高中數(shù)學(xué) 綜合測試 新人教A版選修2-2

1、選修22 在本模塊中，學(xué)生將學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入。 微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。在本模塊中，學(xué)生將通過大量實(shí)例，經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率刻畫現(xiàn)實(shí)問題的過程，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用，初步了解定積分的概念，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。通過該模塊的學(xué)習(xí)，學(xué)生將體會導(dǎo)數(shù)的思想及其豐富內(nèi)涵，感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，了解微積分的文化價(jià)值。 “推理與證明”是數(shù)學(xué)的

2、基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)結(jié)論

3、的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。在本模塊中，學(xué)生將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。 數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的客觀需求和背景，復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充。在本模塊中，學(xué)生將在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性

4、思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。 內(nèi)容與要求 1. 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（約24課時(shí)） （1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 通過對大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵（參見選修11案例中的例2、例3）。 通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 （2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如）的導(dǎo)數(shù)。 會使用導(dǎo)數(shù)公式表。 （3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（參見選修11案例中的

5、例4）；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。 （4）生活中的優(yōu)化問題舉例。 例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用（參見選修11案例中的例5）。 （5）定積分與微積分基本定理 通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。 通過實(shí)

6、例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系），直觀了解微積分基本定理的含義（參見例1）。 （6）數(shù)學(xué)文化 收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見本標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)學(xué)文化”的要求（參見第104頁）。 2. 推理與證明（約8課時(shí)） （1）合情推理與演繹推理 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用（參見選修12案例中的例2、例3）。 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單

7、推理。 通過具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （2）直接證明與間接證明 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。 （3）數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。 （4）數(shù)學(xué)文化 通過對實(shí)例的介紹（如歐幾里得幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律），體會公理化思想。 介紹計(jì)算機(jī)在自動(dòng)推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。 3. 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（約4課時(shí)） （1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充

8、過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。 （2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。 （3）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義。 （4）能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義。 說明與建議 1. 本模塊中，導(dǎo)數(shù)的概念是通過實(shí)際背景和具體應(yīng)用的實(shí)例引入的。教學(xué)中，可以通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)。通過感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問題中的作用，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。這樣處理的

9、目的是幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)的背景、思想和作用。 2. 在教學(xué)中，要防止將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一些規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，而忽視它的思想和價(jià)值。應(yīng)使學(xué)生認(rèn)識到，任何事物的變化率都可以用導(dǎo)數(shù)來描述。 3. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，將研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法與初等方法作比較，以體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。 4. 教學(xué)中應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認(rèn)所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯(cuò)誤的猜想。教學(xué)的重點(diǎn)在于通過具體實(shí)例理解合情推理與演繹推理，而不追求對概念的抽象表述。 5. 本模塊中設(shè)置的證明內(nèi)容是對學(xué)生已學(xué)過的基本證明方法的總結(jié)。在教學(xué)中，應(yīng)通

10、過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識各種證明方法的特點(diǎn)，體會證明的必要性。對證明的技巧性不宜作過高的要求。 6. 教師應(yīng)借助具體實(shí)例讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，對證明的問題要控制難度。 7. 在復(fù)數(shù)概念與運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)注意避免繁瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練。對于感興趣的學(xué)生，可以安排一些引申的內(nèi)容，如求的根，介紹代數(shù)學(xué)基本定理等。 參考案例 例1. 一個(gè)物體依照規(guī)律在直線上運(yùn)動(dòng)，我們已經(jīng)知道，其在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度（即瞬時(shí)速度或瞬時(shí)變化率）為在時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，即。今考慮在到之間位置的總變化。我們把區(qū)間分割成n個(gè)小區(qū)間，不妨假設(shè)小區(qū)間的長度相等，其長度為。對每一個(gè)小區(qū)間，我們假設(shè)的變化率近似為某一常量，于是我們可以說 的變化率時(shí)間。 在第一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，即從到，假設(shè)的變化率近似地為，于是有 同樣，對第二個(gè)小區(qū)間，即從到，假設(shè)的變化率近似地為，因此有 等等。把在所有小區(qū)間上得到的位置變化近似值全部加在一起，得到 s的總變化 我們可以把在到之間位置的總變化寫成。另一方面，當(dāng)分割無限加細(xì)、n趨于無窮時(shí)，和式 的極限就是定積分或，也就是在