初二數(shù)學多邊形的內(nèi)角和與外角和[人教版]

1、目錄n1.多邊形的定義多邊形的定義n2.正多邊形的定義正多邊形的定義n3.多邊形的對角線多邊形的對角線n4.多邊形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和n5.多邊形的外角和多邊形的外角和 三角形有三個內(nèi)角、三條邊三角形有三個內(nèi)角、三條邊, ,我們也可以把三我們也可以把三角形稱為三邊形（但我們習慣稱為三角形）角形稱為三邊形（但我們習慣稱為三角形） 你能說出三角形的定義嗎?三角形是由三條三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形 既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形, ,你能根據(jù)三角形你能根據(jù)三角形的定義的定義, ,說出什么叫四邊形嗎說出什么叫四邊形嗎? ?四邊形是由四邊形是由四條四

2、條不在同一直線上不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形圖形, ,記為四邊形記為四邊形ABCD 五邊形五邊形, ,它是由它是由五條五條不在同一直線不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形面圖形, ,記為五邊形記為五邊形ABCDE 一般地一般地,由由n條條不在同一直線上不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為面圖形稱為n邊形邊形,又稱為多邊又稱為多邊形形那么多邊形的定義呢? 下面所示的圖形也是多邊形下面所示的圖形也是多邊形,但不在我們現(xiàn)但不在我們現(xiàn)在研究的范圍內(nèi)在研究的范圍內(nèi) 。注注 意意我們

3、現(xiàn)在研究的是如右圖所示的多邊形,也就是所謂的凸多邊形 有什么不同有什么不同?凹多邊形凹多邊形凸多邊形凸多邊形圖 8.3.2 1.1.如圖如圖8.3.2所示所示, ,A、D、C、ABC是四邊是四邊形形ABCD的四個內(nèi)角的四個內(nèi)角 3.CBE和和ABF都是與都是與ABC相鄰的外角相鄰的外角, 兩兩者互為對頂角者互為對頂角,四邊形有八個外角。四邊形有八個外角。 既然三角形有三個既然三角形有三個內(nèi)角、三條邊內(nèi)角、三條邊, ,六個外角六個外角, ,那那么四邊形有幾個內(nèi)角么四邊形有幾個內(nèi)角? ?幾條邊幾條邊? ?幾個外角呢幾個外角呢? ?2.AB2.AB, ,BCBC, ,CDCD, ,DADA是四邊形是

4、四邊形ABCD的四條邊的四條邊 那么五邊形有幾個內(nèi)角那么五邊形有幾個內(nèi)角? ?幾條邊幾條邊? ?幾個外角呢幾個外角呢? ?那么六邊形有幾個內(nèi)角那么六邊形有幾個內(nèi)角? ?幾條邊幾條邊? ?幾個外角呢幾個外角呢? ?那么那么n n邊形有幾個內(nèi)角邊形有幾個內(nèi)角? ?幾條邊幾條邊? ?幾個外角呢幾個外角呢? ?六邊形有六邊形有6 6個內(nèi)角個內(nèi)角, ,6 6條邊條邊, ,1212個外角個外角五邊形有五邊形有5 5個內(nèi)角個內(nèi)角, ,5 5條邊條邊, ,1010個外角個外角n n邊形有邊形有n n個內(nèi)角個內(nèi)角, ,n n條邊條邊, ,2n2n個外角個外角 請大家細心地填一填請大家細心地填一填, ,多邊形的內(nèi)

5、角多邊形的內(nèi)角, ,邊邊, ,外角外角三者的關系表三者的關系表, ,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? ?3344556677nn681012142n 三角形如果三條邊都相等三角形如果三條邊都相等,三個角也都相等三個角也都相等,那么這樣那么這樣的三角形就叫做的三角形就叫做正正三角形。三角形。 如果多邊形各如果多邊形各邊邊都相等都相等,各個各個角角也都相等也都相等,那么這那么這樣的多邊形就叫做樣的多邊形就叫做正多邊形正多邊形。如正三角形、正四邊如正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形等等形（正方形）、正五邊形等等 。正三角形正三角形正四邊形正四邊形正五邊形正五邊形正六邊形正六邊形正八邊形正八邊形

6、(或正三邊形或正三邊形)(或正四邊形或正四邊形) 連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線形的對角線. 線段線段AC是四邊形是四邊形ABCD的一條對角線的一條對角線;多邊形的對角線用虛線表示。多邊形的對角線用虛線表示。請大家思考請大家思考: :五邊形五邊形ABCDE共共有幾條對角線有幾條對角線呢呢?五邊形五邊形ABCDE共共有有5 5條對角線條對角線。請大家思考請大家思考: :六邊形六邊形ABCDEF共共有幾條對角線有幾條對角線呢呢?六邊形六邊形ABCDEF共共有有9 9條對角線條對角線。有沒有什么有沒有什么規(guī)律呢規(guī)律呢?請問請問:四四邊形從一

