江蘇省南通市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題

1、2020屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)(滿分160分，考試時(shí)間120分鐘)參考公式：柱體的體積公式：V柱體= Sh,其中S為柱體的底面積，h為高.一、 填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計(jì)70分.1 .已知集合 A= 1 , 3, B= 0, 1,則集合 AU B=.2 .已知復(fù)數(shù)z=12-r-3i (i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為.3 .某中學(xué)組織學(xué)生參加社會實(shí)踐活動(dòng)，高二(1)班50名學(xué)生參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:次數(shù)2345人數(shù)2015105京一I則平均每人參加活動(dòng)的次數(shù)為 .4 .如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的b的值為.5 .有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各隨機(jī)參

2、加一個(gè)，則這兩位同學(xué)參加不同興趣小組的概率為 .6 .已知正四棱柱的底面邊長是3 cm側(cè)面的對角線長是 33 則這個(gè)正四棱柱的體積為 cm.7 .若實(shí)數(shù)x, y滿足xw yw 2x+3,則x + y的最小值為 28 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l ,直線l與雙曲線、y2= 1的兩條漸近線分別交于A, B兩點(diǎn)，AB= 6,則p的值為.9 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知直線 y = 3x + t與曲線y= asin x+bcosx(a, b, tCR)相切于點(diǎn)(0, 1),則(a+b)t的值為。10 .已知數(shù)列an是等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題： 數(shù)

3、列|a n|是等比數(shù)列； 數(shù)列anan+1是等比數(shù)列； 數(shù)列1是等比數(shù)列； 數(shù)列l(wèi)g a 2是等比數(shù)列.an其中正確的命題有 個(gè).11 .已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且 f(x+2) = f(x).當(dāng)0<xW1時(shí)，f(x)=x3 ax +1,則實(shí)數(shù)a的值為.12 .在平面四邊形 ABCD中，AB= 1, DA= DB, Ab- Ac= 3, Ao- AD= 2,則 |啟 + 2而 的 最小值為.13 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓Ox2+y2=1,圓C： (x 4) 2+y2 = 4.若存在過點(diǎn)P(m, 0)的直線l ,直線l被兩圓截得的弦長相等，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .14

4、 .已知函數(shù) f(x) =(2x + a)(|x a| + |x + 2a|)(a<0). 若 f(1) + f(2) + f(3) + f(672) = 0,則滿足f(x) =2 019的x的值為.二、 解答題：本大題共 6小題，共1t 90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐 PABC砰，M, N分別為棱PA PD的中點(diǎn).已知側(cè)面PADL底面ABCD底 面ABCD矩形，DA= DP.求證：(1) MN /平面 PBC(2) MD，平面 PAB.16 .(本小題滿分14分)在 ABC中，a, b, c分別為角 A, B, C所對邊的長，

5、acos B=42bcos A, cos A = g求角B的值；(2)若a=/6,求 ABC的面積.17 .(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系2xOy中，橢圓 十2yb2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.(1)已知橢圓的離心率為J,線段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 呼,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知 ABF的外接圓的圓心在直線 y= x上，求橢圓的離心率 e的值.18 .(本小題滿分16分)如圖1, 一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形ABCD AB, AD的長分別為 鄧 m和4 m一口,，k2 支上部是圓心為 O的劣弧 CD / COD=.3(1)求圖1中拱門最高

6、點(diǎn)到地面的距離；(2)現(xiàn)欲以點(diǎn)B為支點(diǎn)將拱門放倒，放倒過程中矩形 ABC所在的平面始終與地面垂直， 如圖2、圖3、圖4所示.設(shè)BC與地面水平線l所成的角為。.記拱門上的點(diǎn)到地面的最大距 離為h,試用0的函數(shù)表示h,并求出h的最大值.19 .(本小題滿分16分)已知函數(shù) f(x) =a+ln x(a R). xx1 , x2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f' (x),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 證明：xif ' (xi)+x2f(x2)>2ln a+2.20 .(本小題滿分16分)已知等差數(shù)列an滿足a4=4,前8

