概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集及答案

1、?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?作業(yè)集及答案第1章概率論的根本概念§ 1 .1隨機試驗及隨機事件1. (1) 一枚硬幣連丟3次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S= ;(2) 一枚硬幣連丟3次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S=;2.(1) 丟一顆骰子.A :出現(xiàn)奇數(shù)點,那么 A=; B:數(shù)點大于2,那么B= (2) 一枚硬幣連丟2、次, A :第一次出現(xiàn)正面,那么 A= ;B:兩次出現(xiàn)同一面,那么 =; C:至少有一次出現(xiàn)正面,那么 C= § 1 .2 隨機事件的運算1 .設A、B、C為三事件,用A、B、C的運算關系表示以下各事件：(1)A、B C都不發(fā)生表示為：.(2)

2、A 與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為：.(3)A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為：.(4)A、B C中最多二個發(fā)生表示為：.(5)A、B C中至少二個發(fā)生表示為：.(6)A、B C中不多于一個發(fā)生表示為：.2 .設 S x: 0 x 5, A x: 1 x 3, B x: 24：那么(1) AB ,(2)AB , (3)AB ,(4) AB= ,(5)AB= .§ 1 .3概率的定義和性質1 . P(A B) 0.8, P(A) 0.5, P(B) 0.6,那么(1) P(AB) ,(2)(P(A B)=,P(A B)=.2 . P(A) 0.7, P(AB) 0.3,那么 P(AB) =&

3、#167; 1 .4古典概型1 .某班有30個同學,其中8個女同學,隨機地選10個,求:(1)正好有2個女同學的概率,(2)最多有2個女同學的概率,(3)至少有2個女同學的概率.2 .將3個不同的球隨機地投入到 4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率 .§ 1 .5條件概率與乘法公式1 .丟甲、乙兩顆均勻的骰子,點數(shù)之和為7,那么其中一顆為1的概率是 .2 . P(A) 1/4, P(B | A) 1/3, P(A| B) 1/2,那么 P(A B) .§ 1 .6 全概率公式1 .有10個簽,其中2個“中,第一人隨機地抽一個簽,不放回,第二人再隨機地抽一個簽,說明兩人抽“中

4、 '的概率相同.2 .第一盒中有4個紅球6個白球,第二盒中有 5個紅球5個白球,隨機地取一盒,從中隨機地取一個球,求取 到紅球的概率.§ 1 .7貝葉斯公式1 .某廠產品有70%不需要調試即可出廠,另30%需經過調試,調試后有 80%能出廠,求(1)該廠產品能出廠的概率,(2)任取一出廠產品,求未經調試的概率.2 .將兩信息分別編碼為 A和B傳遞出去,接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,B被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳遞的頻繁程度為 3 : 2 ,假設接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少？§ 1 .8隨機事件的獨立性1 .電路如圖,

5、其中A,B,C,D為開關.設各開關閉合與否相互獨立,且每一開關閉合的概率均為p,求L與R為通路(用T表示)的概率.A B Z X ,LRCD2 .甲,乙,丙三人向同一小標各射擊一次,小中率分別為0.4,0.5 和0.6,是否命中,相互獨立,求以下概率：(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次.第1章作業(yè)答案§ 1 .11:(1)SHHH , HHT ,HTH ,THH, HTT,THT,TTH,TTT；(2)S0, 1, 2, 32： (1)A1, 3, 5 B 3, 4,5, 6;(2) A 正正,正反, B 正正,反反, C 正正,正反,反正.§ 1 .2 1： (1)

6、ABC; (2) ABC； (3) ABC； (4) A B C ； (5) AB AC BC ;(6) A BACBC 或 ABC ABCABC ABC;2： ( 1) A Bx:1x 4; (2) AB x:2 x3; (3) AB x:3x 4;(4)A B x: 0x 1或 2 x 5； (5)AB x:1x 4.§ 1 .3 1: (1)P(AB)=0.3,(2)P(A B) = 0.2, (3) P(A B) = 0.7. 2: P(AB) )=0.4.2 2281010192810101八 910§ 1 .4 1 ： (1) C8C22 /C30 ,(2)(