7、個頂點出發(fā)邊形從一個頂點出發(fā),能引出幾條對角線能引出幾條對角線?請問請問:五五邊形從一個頂點出發(fā)邊形從一個頂點出發(fā),能引出幾條對角線能引出幾條對角線?請問請問:六六邊形從一個頂點出發(fā)邊形從一個頂點出發(fā),能引出幾條對角線能引出幾條對角線?請問請問:N邊形從一個頂點出發(fā)邊形從一個頂點出發(fā),能引出幾條對角線能引出幾條對角線? 123N-3 我們已經(jīng)知道一個我們已經(jīng)知道一個三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180,那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢?五邊形、六邊形呢五邊形、六邊形呢?由此由此,n邊形的內(nèi)角和等于多少呢邊形的內(nèi)角和等于多少呢?我們學習數(shù)學的我們學習數(shù)學的基本思想什

8、么基本思想什么?化未知為已知化未知為已知 那么我們能不能利用那么我們能不能利用三角形的三角形的內(nèi)角和內(nèi)角和,來求出來求出四邊形的內(nèi)角和四邊形的內(nèi)角和,以及五以及五邊形、六邊形邊形、六邊形,n邊形的邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和? 請你認真地想一想請你認真地想一想,你能通過怎樣的方法把多邊形你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形為三角形?345n-2540 720 900 180 (n-2)1.從一個頂點出發(fā)從一個頂點出發(fā)由此,我們就可以得出 :nn邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為_(n-2) 180 它有什么作用它有什么作用呢呢?1.知道多邊形的邊數(shù)知道多邊形的邊數(shù),可以求出多邊形的度數(shù)可以求出多邊形的度

9、數(shù).2.知道多邊形的度數(shù)知道多邊形的度數(shù),可以求出多邊形的邊數(shù)可以求出多邊形的邊數(shù).例1.求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)n 解 （n2）180n=（82）180n=1 080 分析分析: n邊形的內(nèi)角和公式為邊形的內(nèi)角和公式為(n-2) 180 ,現(xiàn)在知道這個多邊形的邊數(shù)是現(xiàn)在知道這個多邊形的邊數(shù)是,代入這個公式既可求出代入這個公式既可求出.老師老師,可以用計算器嗎可以用計算器嗎?例2.已知多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為900,則這個多邊形的邊數(shù)為_n解 （n2）180 = 900n （n2）= 900 /180 n （n2） = 5n n= 5 +2 n n=77哇哇!這么簡單呀這么簡單呀! 例例3. 已知

10、在一個十邊形中已知在一個十邊形中,九個內(nèi)角的和的度數(shù)九個內(nèi)角的和的度數(shù)是是1290,求這個十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù)求這個十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù).n解: （102）180 =1440 n 則十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù)為十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù)為n 1440 - 1290 =150 先求出十邊形的內(nèi)角和先求出十邊形的內(nèi)角和再減去再減去1290,就可以得出就可以得出.那么對于正多邊形來說那么對于正多邊形來說,又遇到怎樣的問題呢又遇到怎樣的問題呢?因為正多邊形的每個角相等因為正多邊形的每個角相等,所以知道所以知道正多邊形的邊數(shù)正多邊形的邊數(shù),就可以求出每一個內(nèi)角的度數(shù)就可以求出每一個內(nèi)角的度數(shù).（n2

11、）180/ n例例4.正五邊形的每一個正五邊形的每一個內(nèi)內(nèi)角等于角等于_,外角等于外角等于_.例例5.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120,則則這個多邊形的邊數(shù)是這個多邊形的邊數(shù)是_n解解: （n2）180/ nn= （52）180/5n=540/5n=108n解: 120n=（n2）180n 120n=n180-360 n 60n =360 nn =6例例5.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于150,則則這個多邊形的邊數(shù)是這個多邊形的邊數(shù)是_A.12 B.9 C. 8 D.7A例例7.如果一個多邊形的邊數(shù)增加如果一個多邊形的邊數(shù)增加1,

