材料力學(xué)孫訓(xùn)方習(xí)題答案

1、f=kx*2，試做木樁的后習(xí)題2-2 一打入基地內(nèi)的木樁如圖所示，桿軸單位長度的摩擦力 力圖。解：由題意可得:ifdx0F,有1kl3 F,k 3F/13,3,Fn(xi)%Fx2/13dx F(xi/1)3習(xí)題2-3石砌橋墩的墩身高1 10m,其橫截面面尺寸如圖所示。荷載F 1000kN ,材料的密度2.35kg / m3,試求墩身底部橫截面上的壓應(yīng)力。解：墩身底面的軸力為:N (F G) F Al g2-3圖一一一2一 一一 一 - 一 一1000 (3 2 3.14 1 ) 10 2.35 9.83104.942(kN)墩身底面積：A (3 2 3.14 12) 9.14(m2)因?yàn)槎諡?/p>

2、軸向壓縮構(gòu)件，所以其底面上的正應(yīng)力均勻分布。N 3104.942kNA 9.14m2339.71kPa0.34MPa習(xí)題2-7圖示圓錐形桿受軸向拉力作用，試求桿的伸長。2-7圖解：取長度為dx截離體(微元體)O則微元體的伸長量為:d( l)FdxEA(x)工 dx 二工0 EA(x) E 0 A(x)r 1121d2 d1 d1 x , 212A(x)d2 d1d1 2x2122 d2 d1d1u2, d(-1x )212dud2 d11 dx21dx3du,巫d2 di A(x)因此,2ld2di2- udu2l (du) (di d2)( j1 F , F 1 dxdx 0 EA(x) E

3、 0 A(x)2Fl I du、.(2 )E(d1 d2) 0 ui2Fl 1 1 2Fl1E(di d2)u 0E(did7) d2 didiFTx 萬 02Fl 11E(di d2)d2 d1 d1 d1 l -2l 222Fl 2_2E(d1 d2)d2 d14FlEd1d2習(xí)題2-10受軸向拉力F作用的箱形薄壁桿如圖所示。已知該材料的彈性常數(shù)為E,，試求C與D兩點(diǎn)間的距離改變量CD °解:F /AEFEA式中,(a )2(a )24aF4EaF4EaF4EJ(2a)2 (4a)2<145a12' '-2232"145CD (3a')(4

4、a，) ira，-,_14512 4E1.003 4E(CD) C D CD (a a)12習(xí)題2-11圖示結(jié)構(gòu)中，AB為水平放置的剛性桿，桿 1, 2, 3材料相同，其彈性模量 22E 210GPa,已知 l 1m, A1 A2 100mm , A3 150mm , F 20kN。試求 C點(diǎn)的水平位移和鉛垂位移。2-11 解：（1）求各桿的軸力以AB桿為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。因?yàn)锳B平衡，所以變形協(xié)調(diào)圖由對(duì)稱性可知，CH 0 ,NiN2 0.5F0.5 20 10(kN)X 0, N3 cos45o0,（2）求C點(diǎn)的水平位移與鉛垂位移。A點(diǎn)的鉛垂位移:1iN1lEA110000N100

5、0mm210000N/mm2 100mm20.476mmB點(diǎn)的鉛垂位移:l2N2lEA210000 N 1000mm_2210000N /mm2100mm0.476mm1、2、3桿的變形協(xié)(諧)調(diào)的情況如圖所示。由1、2、3桿的變形協(xié)（諧）調(diào)條件,并且考慮到AB為剛性桿，可以得到C點(diǎn)的水平位移：CHCHAH BH l1 tan 450.476(mm)C點(diǎn)的鉛垂位移：C1i 0.476( mm)習(xí)題2-12圖示實(shí)心圓桿 AB和AC在A點(diǎn)以錢相連接，在A點(diǎn)作用有鉛垂向下的力F 35kN。已知桿 AB和AC的直徑分別為 d1 12mm和2 15mm ,鋼的彈性模量E 210GPa。試求A點(diǎn)在鉛垂方向

6、的位移。解：（1）求AR AC桿的軸力以節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示。由平衡條件得出：X 0： NACsin30o NAB sin 45o 0(a)Nac 2NABY 0 ： NAC cos30o NAB cos45o 35 03Nac 2NAB 70(b)(a) (b)聯(lián)立解得:NAB Ni 18.117kN； Nac N225.621kN(2)由變形能原理求 A點(diǎn)的鉛垂方向的位移221N2l1 N；l2-F A 22EA1 2EA，221 (Ni21i N2l2)A F EAEA2式中，l11000/sin 45o 1414(mm)； l2 800/sin30o 1600(mm)22