7、項(xiàng)和$=36.21 )求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式；(2) 若數(shù)列bn滿足n(bka2n+12k) + 2an=3(2n 1)(n C N*).k= 1證明：bn為等比數(shù)列； 求集合 (mi p) |am= 3ap, rn pCN* .bm bp2020屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)附加題（本部分滿分40分，考試時(shí)間30分鐘）21.【選做題】本題包括A B、C三小題，請選定其中兩小題，并作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-2:矩陣與變換（本小題滿分10分）a b1 0已知矩陣 M=, N=1 ,且（MN1cd0 -2選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程

8、（本小題滿分10分）x= t ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程是2 （t為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，xy=t軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是 p sin 04 =42.求：（1）直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）直線l被曲線C截得的線段長.C.選彳4-5:不等式選講（本小題滿分10分）_9222111已知實(shí)數(shù) a, b, c滿足a+b+cw1,求證： 孑有十3（+cT7）【必做題】 第 22 題、第 23 題 ， 每小題 10 分 ， 共計(jì) 20 分 . 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .22. ( 本小題滿分10 分 )“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣

9、的正整數(shù)，如22， 121 ， 3 553 等 . 顯然 2位“回文數(shù)”共9個(gè)：11, 22, 33,，99.現(xiàn)從9個(gè)不同的2位“回文數(shù)”中任取 1個(gè)乘以 4,其結(jié)果記為X;從9個(gè)不同的2位“回文數(shù)”中任取 2個(gè)相加，其Z果記為 Y.(1) 求 X 為“回文數(shù)”的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量E表示X, Y兩數(shù)中“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)，求 E的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E(E).23. ( 本小題滿分10 分)設(shè)集合B是集合A = 1 , 2, 3,，3n 2, 3n-1, 3n , nCN*的子集.記集合B中所有 元素的和為S(規(guī)定：集合B為空集時(shí)，S= 0).若S為3的整數(shù)倍，則稱B為A的“和諧子集”. 求：

10、(1) 集合A1 的“和諧子集”的個(gè)數(shù)；(2) 集合An 的“和諧子集”的個(gè)數(shù).2020 屆高三年級第一次模擬考試 ( 南通 )1.0, 1, 37. 6 8.數(shù)學(xué)參考答案22. 5 3. 3 4. 7 5. 3 6. 5413. -4,14. 3379. 4 10. 3 11. 2 12. 2 515. （1） 在四棱錐 PABC砰，M, N分別為棱 PA, PD的中點(diǎn)，所以MM AD.（2分）又底面ABCD矩形，所以 BC/ AD.所以MM BC.（4分）又BC?平面PBC MN?平面PBC所以MM平面PBC.（6分）（2）因?yàn)榈酌鍭BC虛矩形，所以AB± AD.又側(cè)面 PADL

11、底面 ABCD側(cè)面PADA底面 ABCD= AD, AB?底面ABCD所以ABL側(cè)面PAD.（8分）又MD7側(cè)面PAD所以 AB± MD.（10 分）因?yàn)镈A= DP；又M為AP的中點(diǎn)，從而 MDL PA.（12 分）又 PA, AB在平面 PAB內(nèi),PAH AB= A,所以 MDL平面 PAB.（14分）16. （1） 在 ABC中，因?yàn)?cosA= £ 0<A<n , 3所以 sin A= 一 cos2A= .（2 分）因?yàn)?acosB= 2bcosA, a b由正弦定理-得 sin AcosB= J2sin BcosA. sin A sin B所以 cos