12、則這個多邊形的則這個多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和_增加增加180 例例6.如果一個多邊形的每一個外角等于如果一個多邊形的每一個外角等于30,則這則這個多邊形的邊數(shù)是個多邊形的邊數(shù)是_n解解;設五邊形中前四個角的度數(shù)分別是設五邊形中前四個角的度數(shù)分別是x,2x,3x,4x,則第五個角度數(shù)是則第五個角度數(shù)是x+ 100 .nX+2x+3x+4x+x+ 100 = （52）180n11X +100 = 540n11X = 440nX = 40n則這個五邊形的內(nèi)角分別為則這個五邊形的內(nèi)角分別為40, 80, 120, 160, 140.例例8. 五邊形中五邊形中,前四個角的比是前四個角的比是1:2:3:4,第

13、五個角第五個角比最小角多比最小角多100 ,則這個五邊形的內(nèi)角分別為則這個五邊形的內(nèi)角分別為_ 請你認真地想一想請你認真地想一想,你能通過怎樣的方法把多邊形你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形為三角形?23456n-1180 36 0 540 720 900 180 (n-1)-180 2.從邊上的一個點出發(fā)從邊上的一個點出發(fā) 請你認真地想一想請你認真地想一想,你能通過怎樣的方法把多邊形你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形為三角形?34567n180 36 0 540 720 900 180 n-3603.從多邊形內(nèi)一個點出發(fā)從多邊形內(nèi)一個點出發(fā) 請你認真地想一想請你認真地想一想,

14、你能通過怎樣的方法把多邊形你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形為三角形?180 n- 36 0 = 180 n- 2X180 = 180 (n-2)4.從多邊形外一個點出發(fā)從多邊形外一個點出發(fā) 前面我們學習了三角形的外角和是前面我們學習了三角形的外角和是360 ,當當時是怎樣研究出來的時是怎樣研究出來的?ABCDEF1.先把三角形的三個外角和三個先把三角形的三個外角和三個內(nèi)角這六個角內(nèi)角這六個角的和求出來的和求出來,剛好是三個平角。剛好是三個平角。2.再用這六個角的和減去三個內(nèi)角的和再用這六個角的和減去三個內(nèi)角的和,剩下剩下的就是三角形的外角和了的就是三角形的外角和了!圖 8.3.6 那

15、么你能研究出四邊形的外角和嗎那么你能研究出四邊形的外角和嗎?整體思路:1.先求4個外角+4個內(nèi)角的和內(nèi)角的和;2.再減去再減去4個內(nèi)角的和個內(nèi)角的和容易看出容易看出,4個外角個外角+4個個內(nèi)角內(nèi)角=4個平角個平角而而4個個內(nèi)角的和是內(nèi)角的和是360 ,那么那么四邊形的外角和四邊形的外角和就是就是4X 180-360= 360那么出五邊形那么出五邊形,六邊形六邊形,n邊形的外角和嗎邊形的外角和嗎?五邊形的外角和五邊形的外角和就是就是5X 180-540= 360 六邊形的外角和六邊形的外角和就是就是6X 180-720= 360。n邊形的外角和邊形的外角和就是就是nX 180- (n-2)X 1

16、80 = (n-n+2)X 180 = 360 任任意意多多邊邊形形的的外外角角和和都都為為360 例例9.正五邊形的每一個外角等于正五邊形的每一個外角等于_.每一個內(nèi)角每一個內(nèi)角等于等于_,72144例例10.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120,則則這個多邊形的邊數(shù)是這個多邊形的邊數(shù)是_6例例11.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于150,則則這個多邊形的邊數(shù)是這個多邊形的邊數(shù)是_A.12 B.9 C. 8 D.7A例例12.如果一個多邊形的每一個外角等于如果一個多邊形的每一個外角等于30,則則這個多邊形的邊數(shù)是這個多邊形的邊數(shù)是_1

17、2例例13.一個正多邊形的一個內(nèi)角和是外角和的一個正多邊形的一個內(nèi)角和是外角和的2倍倍,則這個多邊形為則這個多邊形為( )A.三角形三角形 B.四邊形四邊形 C.五邊形五邊形 D. 六邊形六邊形例例14.一個正多邊形的一個內(nèi)角和與外角和的比一個正多邊形的一個內(nèi)角和與外角和的比是是7:2,則這個多邊形的邊數(shù)為則這個多邊形的邊數(shù)為( )思考一思考一:一個三角形中一個三角形中,它的內(nèi)角最多可以有幾個銳角它的內(nèi)角最多可以有幾個銳角? 為什么為什么?思考二思考二:一個四邊形中一個四邊形中,它的內(nèi)角最多可以有幾個銳角它的內(nèi)角最多可以有幾個銳角? 為什么為什么?思考三思考三:一個多邊形中一個多邊形中,它的內(nèi)角最多可以有