7、( C22C8C22C8 c22)/ C30 ,(3)1-( C22C8c22)/C30.2：P43 /43.§ 1 .5 1: . 2/6;2:1/4.§ 1 .6 1:設A表示第一人“中,那么P(A) = 2/10設 B表示第二人“中,那么 P(B) = P(A)P(B|A) + P( A)P(B| A)=2_ 1_8_ 2 _2_10 9 10 910兩人抽“中的概率相同,與先后次序無關.2:隨機地取一盒,那么每一盒取到的概率都是0.5 ,所求概率為：p = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.45§ 1 .7 1: (1) 94% (2)

8、70/94;2:0.993;§ 1 .8. 1 : 用A,B,C,D表示開關閉合,于是T = AB U CD,從而,由概率的性質及 A,B,C,D的相互獨立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)=P(A)P(B) + P(C)P(D)- P(A)P(B)P(C)P(D)2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38;(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章隨機變量及其分布§ 2.1 隨機變量的概念,離散型隨機變量1 一盒中有編號為1,

9、2, 3, 4, 5的五個球,從中隨機地取3個,用X表示取出的3個球中的最大號.,試寫出X的分布律.2某射手有5發(fā)子彈,每次命中率是0.4, 一次接一次地射擊,直到命中為止或子彈用盡為止,用 X表示射擊的次數(shù),試寫出X的分布律.§ 2.2 0 1分布和泊松分布1某程控交換機在一分鐘內接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從入=4的泊松分布,求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2設隨機變量 X有分布律： X 23 , Y兀(X), 試求：p 0.40.6(1) P(X=2,YW2);(2)P(YW2); (3) Y w 2,求 X=2

10、 的概率.§ 2.3 貝努里分布1 一辦公室內有5臺計算機,調查說明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6,計算機是否被使用相互獨立,問在同一時刻(1)恰有2臺計算機被使用的概率是多少？(2)至少有3臺計算機被使用的概率是多少？(3)至多有3臺計算機被使用的概率是多少？(4)至少有1臺計算機被使用的概率是多少？2設每次射擊命中率為 0.2,問至少必須進行多少次獨立射擊,才能使至少擊中一次的概率不小于0.9 ?§ 2.4 隨機變量的分布函數(shù)0x11設隨機變量X的分布函數(shù)是：F(x) =0.51 x 11x 1(1)求 P(XW0 )； P 0 X 1 ; P(X>1)

11、, (2)寫出 X 的分布律.x 0 .一0 ,求(1)常數(shù) A, (2) P 1 X 2 x 0kx 0 x 10 其他F(x),畫出F(x)的圖形,0 x 1In x 1 x e1 x eAx2設隨機變量X的分布函數(shù)是：F(x) =1 一0§ 1.5 連續(xù)型隨機變量1設連續(xù)型隨機變量 X的密度函數(shù)為：f(x)(1)求常數(shù)k的值；(2)求X的分布函數(shù) (3)用二種方法計算 P(- 0.5<X<0.5).2 設連續(xù)型隨機變量x 0的分布函數(shù)為：F(x)=(1)求X的密度函數(shù)f(x),畫出f(x)的圖形,(2)并用二種方法計算 P(X>0.5).§ 2.6

12、均勻分布和指數(shù)分布21設隨機變量 K在區(qū)間(0, 5)上服從均勻分布,求萬程 4x + 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率.2假設打一次 所用時間(單位：分) X服從 0.2的指數(shù)分布,如某人正好在你前面走進 亭,試求你 等待：(1)超過10分鐘的概率；(2) 10分鐘 到20分鐘的概率.§ 2.7 正態(tài)分布1 隨機變量 X N (3, 4), (1)求 P(2<X < 5) , P(- 4<X< 10), P(|X|>2),P(X>3);(2)確定 c,使得 P(X>c) = P(X<c).2某產品的質量指標 X服從正態(tài)分布,

