初中數(shù)學思想方法在教學中的傳授

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當之處，請指正。初中數(shù)學思想方法在教學中的傳授一、問題的提出數(shù)學思想方法是數(shù)學學科的靈魂，它在數(shù)學教學中有著廣泛的應(yīng)用，它對于打好“雙基”知識和加深對知識的理解、培養(yǎng)學生的思維有著獨到的優(yōu)勢，掌握了數(shù)學思想方法，就能比較從容地駕馭數(shù)學知識，解決有關(guān)的生活問題。中學數(shù)學所蘊含的豐富內(nèi)容深刻地反映了許多基本的數(shù)學思想方法，因而在數(shù)學教學中，教師除了基礎(chǔ)知識和基本技能的教學外，還應(yīng)重視數(shù)學思想方法的滲透，注重對學生進行數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，這對學生今后的數(shù)學學習和數(shù)學知識的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠的影響。在初中數(shù)學教材中蘊含著哪些數(shù)學思想方法呢？第一，具體的數(shù)學方法：配方法，換元

2、法，消元法，待定系數(shù)法等；第二，科學的邏輯方法：如觀察、歸納、類比、演繹、抽象、概括以及分析法、綜合法與反證法等邏輯方法；第三，常用的數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合思想，方程與函數(shù)思想，建模思想，分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等。新課標提到：“數(shù)學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)；數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分?！?標準中提供的是第三學段最終應(yīng)達到的目標，根據(jù)學生的年齡特征、認知規(guī)律與知識特點，重要的數(shù)學概念與思想方法的學習可以遵循逐級遞進、螺旋上升的原則，但要避免不必要的重復。然而，我們有很

3、多教師卻往往在“雙基”知識上下了很多功夫，而忽視了對數(shù)學思想方法的及時滲透，甚至是放棄，造成了學生的思維能力的局限性，未能形成良好的思維品質(zhì)與思維水平。這里的思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；會運用數(shù)學概念、原理、思想和方法辨明數(shù)學關(guān)系。數(shù)學思想方法在教學中的傳授顯得尤其重要，需引起重視。二、數(shù)學思想方法在教學中的傳授（一）數(shù)學思想與數(shù)學方法的辯證關(guān)系所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。人們通過長期的實踐，發(fā)現(xiàn)了許多運用數(shù)學思想的手段

4、、門路或程序，這些被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，便成為數(shù)學方法。數(shù)學方法是以數(shù)學為工具進行科學研究的方法，即用數(shù)學語言表達事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。所謂數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識。數(shù)學思想是對數(shù)學知識、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認識；數(shù)學方法是解決數(shù)學問題的策略和程序，是數(shù)學思想的具體反映；數(shù)學知識是數(shù)學思想方法的載體，數(shù)學思想較之于數(shù)學基礎(chǔ)知識及常用數(shù)學方法又處于更高層次，它來源于數(shù)學基礎(chǔ)知識及常用的數(shù)學方法, 在運用數(shù)學基礎(chǔ)知識及方法處理數(shù)

5、學問題時，具有指導性的地位?！八枷敕椒ā弊鳛橐粋€詞語使用要看我們從哪個角度來分析。例如在解二元一次方程組時“消元”的思想方法。事實上，當我們從“化未知為已知”的角度去分析此問題時，其思想屬于“化歸的思想”；當我們從“化二元為一元”的角度去分析此問題時，其方法屬于“消元法”；而當我們從“代入公式直接求解”的角度去分析此問題時，就出現(xiàn)了“代入法”。（二）教學中基本數(shù)學思想方法的傳授教學中向?qū)W生傳授基本數(shù)學思想方法在程度上有“滲透”、“介紹”和“突出”之分。“滲透”就是把某些抽象的數(shù)學思想逐漸“融進”具體的、實在的數(shù)學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們?！敖?/p>