7、2 2A10.25 3.14 12113mm ; A 0.25 3.14 15177mm_22_故:1.366(mm)1181171414 256211600)35000 ( 210000 113210000 177 )習(xí)題2-13圖示A和B兩點(diǎn)之間原有水平方向的一根直徑d 1mm的鋼絲，在鋼絲的中點(diǎn)C加一豎向荷載F。已知鋼絲 產(chǎn)生 的線應(yīng)變 為 0.0035,其材料的彈性模量E 210GPa,鋼絲的自重不計(jì)。試求：(1)鋼絲橫截面上的應(yīng)力(假設(shè)鋼絲經(jīng)過冷拉，在斷裂前可認(rèn)為符合胡克定律)；(2)鋼絲在C點(diǎn)下降的距離；(3)荷載F的值。解：(1)求鋼絲橫截面上的應(yīng)力E 210000 0.0035

8、 735(MPa)(2)求鋼絲在C點(diǎn)下降的距離AC和 BC各 3.5mm。Nll2000l 一 一 735 7(mm)。其中,EAE2100001000 cos0.9965122071003.5 1000oarccos( ) 4.78673390 1003.51000 tan 4.7867339 o 83.7(mm)(3)求荷載F的值以C結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由其平稀衡條件可得:Y 0： 2N sina P 0P 2Nsina 2 Asin_20_2 735 0.25 3.14 1 sin4.78796.239(N)習(xí)題2-15水平剛性桿AB由三根BC,BD和ED支撐，如圖，在桿的A端承受鉛垂荷載

9、F=20KN,三根鋼桿的橫截面積分別為A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，桿的彈性模量 E=210Gpa 求：(1) 端點(diǎn)A的水平和鉛垂位移。(2) 應(yīng)用功能原理求端點(diǎn) A的鉛垂位移。解：(1)二占13fdxF,有一 kl3F03k 3F/l3l 233FN(x1)o3Fx /l dx F(x1 /l)oFN 3 cos450Fni F2 FN3Sin45o F 0F 0.45 FN1 0.15 0F160KN,F1401KN,F1 0KN ,由胡克定理,(2)11l2Fn11EA1FN21EA260 107 0.15_ _ 9_ 6210 109 12 10 640 1

10、07 0.15_ _ 9 _ _ 6210 10 12 103.874.76從而得，Axl2 4.76,Ayl2 21i 3 20.23()V F Ay F1 l1+F2 l2 0Ay 20.33()習(xí)題2-17簡單桁架及其受力如圖所示，水平桿BC的長度l保持不變，斜桿 AB的長度可隨夾角 的變化而改變。兩桿由同一種材料制造，且材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等。要求兩桿內(nèi)的應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，且結(jié)構(gòu)的總重量為最小時(shí)，試求：(1)兩桿的夾角；(2)兩桿橫截面面積的比值。解：(1)求軸力取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，由其平衡條件得：Y 0Nab sin F 0sinN ABX 0N abcosN BCN

11、BCN ab coscos F cot sin2-17(2)求工作應(yīng)力N abAb AabAab sinN BCBCABCF cot(3)求桿系的總重量W V( aab l AB ABC l BC ) °是重力密度(簡稱重度，單位:3kN / m )。(aabcosABC l )l( aabcosABC )(4)代入題設(shè)條件求兩桿的夾角條件：ABN abaabFaab sinaabFsinBCN BCABCF cotABC,F cot條件：W的總重量為最小。1W1(Aab-cosAbc )l (AabcosAbc )最小值。Fl 1 cos2sin從W的表達(dá)式可知,dW 2FI dc

12、oscos2 cosF cot )2Fl 1FL(Jsin cos2 cossin 2cossin角的一元函數(shù)。當(dāng) W的一階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，W取得2sin sin 2(1 cos )cos2 22 .0sin2 2sin2 23 cos2 cos2 2 02sin2 22 _3cos2 cos 203 cos21 , cos20.33332 arccos( 0.3333)109.47°,54.74o54o44aab_F_sinAABABCsinF cot"TTsin cotcos因?yàn)?3cos22 cos22 cos(5)求兩桿橫截面面積的比值F cotncoscos所以:.