12、B= sin B.（4 分）若 cosB= 0,則 sin B= 0,與 sin 2B+ cos2B= 1 矛盾，故 cosBw 0.于是tanB=犯1=1. cosB又因?yàn)?<B<n , 汽所以B= .（7分）4（2）因?yàn)?a=6, sin A=半，由（1）及正弦定理 一*=%,得半=4, sin A sin B 62V 2所以b= -2.（9分）又 sin C= sin (n一A B)=sin (A + B)=sin AcosB+ cosAsin BYH+F .考花(12分)113J2 2J3+V6 6+3J2所以的面而為S= 2absin5Xmx±x' =

13、T。4為x2 y24,117. (1) 因?yàn)闄E圓 孑+b2= 1(a>b>0)的離心率為2,所以c=；,則a= 2c.a 2因?yàn)榫€段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為乎，所W.所以 c= 212,則 a2 = 8, b2= a2 c2= 6. 22所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"8 + (= 1.(4分)(2)因?yàn)辄c(diǎn) A(a, 0),點(diǎn) F(-c, 0),ac所以線段AF的中垂線方程為x =一萬一.又因?yàn)?ABF的外接圓的圓心 C在直線y=x上,a ca c所以點(diǎn)C-2-, - .(6分)因?yàn)辄c(diǎn) A(a, 0)，點(diǎn) B(0, b)所以線段AB的中垂線方程為:b a a y2=bx2.由點(diǎn)C在線段A

14、B的中垂線上,a c 得一-2-b a 2=ba c2整理得，b(a - c) + b2= ac, (10 分) 即(b c)(a + b) = 0.因?yàn)閍+b>0,所以b= c.(12 分)c所以橢圓的離心率e=-ac 二b2+ c22.(14 分)18. (1)如圖1,過點(diǎn)。作與地面垂直的直線交AB,CD于點(diǎn)OQ,交劣弧CD于點(diǎn)巳OP的長即為拱門最高點(diǎn)到地面的距離在 RtQOC中，/ Q=；，CO=#, 所以O(shè)O= 1,圓的半徑 R= OC= 2.所以 OP= F OO = R+ OQ OO= 5.故拱門最高點(diǎn)到地面的距離為5m(4分)(2)在拱門放倒過程中，過點(diǎn)。作與地面垂直的直線

15、與 當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上時(shí)，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離 面距離之和；當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離由 知，在 RtOOB 中，OB= .OO+ OB2 =243.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，地面所在的直線為x軸，建立如圖“拱門外框上沿”相交于點(diǎn)P.h等于圓。的半徑長與圓心。到地h等于點(diǎn)D到地面的距離.2所示的坐標(biāo)系. .一. 支汽當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上時(shí)，-6<0 < -2.由/ OBx= 0 + -6, OB= 2 3,由三角函數(shù)定義，得點(diǎn) O 2，3cos 0 + -6- , 2，3sin 0 + -6-, 則 h= 2+2小sin 0 + -6- .（8 分）所以當(dāng)7t兀TT

16、.。十刀=彳即天時(shí)，h取得最大值6232+2®10 分）_ , ._.，一一. ,兀如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，0< 0 < .設(shè)/ CBD=（）,在 RtA BCD中，DB= .bC+cD =252.32142 7sin2v 7，Cos3 277= 7 .由/ DBx= 0 + <f）,得點(diǎn) D（2寸cos（ 0 +（） , 2/7sin （。+。）.所以 h= 2/sin （。+ 4 ） = 4sin 0 + 23cos0 .（14 分）又當(dāng) 0< 0 <-6-時(shí)，hz = 4cos0 - 2/3sin 0 >4cos-6- 2J3sin -

17、6- = 3>0.所以 h= 4sin 0 + 243cos。在 0, "6"上遞增.汽所以當(dāng)0=或時(shí)，h取得最大值5.6因?yàn)?+2m>5,所以h的最大值為4sin 0 + 2Z3cos 0 ,0<故h =2+2小0 忘 65,2+ 2/3sin0 + -6 ,TtTt否<0w萬.（2 + 2J3）m（16 分）藝術(shù)拱門在放倒的過程中，拱門上的點(diǎn)到地面距離的最大值為19. (1) 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且(a ，x a(x) = -xx當(dāng)aw。時(shí)，f' (x)>0成立，所以函數(shù)f(x)在(0 , +°°