6、紹”就是把某些數(shù)學思想在適當時候明確“引進”到數(shù)學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始?！巴怀觥本褪前涯承?shù)學思想經(jīng)常性地予以強調(diào)，并通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。在教學中教師要做一個“滲透”的有心人，把數(shù)學思想方法滲透到我們的數(shù)學知識教學的每一個環(huán)節(jié)。以數(shù)學知識為載體，把藏于知識背后的思想方法顯示出來，作為教學的一個需要完成的的目標，使之明朗化，這樣才能通過知識傳授過程達到思想方法教學之目的。例如應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，強調(diào)通過圖形找出直角三角形中邊角之間的關(guān)系，從而解決類似求特殊角的三角函數(shù)值問題。無論是案例1 案例節(jié)選來自18中、47中、泰安中學、天河中學、東圃中學、

7、天榮中學。還是案例2，與教材（華師大版九年級第25章）的處理吻合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而得到特殊角的三角函數(shù)值，形成表格，讓學生記憶并通過大量的運算練習熟記。似乎已經(jīng)達到教學目標，然而在課堂實施中并未真正體現(xiàn)傳授基本數(shù)學思想方法的“突出”程度，學生的思維能力并沒有得到進一步的提升，而此處恰恰是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法的好材料。于是，我們是否可以這樣做：得出特殊角的三角函數(shù)值后，不急于產(chǎn)生記憶，而是通過大量的基礎(chǔ)訓練乃至綜合訓練，如案例3，突出數(shù)形結(jié)合思想方法在此處的應(yīng)用，從而達到靈活運用的程度，然后總結(jié)歸納才產(chǎn)生記憶，這種在產(chǎn)生大量的豐富的經(jīng)驗下形成的記憶最有效、最深刻。案例1：30、45

8、、60的三角函數(shù)值列表如下。在理解的基礎(chǔ)上要熟記！sin cos tan cot 30451160鞏固練習。（A）1. 求下列各式的值：（1）sin30°+cos30° (2)sin45°+cos45° (3)tan60°+cot60° (4)tan45°+cot30° (5)2cos60+2sin30+4tan45 （6）2cos 30°cot 60°2tan 45°（7）sin2 45°cos2 60° （8）sin30+sin245-tan260特殊角的三角函

9、數(shù)在RtABC中，C90°，借助你常用的兩塊三角尺，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，求出A的四個三角函數(shù)值，填在下表空白處：（1）A30°（2）A60°（3）A45°讓我們熟記30°、45°、60°的三角函數(shù)值，幫助以后的解題。特別注意30°、60°角的函數(shù)值的區(qū)別。練習一 1、 計算：（1） sin30°cot45° （2） 2cos60°+2sin30°+4tan45°（3） cos30°tan30°+sin60°tan45

10、6;cot30°案例2：案例3：練習一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函數(shù)值）和斜邊，求一直角邊？(通過幾個簡單的變式，即鞏固了有關(guān)知識，也鍛煉了幾何思維，突出數(shù)形結(jié)合)練習二、思考探索：（1） 已知：如圖，在RtABC中，C90°，BC=2,AC=2,你能求出ABC中其他的邊和角嗎？（2） 已知：如圖，在RtDEF中，E90°,EF=5, F=60°, 你能求出DEF中其他的邊和角嗎？（3） 已知：在RtABC中，C90°，A=30°, B60°, 你能求出ABC中其他的邊嗎？ 若能求，則寫出求解過程。 （探索中展

11、現(xiàn)出更多問題，講精，講透；從多方面，多角度去探索）又如案例4，用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。主要是培養(yǎng)學生由特殊事例發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的歸納能力，運用數(shù)學思想方法去學習新的數(shù)學方法。這里有轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化有一個共同的規(guī)律，就是在待解決的問題和已解問題之間架起一個聯(lián)系的橋梁，這就是知識之間的“關(guān)系鏈”，這是提高數(shù)學解題能力的條件和基礎(chǔ)。）即拋物線解析式中二次項系數(shù)不為1的一般式轉(zhuǎn)化成系數(shù)為1的一般式，系數(shù)為1的一般式轉(zhuǎn)化成頂點式。由于第1題先做鋪墊，第1環(huán)節(jié)視學生情況無需討論，甚至是教師直接告訴學生方法（一般情況下學生較難探索出來的數(shù)學方法均可以這樣做）；而第2環(huán)節(jié)則必須讓學生真正討論

