高考數(shù)學復習點撥 對定積分的概念剖析

1、對定積分的概念剖析學習定積分對理解中學教材是必要的，如祖日恒原理.只有學習了定積分才能更好地理解它，要想學好本部分，也需從定義學起.一、關(guān)于定積分的概念.定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)（如圖1），用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式注意：1定積分是一種“和”的極限，蘊含著分割、近似代替，求和、取極限的思想方法，這種思想方法來源于“計算底邊在區(qū)間上，高為的曲邊梯形的面積”分割：將大曲邊梯形分割成很多

2、個小曲邊梯形，即在區(qū)間內(nèi)取個點，它們依次為，這些點把區(qū)間等分成個小區(qū)間近似代替：當分點較多，又分割的較細時，即在每個小區(qū)間上的值變化不大時，在每個小區(qū)間上任取一點，以為高，為底的小矩形面積近似代替相應區(qū)間上的小曲邊梯形的面積（近似代替可以有以直代曲，以勻速代變速，以恒力代變力，以圓柱代圓錐等多種方式）求和：將區(qū)間上近似代替小曲邊梯形的小矩形的面積加起來，就是所求曲邊梯形面積的近似值.取極限：當上述分割越來越細，即分點無限增多，同時小區(qū)間的長度趨近于零時，則求和公式的極限就是曲邊梯形的面積.許多實際問題，如求體積、變力作功、變速直線運動的路程等，都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”歸結(jié)成這

3、種特殊結(jié)構(gòu)的“和”的極限.拋開實際問題的具體意義，從數(shù)學結(jié)構(gòu)上來考慮問題，就產(chǎn)生了定積分的定義.2在定義中均假設(shè)，當或時，有或3定積分是一種“和”的極限值，所以是一個常數(shù)，與被積函數(shù)在積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān)4如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，那么定積分必定存在，如無特別聲明，我們總假定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)2定積分的幾何意義：（1）當函數(shù)時，定積分在幾何上表示：由曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形（圖2）的面積即（2）如果在區(qū)間，函數(shù)時，那么曲邊梯形位于軸下方（圖3）在右端的和式中，由于，故從而積分，這時它等于圖3所示曲邊梯形面積的負值，即或（3）當在區(qū)間上有正有負時，積分在幾何上表示圖4所示的幾個小曲邊梯形面積的代數(shù)和（軸上方面積取正號，軸下方面積取負號）二、典例分析例1根據(jù)定積分的幾何意義計算定積分：解：由幾何意義，所求定積分表示由直線及所圍成圖形的面積，即圖中陰影部分面積因此例2利用定積分定