18、;)為增函數(shù)；(2分)當(dāng)a>0時(shí)，(i )當(dāng)x>a時(shí)，f' (x)>0 ,所以函數(shù) f(x)在(a, +°° )上為增函數(shù);(ii)當(dāng)0<x<a時(shí)，f ' (x)<0 ,所以函數(shù) f(x)在(0 , a)上為減函數(shù).(4分)(2)由(1)知，當(dāng)aw。時(shí)，函數(shù)f(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最小值為f(a),1依題意知 f(a) =1 + lna<0,解得 0<a<e.(6 分)一方面，由于1>a, f(1) =a>0,函數(shù)f(x)在(a, +°°

19、)為增函數(shù)，且函數(shù) f(x)的圖象在 1)上不間斷.所以函數(shù)f(x)在(a, +8)上有唯一的一個(gè)零點(diǎn).另一方面，因?yàn)?0<a<1,所以0<a2<a<1. ee12 2a-1f(a 2) =； +In a2=： +2ln a,令 g(a) =1+2lna,當(dāng) o<a<e時(shí)，g' (a) =- 7+a= -a<0,所以 f(a 2) =g(a) =+2In a>g=e2>0. ae 又f(a)<0 ,函數(shù)f(x)在(0 , a)為減函數(shù)，且函數(shù) f(x)的圖象在(a2, a)上不間斷, 所以函數(shù)f(x)在(0 , a)有唯

20、一的一個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0, 1.(10分)e設(shè) p= Xif (Xi)+X2(x 2) = 1F1= 2 十 一.Xix2xix2In xi+；= 0,xi又則 p= 2+In (x ix2).(i2 分)In x2+ = 0,x2下面證明xix2>a2.不妨設(shè)xi<x2,由知0<xi<a<x2.2要證 xix2>a： 即證 xi>.x22 a因?yàn)閤i, xC(0, a),函數(shù)f(x)在(0 , a)上為減函數(shù),2所以只要證f a >f(x i).x22又 f(x i) = f(x 2) = 0,即證 f - >f(x 2)

21、.(i4 分)x22設(shè)函數(shù) F(x) = f f(x) = - - - 2ln x+ 2ln a(x>a). xa x(x-a) 2所以 F'(x)=F>0,所以函數(shù)F(x)在(a , +°°)上為增函數(shù).所以 F(x 2)>F(a) =0,2 a 所以f x； >f(x 2)成立.從而xix2>a2成立.所以 p= 2+ In (x ix2)>2 In a+ 2,即 xif' (x i) + x2f' (x 2)>2 In a+ 2 成立.(i6 分)20. (i)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)榈炔顢?shù)列an

22、滿足a4=4,前8項(xiàng)和&=36,ai+3d=4,ai = i, 所以 8X 7 解得8ai + 2-d = 36,d= i.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n.(3分)(2)設(shè)數(shù)列b n的前n項(xiàng)和為Bn.IT由(1)及七(叫做“+1 也>+2” = 3<2" 1) (w 6、*)得.V3(才一1=一A - 1(Eq%- n )+2%I3(2" 1-1) =(跖匕_131)+2(刀1)02).*-i由一得3(2 1) 3(2 1) = (b 1 a2n 1 + b2 a2n 3+ + bn ia3+ bnai + 2n) (b ia2n 3+ b2a2n5+