13、3習(xí)題2-18一桁架如圖所示。各桿都由兩個(gè)等邊角鋼組成。已知材料的許用應(yīng)力170MPa ,試選擇AC和CD的角鋼型號(hào)。解：(1)求支座反力由對(duì)稱性可知,RA RB 220kN()(2)求AC桿和CD桿的軸力以A節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由其平衡條件得:2-18RaNaccosRa 220Nac 366.667(kN) sin 3/5以C節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由其平衡條件得：X 0Ncd N AC cos 0220NcdNac cos 4/5 293.333(kN)3/5(3)由強(qiáng)度條件確定 AG CD桿的角鋼型號(hào)AC 桿：N AC366667 N22AAC Ac7N2156.86mm2 21.569cm217

14、0 N/mm2選用 2L80 7 (面積 2 10.86 21.72cm2)。CD桿：Ncd 293333 N22Acd 2 1725.488mm17.255cm170N/mm2選用 2L 75 6 (面積 2 8.797 17.594cm2)。習(xí)題2-19 一結(jié)構(gòu)受力如圖所示，桿件AB CD EF、GH都由兩根不等邊角鋼組成。已知材料的許用應(yīng)力170MPa ,材料的彈性模量 E 210GPa ,桿AC及EG可視為剛性的。試選擇各桿的角鋼型號(hào)，并分別求點(diǎn)D C A處的鉛垂位移D、 C、 A。D C A解：(1)求各桿的軸力3.2Nab - 300 240(kN) 40.8Ncd -300 60

15、(kN)4M F 0Ngh 3 300 1.5 60 1.2 02-191Ngh -(450 72) 174(kN) 3Y 0Nef 174 60 300 0Nef 186(kN)(2)由強(qiáng)度條件確定 AG CD桿的角鋼型號(hào)AB 桿：八 Nab 240000 NAAB2170N/mm選用2L 90 56 5 (面積2CD桿：ANd60000NCD 170N /mm2選用2L 40 25 3 (面積2EF桿：A N ef 186000 NAEF2170N /mm2選用2L 70 45 5 (面積2GH桿：八 Ngh 174000NAGH2170N/mm2選用2L 70 45 5 (面積2. 2.

16、_21411.765mm14.12cm7.212 14.424cm2)。,2 2352.941mm3.529cm,一 2、1.89 3.78cm )。，一 ，一 2 一 一 21094.118mm10.412cm5.609 11.218cm2)。 2 21023.529mm10.353cm5.609 11.218cm2)。(3)求點(diǎn)DC A處的鉛垂位移l ABN ABl AB240000 3400lCDEAabNcD l CDEAcd210000 1442.460000 1200210000 3782.694 2.7(mm)0.907(mm)lEFN EFl EFEAef186000 2000

17、210000 1121.81.580(mm)l GHNGH lGHeagh174000 2000210000 1121.81.477(mm)EG干的變形協(xié)調(diào)圖如圖所示。D lGH l EF lGH1.8d 1.4771.580 1.4771.831.54(mm)D l CD1.54 0.907 2.45(mm)l ab 2.7(mm)習(xí)題2-21 (1)剛性梁AB用兩根鋼桿AG BD懸掛著，其受力如圖所示。已知鋼桿AC和BD的直徑分別為 d1 25mm和d2 18mm ,鋼的許用應(yīng)力 170MPa ,彈性模量解:210GPa。試校核鋼桿的強(qiáng)度,f算鋼桿的變形lAC、 lBD及A、B兩點(diǎn)的豎向位

18、(1)校核鋼桿的強(qiáng)度求軸力N ACN BC4.51.51001004.566.667(kN)33.333(kN)計(jì)算工作應(yīng)力N ACACAac66667 N220.25 3.14 252mm2135.882MPaN bd33333 NBD-1IZ-22ABD0.25 3.14 18 mm2-21131.057MPaD 因?yàn)橐陨隙U的工作應(yīng)力均未超過許用應(yīng)力 170MPq即 AC ACBD，所以AC及BD桿的強(qiáng)度足夠，不會(huì)發(fā)生破壞。(2)計(jì)算l AC、 l BDl ACN AC l ACeaac66667 2500210000 490.6251.618(mm)l BDN BD l BDEAbd3

19、3333 2500210000254.341.560(mm)(3)計(jì)算AB兩點(diǎn)的豎向位移lAc 1.618(mm),b lBD 1.560(mm)習(xí)題3-2實(shí)心圓軸的直徑d 100mm，長l 1m,其兩端所受外力偶矩 M e 14kN m,材料的切變模量G 80GPa。試求：(1)最大切應(yīng)力及兩端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角；(2)圖示截面上 A B、C三點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值及方向;(3) C點(diǎn)處的切應(yīng)變。解：(1)計(jì)算最大切應(yīng)力及兩端面間的相對(duì)轉(zhuǎn)角maxWpMeoWp32式中，WD d3 3.14159 1003 196349(mm3)。3-2 p 1616故:maxMeWp14 106N mm196349m

