立體幾何三大公理的應(yīng)用

1、立體幾何三大公理的應(yīng)用作者: 日期：一、共線問(wèn)題例1.若AAB C所在的平面和A A1B1C1所在平面相交，并且直線 AA、BB、CC i相交 于一點(diǎn)O,求證：(1)AB和AiBi、BC和B iO> AC和A 1C1分別在同一平面內(nèi)；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A C分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上(如圖).例2. 點(diǎn)P、。R分別在三棱錐A -BCD的三條側(cè)棱上,且POP BC = X, Q R n CD=Z, PRA BD=Y.求證：X、Y、Z三點(diǎn)共線.例3.已知 ABC三邊所在直線分別與平面“交于P、Q、R三點(diǎn),求證:P、Q、R三點(diǎn)共線。二、共面問(wèn)題例4.直線m、n

2、分別和平行直線 a、b、c都相交，交點(diǎn)為A B、C、D、E、F, 如圖，求證：直線a、b、c、m n共面.例5.證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi)已知：如圖，直線ll, l 2,1 3, 14兩兩相交，且不共點(diǎn). 求證：直線1 1,1 2,1 3, 1 4在同一平面內(nèi) 例6. 已知：Ai、B 1、。和A2、B2、C2分別是兩條異面直線1 i和12上的任意三點(diǎn), M、N R、T分別是A 1A2、BA2、B1B2、GC2的中點(diǎn).求證：M、N、R T四點(diǎn)共面例7 .在空間四邊形 ABCM, M、M P、Q分別是四邊上的點(diǎn)，且滿足 公MMBCN=AQ = CP=k.NB QD PD(1)求證：

3、M N、P、Q共面.(2)當(dāng)對(duì)角線A C= a, B D=b ,且MNP Q是正方形時(shí)，求AC、B D所成的角及 k的值(用 a,b表木)三、共點(diǎn)問(wèn)題 例8.三個(gè)平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點(diǎn)或兩兩平行1、(1)證明：.A APB B=O, .A A、B B i 確定平面 BA O,.A、Ai、B、Bi 都在平面 ABOJ, AB 平面 ABO;A iBi 平面 A BO.同理可證，B C和BC、AC和AiG分別在同一平面內(nèi).(2 )分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2,證明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上2證明：如圖，設(shè)

4、ABA A iB=P;ACn Al G = R; 面 AB6面 AiBi C i = PR. BC 面 ABC BiG 面 ABC,且 BC n B iC= QQC PR,即 P、R、Q在同一直線上.3解析：.A、B、 C是不在同一直線上的三點(diǎn)過(guò)A、B、C有一個(gè)平面又 AB P,且AB點(diǎn)P既在內(nèi)又在內(nèi)，設(shè)I,則 p l.同理可證：Q |,R IP,Q,R三點(diǎn)共線.4解析：證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重合.證明 .a/b, 過(guò)a、b可以確定一個(gè)平面”.A a a,a a ,.AC a ,同理 BC a.又,

5、AC m, BC m m m a .同理可證 n a.b / c,過(guò)b,c可以確定平面3 ,同理可證 m 3 .平面a、3都經(jīng)過(guò)相交直線b、m,，平面a和平面3重合，即直線a、b、c、mr n共面.5、解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3及推論和公理i.先證某兩線確定平面a ,然后證其它直線也在a內(nèi).證明：圖中，11nl 2=p,，I i,l 2確定平面a .又 I mi3 = A,i 2門1 3= c,.1. c,a e a .故 I 3 a .同理I 4 a.I i,I 2,I 3,I 4 共面.圖中，I 1,I 2, 1 3 ,I 4的位置關(guān)系，同理可證 I i,I 2,I 3, 1 4

6、共面.所以結(jié)論成立.6、證明如圖，連結(jié)MN、NR,則 MN / l i,NR/ l 2 ,且M、Nk R不在同一直線上（否則，根據(jù)三線平行公理，知 1"/ 12與條件矛盾）. MN、NR可確定平面3,連結(jié)B1C2,取其中點(diǎn) S.連RS ST,則R S/12,又R Nl/ 1 2,N、R、S三點(diǎn)共線.即有 SC 3 ,又 ST/ 1 1, MN/ 1 1, .,.MNI/ ST,又S C 3 , ST 3 . M、N、R、T四點(diǎn)共面.AM AQ7 解析：(1)=kMB QDMQ / B D,且AM = kAM MB k 1MQ =AM = kBD AB k 1kMQ= BDk 1CN

7、CP ,= VNB PDPNI/ BD,且CNCN NBNP = CNBD CB從而N P=BDMQ/NP,MQ,N P 共面，從而 MP、Q四點(diǎn)共面.BM =1 BN 1MA k' NC kBM BN 1 BM 1,=- =,MA NC k BM MA k 1MN/ AC,又 NP/ BD.MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角.MNPQ是正方形,/ MNP =90°A C與B D所成的角為90° ,又 A C= a , B D= b,MNACBM _ 1BA k 1MN= - ak 1又 MQ=-1b,且k 1MQ= MNk=a.1rb=a,即k 1說(shuō)明：公理4是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點(diǎn) 已知：平面a n平面3 =a，平面3 n平面丫 = b ,平面丫 n平面“ 二c.求證：a、b、c相交于同一點(diǎn)，或 a"b"c.證明： “ n B=a, § n 丫 = b a、b §a、b 相交或 a / b .(1) a、b相交時(shí)，不妨設(shè) anb=P，即PC a, P C b而 a、b (3 , a a . PC B , P e a ,故P為a和B的公共點(diǎn)又