23、 ,，+bn- iai + 2n 2) = b 1(a 2n 3 + 2) + b2(a 2n-5 + 2) + bn i(ai+2) + bnai + 2n (b ia2n-3+ b2a2n 5+ + bn iai + 2n 2)=2(bi+b2+ bn i)+bn+2=2(Bn bn) + bn+ 2.n 1*所以 3 2= 2Bn-bn+2(n >2, nCN),又3(21 1) = biai + 2,所以bi = 1,滿足上式.所以 2R b+2=3 2 nT(nC N*),(6分)當(dāng) n>2 時(shí)，2B-1bn-1 + 2 = 3 2 n2,由一得，bn+bn 1=3- 2

24、 n 2.(8 分)bn-2nT= - (bn 1-2n 2)= -= (-1)n1(bi-20) =0,所以 bn=2nT, F =2,bn所以數(shù)列b是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.（10分）彳年即3m記cn咕由得，an ncn=二，Cn+1n+1一，-,所以=n7<1,所以Cn>Cn+1(當(dāng)且僅當(dāng)n= 1時(shí)等號成立).Cn2nam 3ap由bmr K,倚 Cm= 3Cp>Cp,所以n<p.(12分)設(shè) t = p mm! p, t C N),2”Y得"為當(dāng)t = 1時(shí)，m= 3,不合題意；當(dāng)t = 2時(shí)，m= 6,此時(shí)p=8符合題意;當(dāng)t = 3時(shí)，m=

25、9,不合題意；5當(dāng)t = 4時(shí)，m= 7；<1,不合題意. 一一 .一*、. rU卜面證明當(dāng)t>4, tCN時(shí)，m= 233<1.不妨設(shè) f(x) = 2x-3x-3(x>4), 貝U f ' (x) = 2xln2 -3>0,所以函數(shù)f(x)在4, +8)上是單調(diào)增函數(shù)，所以 f(x)>f (4) =1>0,* ,3t.所以當(dāng)t>4, tCN時(shí)，mr2<1,不合題意分)am 3 ap綜上,所求集合（ m P）l bm= TP m pC N=（6 ,盼（161 021A由題意知（MN-= 40 2則 MN=1 .（4 分）0 2因?yàn)?/p>

26、N=所以矩陣M=100202 .（6 分）4 0n d .（10 分）0 1B. （1） 直線l的極坐標(biāo)方程可化為7t7tr-P （sin 0 cos-4" cos 8 sin _4） ="2, 即 p sin 8 一P cos 8 = 2.又 x= p cos 0 , y= p sin 0 ,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy+2 = 0.（4分）x = t ,2(2)曲線C 2 (t為參數(shù))的普通方程為x2=y. y=tx = y,2由得 xx 2=0,x-y+2= 0所以直線l與曲線C的交點(diǎn)A(-1, 1) , R2, 4).(8分)所以直線l被曲線C截得的線段長為 AB

27、=d (12) 2+ (1 4) 2=372.(10分) C.由柯西不等式，得a2+ 1 + b2+ 1+ c2+ 1（a2+1） + （b2+1） + （c2+1）（ + Vc2+1 c、）2=9, （5 分）,111999 八所以 a2+ 1 + b2+ 1 + c2+ 1 >a2+b2+c2+3> 13 = 4.（10 分 ）22. (1)記“X是回文數(shù)”為事件 A.9個(gè)不同的2位“回文數(shù)”乘以 4的值依次為44, 88, 132, 176, 220, 264, 308, 352, 396,其中“回文數(shù)”有 44, 88.所以事件A的概率P(A)=2.(3分)9(2)根據(jù)條件知，隨機(jī)變量 E的所有可能取值為0, 1, 2.由(1)得 P(A)=2.(5 分)9設(shè)“Y是回文數(shù)”為事件 B,則事件A, B相互獨(dú)立.20 5根據(jù)已知條件得，P(B)=9.P(- 0)=P(A)P(B) =(1 2)X(1 5)=28； 998 125 2543P(E= 1)=P(A)P(B) +P(A)P(B) =(1 -9) X9 + gX 1-g =而；2 5 10 八P(E= 2)=P(A)P(B) =