13、科=160,假設要求P(120<X<200) >0.80,試問b最多取多大？§ 2.8 隨機變量函數(shù)的分布1設隨機變量X的分布律為;X 0p0.3120.40.3Y = 2X - 1,求隨機變量X的分布律.2設隨機變量X的密度函數(shù)為：f(x)2(1 x) 0 x 10 其 他Y X2 ；求隨機變量Y的密度函數(shù).3 .設隨機變量X服從(0, 1)上的均勻分布, Y 2lnX ,求隨機變量Y的密度函數(shù). 第2章作業(yè)答案§ 2.1 1 : X 345p 0.10.30.62: X 12345p 0.40.6 0.40.6 0.6 0.40.6 0.6 8.60.

14、4 0.6 0.6 8.60.6 1§2.2 1: (1) P(X = 1) = P(X>1) - P(X>2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,(2) P(X>1) = 0.981684,(3) P(X< 1) = 1 - P(X>2) = 1 -0.908422 = 0.09157&2: (1)由乘法公式：22)=2e2_2_P(X=2,Y w 2) = P(X=2) P(Y <2 | X=2)= 0.4 (ex2e 2e(2)由全概率公式：P(Yw 2) = P(X=2) P(Y w 2 | X=2)

15、+ P(X=3) P(Y <2 | X=3)2173=0.4 5e+ 0.6 >e-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458(3)由貝葉斯公式：P(X=2|Y W2)=PX-"-2)0.270670.516P(Y 2)0.52458§ 2.3 1:設X表示在同一時刻被使用的臺數(shù),那么XB(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = C".620.43(2) P(X >3 ) = C530.630.42 C：0.640.4 0.65 P(X < 3 ) = 1 - C5 0.640.40.65(4)P(X >

16、1 ) = 1 - 0.452：至少必須進行11次獨立射擊1 = 0.5; P(X>1) = 0.5,§ 2.4 1:(1) P(X<0 )=0.5; P 0 X(2) X的分布律為:-110.50.52: (1) A = 1,(2) P 1 X 2 =1/60x 0§ 2.5 1:(1) k 2, (2) F(x)x2 0 x 1 ；1x 10.500.51(3) P(- 0.5<X<0.5) =f (x)dx 0dx 2xdx ；0.50.504 '11或二F(0,5)- F(-0.5) =- 0 - o441/x 1 x e2 :(1)

17、 f (x)一“(2) P(X 2) 1 ln 20 其他§ 2.6 1： 3/52:(1)e 2 (2) e 2 e 42:31.25.§ 2.7 1 : (1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5; (2) c = 3,§ 2.8 1 ： Y |- 113p 0.30.40.32：fY(y)(1 y ) . y 00 y 1,3： fY(y)其 他1y/22ey°；0y0第3章多維隨機變量§ 3.1 二維離散型隨機變量3個,用X表示取到的紅土個數(shù),用 Y表示取到1 .設盒子中有2個紅球,2個白球,1個黑球,從中隨機地取的

18、白球個數(shù),寫出 (X, Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.2 .設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：X、|012試根楣以下條件分別求 a和b的值; P(X 1) 0.6;00.10.2 a0.10.2(2) P( X 1 |Y 2) 0.5;(3)設 F(x)是 Y 的分布函數(shù),F(1.5) 0.5.§ 3.2二維連續(xù)型隨機變量1. (X、Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為： f (x, y)k(x y) 0 x 1,0 y 10 其他求(1)常數(shù) k; (2) P(X<1/2,Y<1/2);(3) P(X+Y<1) ; (4) P(X<1/2).2. (X、Y)的聯(lián)合密度