12、，在討論中感受學習數(shù)學思想方法。教師介紹方法，對于學生而言，數(shù)學思想得到滲透。為此教師還要做一個“層次”的選擇者。面對學生，應(yīng)該根據(jù)數(shù)學知識的內(nèi)容、學生的年齡特點分層次地選題合適的數(shù)學思想內(nèi)容，進行滲透和教學。這就需要我們教師全面的熟悉教材，對教材中所反映的數(shù)學思想要有明確的認識，對教材內(nèi)容從思想方法的角度作認真的分析，按照各個年級學生的年齡特征，知識掌握的程度，理解能力和可接受性由淺入深、由易到難分層次地貫徹數(shù)學思想的教學。案例4：教學環(huán)節(jié)教學過程設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二：新課學習1、把拋物線化為一般形式。解： = =2、小組討論：（1）如果給出一個拋物線為，你能指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎？

13、 （此處視學生情況決定是否討論）（2）思考：如果給出一個拋物線為或者，你能指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎？1、此題是為學生進行下面的討論所做的一個鋪墊。2、通過討論，讓學生進行嘗試，找出解決問題的辦法，教師進行講評時，對學生提出解決問題的不同方法，都給予積極的評價，以激發(fā)學生學習的上進心和自信心。講評的同時要規(guī)范學生的書寫格式。通過2個變式的思考問題，讓學生了解二次項的系數(shù)不為1時如何處理。 再如案例5，畫樹狀圖方法學習概率的計算。學生在掌握了列表法或枚舉法后，教師采取了“介紹”畫樹狀圖的辦法，讓學生體會到用樹狀圖解決在復雜情況下列舉所有機會均等的結(jié)果的一般步驟。而學生恰恰是在討論中確

14、實做到用列表法或枚舉法，甚至是不完整的樹狀圖，這給了教師介紹方法的機會。然后在基礎(chǔ)技能訓練中強化數(shù)學方法的應(yīng)用，并在最后設(shè)置靈活性較強的題目拓展學生思維能力。由此可見，教學中教師要有加強數(shù)學思想方法教學的意識并要在數(shù)學教學過程中不斷地挖掘和滲透，向?qū)W生傳授基本數(shù)學思想方法時，在“程度”上的把握非常關(guān)鍵。案例5：教學環(huán)節(jié)教 學 過 程設(shè)計意圖一復習回顧（一）復習回顧：1、小李手里有紅桃1,2,3,4,5,6,從中任抽取一張牌，(1)牌上的數(shù)字為3的概率為 ；(2)牌上的數(shù)字為奇數(shù)的概率為 。紅紅黃綠2、如圖25-7所示，有一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成4個相同的扇形，頗色分為紅、綠、黃三種頗色，指針的位置固

15、定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位里，則(1)指針指向綠色的概率為 ；(2)指針不指向紅色的概率為 。3、問題：“同時拋擲兩枚面值為1元硬幣”產(chǎn)生的所有所有機會均等的結(jié)果有_種，它們分別為_。復習上節(jié)課的內(nèi)容，明確求一個事件發(fā)生的概率的一般步驟：先正確找到事件發(fā)生的所有機會均等的結(jié)果的個數(shù)；然后明確我們關(guān)注的結(jié)果的個數(shù)；最后才能正確計算事件發(fā)生的概率。在問題3中，學生可能會誤認為結(jié)果只有3種情形，此時，我們可以利用列表分析清這種想法的錯誤原因。讓學生進一步明確何為“所有機會均等的結(jié)果”。二新課學習1、小組討論：曉明和曉紅兩人正在玩同時拋三枚硬幣的游戲，游戲規(guī)則規(guī)定如

16、下：如果擲出兩個正面一個反面，則曉明勝；如果擲出三個都是反面，則曉紅勝。你認為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由。在本環(huán)節(jié)的討論中，學生可能出現(xiàn)考慮問題不全面的情況，我們可以借此介紹用樹狀圖求得各種等可能結(jié)果的方法，讓學生體會的關(guān)鍵和一般步驟“正確鑒別在一次試驗中究竟包含著幾步，每步又有幾種等可能。三課堂訓練C組：某校有A、B兩個餐廳，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個餐廳用餐。用樹狀圖或列表法分析說明：（1）求甲、乙、丙三名學生在同一個餐廳用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名學生中至少有一個人在B餐廳用餐的概率。C組題的靈活性較大，學生很可能對于如何構(gòu)件合適于這個問題的樹狀圖存在較大的爭論

