 1 = 0, y+ 2 = 0,此時兩直線顯然垂直； 當(dāng)a乒0時,. a+ 2一a + 2A.兩直線的斜率分別為一2，3a,所以一a=

8、 1,解得a=一親.應(yīng)選C.二、填空題12.直線l與直線m： 3x- y-2 = 0關(guān)于x軸對稱，那么這兩條直線與y軸圍成的三角形的面積為.3解析由題意可得直線l: 3x+ y-2 = 0,那么直線l, m與y軸答案答案B解析 化一般式為斜截式，得li: y= mx+ n, I2： y= nx+ m,可見兩條直線的斜 率、截距恰好互換，所以選B.12 4圍成的二角形的面積為-X 4X -=-.23 313.如果對任何實數(shù)k,直線(3 + k)x+ (1- 2k)y+ 1 + 5k= 0都過一個定點(diǎn)A,那么點(diǎn)A的坐 標(biāo)是.答案 (一1,2)解析 解法一：取k= 3,方程為7y- 14= 0, y

9、= 2;取k= 0.5,方程為3.5x + 3.5 = 0, x= 1.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1,2);將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程得一(3 + k) + 2(1 - 2k) + 1 + 5k= 0,所以直線恒經(jīng)過點(diǎn)A.解法二：將k當(dāng)作未知數(shù)，那么方程可寫成(x- 2y+ 5)k+ 3x+ y+ 1= 0.因為對于任意k值，等 式成立，所以x 2y+ 5 = 0,3x+ y+ 1 = 0,解得x= 1, y= 2,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1,2).14.直線l與直線3x+ 4y- 7 = 0平行，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24,那么直線l的方程為.答案3x+ 4y2七0解析設(shè)l: 3x+ 4y+ m

10、= 0(m豐一7),令y= 0得x=堂；令x= 0得ym1m m =4. ,直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的二角形的面積為24, .2X -3 X - = 24,.m=24.直線l的方程為3x+ 4y2傘0.三、解答題15.求滿足以下條件的直線方程.(1)經(jīng)過點(diǎn)A(- 1, -3)，且斜率等于直線3x+ 8y- 1 = 0斜率的2倍；過點(diǎn)M(0,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的周長為12.31解因為3x+ 8y-1= 0可化為y=一牙+g,. 3所以直線3x+ 8y1= 0的斜率為一38. 33那么所求直線的斜率k= 2X一：=-.84又直線經(jīng)過點(diǎn)(1 , 3),. 3因此所求直線的方程為y + 3 =

11、3(x+ 1),即3x+ 4y+ 15 = 0.(2)設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為(a,0),因為點(diǎn)M(0,4)在y軸上，所以由題意有4 + ,a2+ 42+ |a|= 12,解得a =3所以所求直線的方程為3+y= 1或 土 +4 = 1,即4x+ 3y- 12 = 0或4x 3y+ 12= 0.16.(1)直線11: 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0與直線12： mx+ 3y 2= 0平行，求m的值；(2)當(dāng)a為何值時，直線11： (a+ 2)x+ (1 - a)y- 1 = 0與直線12： (a 1)x + (2a+ 3)y+ 2 =0互相垂直？解由11： 2x+ (m+ 1)y+ 4= 0,

12、12： mx + 3y 2 = 0知：1當(dāng)m= 0時，顯然11與12不平行.2當(dāng)m乒0時，11II 12,需一=乒 .， m 3 2解得m= 2或m= 3,m的值為2或3.由題意知，直線11 12.1假設(shè)1一a= 0,即a= 1時，直線11： 3x 1 = 0與直線12: 5y+ 2= 0顯然垂直.3一2右2a+ 3 = 0,即a=一時，直線11 ： x+ 5y 2 = 0與直線12： 5x 4= 0不垂直.一.，a + 2 a 13右1 a乒0,且2a+ 3乒0,那么直線11 12的斜率k1, k2都存在，k=, k2=-.1 a 2a + 3當(dāng)11 12時，k1k2= 1,綜上可知，當(dāng)a=

13、 1或a= 1時，直線11X12.對稱|可題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱17.假設(shè)直線11：y =k(x- 4)與直線12關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，那么直線12恒過定點(diǎn)()a+ 21-aa 12a+ 3=T,A. (0,4) B. (0,2)C. ( 2,4) D . (4, -2)答案B解析 直線li： y = k(x-4)經(jīng)過定點(diǎn)(4,0),其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱的點(diǎn)為(0,2).又直線li： y= k(x一4)與直線12關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱，故直線12恒過定點(diǎn)(0,2).18.點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(1, y)的對稱點(diǎn)是B(-2, - 3)，那么點(diǎn)P(x, y)到原點(diǎn)的距離是()A. 4 B/13C. ,1

14、5D. . 17點(diǎn)關(guān)于線對稱19.點(diǎn)P(2,5)關(guān)于直線x+ y= 0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. (5,2) B. (2, 5)C. ( 5, 2) D . (-2, 5)答案C解析解法一：設(shè)P(2,5)和Q(m, n)關(guān)于直線y =一x對稱，那么PQ的中點(diǎn)Rmy,嚀5在直線y= x上，且kPQX(- 1) = 1.20.求點(diǎn)P( 4,2)關(guān)于直線l : 2x y+ 1 = 0的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo).解法二：設(shè)點(diǎn)P (x, y), PP l于M,x 2答案D解析由題意知25 3 V=x= 4,.-解得 d=寸42+ 12=寸17.=0,n 5x-1 = 1,m= 5,解得n=_ 2.*Q的坐標(biāo)是(-5

15、，-2)解法設(shè)點(diǎn)P (x , y),由PP l及PP的中點(diǎn)在l上得方程組V 2I.乒1，x+ 42瑚-守 +1 = 0,x+ 2y= 0,即2x-y- 8= 0,解得8 v= 5.c， 16. . Px+ 2y= 0,.PP 的方程為(x + 4) + 2(y- 2) = 0，即x+ 2y= 0, z.解方程組2x- y+ 1 = 0,距離最短問題21.A(1,6), B(5,2)，點(diǎn)P在x軸上，那么使|AP|+ |BP|取得最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .答案(4.0)解析A(1,6)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A (1, -6)，那么|PA|= |PA |,當(dāng)P點(diǎn)為A B與x軸的交點(diǎn)時，|PA|+ |PB|

16、取得最小值，又A B的方程為另|，即2x- v 8= 0,令y= 0,得x= 4, .(4,0).22.某地A, B兩村在一直角坐標(biāo)系下的位置分別為A(1,2), B(4,0),一條河所在直線的方程為l: x+ 2y 10= 0.假設(shè)在河邊l上建一座供水站P,使分別到A, B兩鎮(zhèn)的管道之和最省，問供水站P應(yīng)建在什么地方？解如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，連接AB交l于P,因為假設(shè)P(異于P)在直 線l上，那么：AP |+|BP |=|A P |+|BP |A B|,因此供水站只能建在P處，才能使 得所用管道最省.設(shè)A (a, b),貝U AA的中點(diǎn)在l上，A (3,6).所以直線A B的方程為6x+ v 24= 0.故P165，的交點(diǎn)M2 5 54 + x21.-7 ,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得5Ml,2516x=亨8 v= 5.且AA l,即吐1+2 X心一10=0,22b 2a- 11/2= 1.解之得反射問題23.如下圖，A(4,0), B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線解析 由題意知，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(- 2,0),那么 光線所經(jīng)過的路程為|CD|=2而.應(yīng)選A.最值問題24.M(1,0), N( 1,0)，點(diǎn)P為直線2x- y- 1 = 0上的動點(diǎn),