19、函數(shù)為:kxy 0 x 1,0 y xf(x,y)0 其他求(1)常數(shù) k; (2) P(X+Y<1) ; (3) P(X<1/2).§ 3.3邊緣密度函數(shù)1 .設(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下,分別求2 .設(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下,分別求§ 3.4隨機變量的獨立性1. (X, Y)的聯(lián)合分布律如下,試根楣以下條件分別求 a和b的值；X與Y的邊緣密度函數(shù).X與Y的邊緣密度函數(shù)."Xy I 12311/61/91/18 P(Y 1) 1/3;2 a b 1/9(2) P(X 1 |Y 2) 0.5;(3)X與Y相互獨立.2.*(X,Y)的聯(lián)合密度

20、函數(shù)如下,求常數(shù) c,并討論X與Y是否相互獨立?§ 3.5 多個隨機變量的函數(shù)的分布§ 3.6 幾種特殊隨機變量函數(shù)的分布第3章作業(yè)答案§ 3.14Y1210.40.30.720.30.0.30.70.311 :(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8(1) k = 1 ;(1) k = 8 ;2： a=0.1b=0.3(2) a=0.2b=0.2 a=0.3b=0.1§ 3.2(3) P(X+Y<1) = 1/3(4) P(X<1/2) = 3/8 .§ 3.3§ 3.42:2:2：§ 4

21、.11.盒中有(A) 1;(2) P(X+Y<1) = 1/6 ; (3) P(X<1/2) = 1/16.fX (X)fY(y)fX (x)(1) a=1/6xe1222-dy(1 x )(1 y )(1 x(1)(1-dx y2)2 (1y2)fY(y)b=7/18 ;(2) a=4/9 b=1/9;c = 6, X與丫相互獨立.隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望5個球,其中(B)2個紅球,隨機地取 3個,用(C)2.設X有密度函數(shù):f(x)3x2802x4其他,E(X)的概率.3.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為: E(XY) 0.65,那么a和b的值是:(A) a=0.1,

22、b=0.3;(B) a=0.3, b=0.1 ;4.設隨機變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下:§ 4.2數(shù)學期望的性質1 .設X有分布律:(A) 1;a = 1/3,b = 2/9.X表示取到的紅球的個數(shù),那么EX是:(D) 2.1、,求E(X), E(2X 1), E(-X-2-),并求X大于數(shù)學期望0.10.1(C) a=0.2, b=0.2;求 EX,EY,E(XY3 那么 E(X2p 0.10.20.30.4(B) 2;(Q 3;(D 4.0.2 ab 0.2(D) a=0.15, b=0.25.1).2X 3)是:2.設(X,Y)有 f(x,y)5 4y 0y 1 ,試驗證

23、 E(XY) E(X)E(Y),但 X 與Y不他相互獨立.§ 4.3 方差1.丟一顆均勻的骰子,用X表小點數(shù),求EX,DX .2. X有密度函數(shù)：f (x)(x 1)/400其§ 1.4 常見的幾種隨機變量的期望與方差1.設X(2) ,YB(3, 0.6),相互獨立,那么E(X 2Y), D(X2Y)的值分別是:(A) -1.6 和 4.88 ;(B) -1 和4；(C)1.6 和 4.88;(D)1.6 和-4.88.2.設X U(a, b), Y N(4, 3),X與Y有相同的期望和方差,求a, b的值.(A) 0 和 8;(B) 1 和 7;(C) 2 和 6;(D)

24、3 和 5.Cov(X,Y)和相關系數(shù)1 .隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律如下:§ 1.5 協(xié)方差與相關系數(shù)Xy101X00.20.1010.10.30.3試求協(xié)方差2.設隨機變量(X, Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試求協(xié)方差Cov(X,Y)和相關系數(shù)XY,(A)(B)(C)E(XY) E(X)E(Y),那么X與Y相互獨立;§ 1.6 獨立性與不相關性矩卜列結論不正確的選項是(X與Y相互獨立,那么X與Y不相關;X與Y相關,那么X與Y不相互獨立；(D)f(x,y)fX(x)fy(y),那么 X與Y不相關;2.假設 COV(X,Y) 0,那么不正確的選項是(A) E(XY) E(X