17、。我們可以根據(jù)學生的情況對此題進行分析點評。五課堂反思本課預計學生在“小組討論”部分學生會出現(xiàn)學生可能出現(xiàn)考慮問題不全面的情況，但在課堂中，我們恰恰可以以此為契機，給學生介紹用樹狀圖求得各種等可能結(jié)果的方法，讓學生體會到樹狀圖分析問題的優(yōu)越性。學生在完成A、B組題時，應(yīng)該問題不是很大，但是在C組題，學生對于是餐廳A、B在樹狀圖中還是甲、乙、丙在圖中會比較混亂，C組題可以讓學生繼續(xù)探討和點評。（三）、數(shù)形結(jié)合與化歸兩種基本數(shù)學思想相結(jié)合的傳授“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。我們在處理和解決數(shù)學問題時,總的指導思想是把問題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題,這就是化歸思想, 實質(zhì)上就是一種轉(zhuǎn)化的思想，它是分析問題解

18、決問題的有效途徑，是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要策略和方法。有利于我們在解決問題的過程中思維通暢、方法得當，從而達到事半功倍的效果。在初中數(shù)學學習中運用這種化歸的思維方法解決問題的例子非常多。例如,在代數(shù)學習中，方程求解時大多采用“化歸”的思路,它是解決方程(組)問題的最基本的思想，其主要途徑是降次和消元。在圖形的變換學習中，均轉(zhuǎn)化為最基本的點的變換知識來研究等。一般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)”，而把幾何稱為“形”，數(shù)與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。在數(shù)學教學中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，有利

19、于加深學生對知識的識記和理解；在解答數(shù)學題時，數(shù)形結(jié)合，有利于學生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結(jié)合思想教學，不僅能夠提高學生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學生遷移思維能力。由此可見，以上兩種基本數(shù)學思想經(jīng)常在數(shù)學解題中相結(jié)合使用，教師不容忽視。在二次函數(shù)和圖形的變換教學中，更應(yīng)該達到“突出”的程度，這種意識要存于心中。例如，拋物線和的圖像和性質(zhì)的學習就是最典型的課例。不管是整合在一起的學習，還是分開的學習，都離不開圖象的畫法，因為離開了“形”就無法順利學習。因此學生的動手操作是非常必要的，不能因為麻

20、煩而簡略，例如案例6（兩種圖象整合）和案例7（注：兩種圖象分開教學。此案例在真正教學中出現(xiàn)沒有讓學生畫圖象，直接給出，對于層次高的學生好象是沒有影響，但對大多數(shù)學生來講確實急需引起注意，方法需要經(jīng)驗的支撐。另外在列表時說選取的點值得商榷）。而在拋物線性質(zhì)（開口方向、對稱軸、頂點坐標、平移等）的獲得上面，較多教師采取了探索討論猜想的辦法，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想，達到了突出的程度。然而，很多教師卻忽略了化歸思想在此的滲透。雖然借助了課件的動態(tài)效應(yīng)，也總結(jié)了圖象平移的規(guī)律（h正右移，h負左移；k正上移，k負下移），似乎學生掌握的情況也很好，達到了教學目標。殊不知時間一久情況又會如何呢？教師都需要琢磨

21、一下才不會錯，更何況是普通學生。再說頂點式的兩種表示或，就注定左右平移的易錯性。小學生學習乘法口訣時，需要分幾個課時學習19的口訣才能形成，而且是滲透運用相同的原理（乘法轉(zhuǎn)化為加法）來多次學習。在此不是否定口訣的形成作用，而是要教師注意體現(xiàn)學生思維的特征，體現(xiàn)數(shù)學思想的作用。其實，圖形的平移最終可以化歸為點的平移，而拋物線的頂點就是最特殊的點，一切問題均可圍繞此點做文章。首先讓學生充分作圖，描出頂點并寫出坐標。（教師做一個“參與”的引導者，數(shù)學思想方法的教學是數(shù)學活動過程的教學，重在思辯操作，學生的參與度非常重要，沒有了體驗就沒有數(shù)學思想。讓學生根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學思想方