25、)E(Y); (B)E(XY) E(X) E(Y)；(C) D(XY) D(X)D(Y); (D)D(XY) D(X) D(Y)；(X,Y )有聯(lián)合分布律如下,試分析3.X、丫-101.11/81/81/801/801/811/81/81/8X與Y的相關性和獨立性.4. E(XY) E(X)E(Y)是 X 與Y不相關的()(A)必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件；(D)既不必要,也不充分.5. E(XY) E(X)E(Y)是X與Y相互獨立的()(A) 必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件；(D)既不必要,也不充分.6.設隨機變量(X, Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗證X與Y不相關,但不

26、獨立.第4章作業(yè)答案§ 4.1 1: B ; 2 : 3/2, 2, 3/4, 37/64; 3 : D ;4:2/3, 4/3 , 17/9 ;§ 4.2 1 : D ;§ 4.3 1: 7/2,35/12;2: 11/36;§ 4.4 1 : A;2 : B ;§ 4.5 1: 0.2, 0.355;2: - 1/144, 1/11;§ 4.6 1: C; 2: C; 3: X與Y不相關,但 X與Y不相互立；4: C; 5: A;第5章極限定理* § 5.1大數(shù)定理§ 5.2 中央極限定理1 . 一批元件的壽命

27、(以小時計)服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布,現(xiàn)有元件 30只,一只在用,其余 29只備用,當使用的一只損壞時,立即換上備用件,利用中央極限定理求30只元件至少能使用一年(8760小時)的近似概率.2 .某一隨機試驗,“成功的概率為 0.04,獨立重復100次,由泊松定理和中央極限定理分別求最多“成功6次的概率的近似值.第5章作業(yè)答案§ 5.22: 0.1788;3: 0.889, 0.841;第6章數(shù)理統(tǒng)計根底§ 6.1 數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念1 .有 n=10 的樣本；1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5,1.6, 1.4, 1.8, 1.4,那么樣本均

28、值 X = ,樣本均方差S ,樣本方差S2.2 .設總體方差為b2有樣本Xi,X2, ,Xn,樣本均值為 X,那么Cov(Xi,X) .§ 6.2 數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布21 .查有關的附表,以下分位點的值：Z0.9=,0.1(5)= , t0.9(10)=2 .設 Xi,X2, ,Xn是總體 2(m)的樣本,求 E(X), D(X) o§ 6.3 一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布1 .設總體X N( , 2),樣本Xi,X2, ,Xn,樣本均值X ,樣本方差S2,那么XX= . = / . nS /、n1 n 2-(Xi X) i 11 n2 T (Xi ) i*

29、67; 6.4二個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布第6章作業(yè)答案§6.1 1.X 1.57, s 0.254, s20.0646；2. Cov(X1,X) b2/n；§6.2 6.21 . -1.29, 9.236, -1.3722;2. E(X) m, D(又)2m/n；§6.3 1. N(0, 1), t(n 1),2(n 1),2(n)；第7章參數(shù)估計§ 7.1 矩估計法和順序統(tǒng)計量法x 一 1 0 x 11 .設總體X的密度函數(shù)為：f(x),有樣本X1,X2, ,Xn,求未知參數(shù)的矩估計.0 其 他2 .每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)X (),為估計 的值

30、,在實地隨機地調查了 20次,每次1分鐘,結果如下：次數(shù)： 23456量數(shù)： 95374試求的一階矩估計和二階矩估計.§ 7.2 極大似然估計1 .設總體X的密度函數(shù)為：f(x)("1)x0 x 1有樣本Xi,X2, ,Xn,求未知參數(shù) 的極大0其 他似然估計.§ 7.3 估計量的評價標準1 .設總體X服從區(qū)間(a, 1)上的均勻分布,有樣本 X1,X2, ,Xn,證實今2X 1是a的無偏估計.2 .設總體X(),有樣本Xi,X2, ,Xn,證實aX (1 a)S2是參數(shù) 的無偏估計(0 a 1).§ 7.4 參數(shù)的區(qū)間估計1 .纖度是衡量纖維粗細程度的一個量,某廠化纖纖度XN( ,