22、法的體系。）學生通過觀察討論，頂點坐標與拋物線中的h與k的關(guān)系，從而得出拋物線這種形式的頂點坐標，順利的得出對稱軸，至于開口方向一帶而過，不成問題。其次是根據(jù)頂點的平移特征來解決整條拋物線的平移特征。讓學生牢牢抓住這種化歸思想，結(jié)合拋物線的圖象，來確定平移的方向與距離，使得問題就在這種最原始的、最為有效的通性通法中解決。而學生在以后的技能訓練中自然會形成規(guī)律，這時再幫助學生形成口訣。在圖形的變換與坐標教學中，也是體現(xiàn)兩種數(shù)學思想相結(jié)合的好材料，例如案例8。因此教師還需做一個“過程”的加強者。數(shù)學思想不可能向數(shù)學知識那樣一步到位，它需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。這一個過程中是從個

23、別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的螺旋上升過程。在過程中，需要我們教師做一個“過程”的加強者，不斷的用我們的數(shù)學思想“敲打”學生的思維、讓學生在一次次的“敲打”過程中，不斷的積累、不斷的感悟、不斷的明朗，直到最后的主動應(yīng)用。案例6： 二次函數(shù)課前預習第一組：請在同一個直角坐標系內(nèi)作出下列二次函數(shù)的圖象。 (1) y=x2(2)y=x22 （3）y= x2+1 解：列表（略）描點、連線得填表：拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y=x2y=x22y= x2+1第二組：請在同一個直角坐標系內(nèi)作出下列二次函數(shù)的圖象。（1） （2）、（3）（4） 解：列表得x 描點、連線得填表：拋物線開口方

24、向?qū)ΨQ軸頂點坐標二、觀察函數(shù) 、的圖象，完成下列的練習：1、討論：（1）、函數(shù) 、的圖象的形狀是否一樣？（2）、拋物線能否看成是由拋物線經(jīng)過平移得到的？ （3）、如果能，那么拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到拋物線 2、猜想：（1）函數(shù)的頂點坐標是 ，對稱軸是 （2）拋物線能否看成是由拋物線經(jīng)過平移得到的？ （3）、如果能，那么拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到拋物線（4）函數(shù)的開口方向是 頂點坐標是 ，對稱軸是 案例7： 例在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象 ，并填空。x-3-2-10123202028820探索1拋物線是由拋物線向 平移 個單位 得到的，拋物線是由拋物線向 平移 個單位 得到的. 2拋物線

25、的頂點坐標是 ，對稱軸是 。 拋物線的頂點坐標是 ，對稱軸是 。歸納 h>0時，拋物線是由向 平移 個單位得到的。h0時，拋物線是由向 平移 個單位得到的。（a、h是常數(shù)，a0）開口方向頂點坐標對稱軸案例8：教學目標：1、在同一坐標系中，感受到圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、放大或縮小之后，點的坐標相應(yīng)發(fā)生變化；體會數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學思想；2、探索圖形在平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、放大或縮小的變換過程中，點的坐標的變化規(guī)律。一、復習、練習：1、已知：ABC，AB=AC=5，BC=6，建立平面直角坐標系，寫出各頂點的坐標.（設(shè)計意圖：通過練習，讓學生得到進一步的復習，懂得：建立平面直角坐標系要確定原點和其中一坐標軸，然后再根據(jù)有關(guān)的幾何知識，正確的寫出所求點的坐標；本題體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想 ）二、探究新知：在同一直角坐標系中，圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、放大或縮小之后，點的坐標會如何變化呢？思考一：點在直角坐標平面內(nèi)移動，你能找出它的坐標變化的規(guī)律嗎？例（略）思考二：線段在直角坐標平面內(nèi)移動，請你找出它的坐標變化的規(guī)律。例（略）思考三：ABC中，AB=AC=5