20、m371.302MPa式中,14Ip 一 dp 32144一 3.14159 1004 9817469(mm4)。故:14000N m 1m0.0178254(rad) 1.02°92124GI p 80 10 N /m 9817469 10 m p(2)求圖示截面上 A B、C三點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值及方向b max 71.302MPa ,由橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律可知:1b 0.5 71.30235.66MPa, A、日C三點(diǎn)的切應(yīng)力方向如圖所示。2(3)計(jì)算C點(diǎn)處的切應(yīng)變C 35.66MPa43 3 一 4.4575 10 40.446 10 3G 80 103 MPa習(xí)題3-3空心鋼

21、軸的外徑 D 100mm,內(nèi)徑d 50mm。已知間距為l 2.7m的兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角1.8°,材料的切變模量 G 80GPa。試求:(1)軸內(nèi)的最大切應(yīng)力;(2)當(dāng)軸以n 80r/min的速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸所傳遞的功率。解；(1)計(jì)算軸內(nèi)的最大切應(yīng)力IpWp321D4(14)式中,16D3(14)3.14159 1004 32133.14159 100316(1(1d/D。_440.54) 9203877(mm4)。0.54) 184078(mm3)T lGUGI p1.83.14159/180 80000N /2 mm9203877 mm42700mm8563014.45N mm

22、8.563(kN m)maxT 8563014.45N mmWp184078mm346.518MPa(2)當(dāng)軸以n 80r / min的速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸所傳遞的功率NkNkT Me9.549 勺9.549勺8.563(kN m)n80Nk 8.563 80/9.549 71.74(kW)F均為，已習(xí)題3-5圖示絞車由兩人同時(shí)操作，若每人在手柄上沿著旋轉(zhuǎn)的切向作用力知軸材料的許用切應(yīng)力40MPa，試求：(1) AB軸的直徑；(2)絞車所能吊起的最大重量。解：(1)計(jì)算AB軸的直徑AB軸上帶一個(gè)主動(dòng)輪。兩個(gè)手柄所施加的外力偶矩相等：Me Me0.2 0.4 0.08(kN m)M e主動(dòng)輪 2Me右

23、 0.16(kN m)扭矩圖如圖所示。由AB軸的強(qiáng)度條件得:3-5maxMe右 w716Me 右d33 16M e右,16 80000N mm3.14159 40N/mm221.7mm(2)計(jì)算絞車所能吊起的最大重量主動(dòng)輪與從動(dòng)輪之間的嚙合力相等:M e主動(dòng)輪0.2M e從動(dòng)輪0.35M eM動(dòng)輪0.350.200.16 0.28(kN m)由卷揚(yáng)機(jī)轉(zhuǎn)筒的平衡條件得:P 0.25 Me從動(dòng)輪，P 0.250.28 P 0.28/0.25 1.12(kN)習(xí)題3-6已知鉆探機(jī)鉆桿(參看題 3-2圖)的外徑D 60mm,內(nèi)徑d 50mm,功率P 7.355kW,轉(zhuǎn)速n 180r/min ,鉆桿入土

24、深度l 40m,鉆桿材料的G 80GMPa ,許用切應(yīng)力40MPa。假設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的，試求：(1)單位長度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩集度m ;(2)作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核；(3)兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：(1)求單位長度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩集度mNkMe 9.549 k nc 7.3559.549 1800.390(kN m)設(shè)鉆桿軸為x軸,則:Mx 0ml Me,M e 0 390e 0390 0.00975(kN/m)l 40(2)作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核作鉆桿扭矩圖T (x) mx0.39x400.00975x o x 0,40T(0) 0； T(40) M

25、e扭矩圖如圖所示。強(qiáng)度校核，max 此Wp.1式中，Wp D (1)p 16M e 390000N mmmax3W 21958mm p因?yàn)?max 17.761MPa ,0.390(kN m)1050 “a3.14159 601 () 21958(mm )166017.761MPa40MPa，即max ,所以軸的強(qiáng)度足夠，不會(huì)發(fā)生破壞。(3)計(jì)算兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角40 T(x)dxGI,1式中，Ip p 321,50 ”D4(14 )3.14 1 59 604 1 ( )4 658752(mm4)326040 1T (x) |dx0 GIpGIp400.00975x2 400.00975xd

26、x 6212-40080 106kN/m2 658752 1012m4 20.148(rad) 8.5°習(xí)題3-8直徑d 50mm的等直圓桿，在自由端截面上承受外力偶M e 6kN m ,而在圓桿表面上的 A點(diǎn)將移動(dòng)到 A點(diǎn)，如圖所示。已知 s AA1 3mm ,圓桿材料的彈性模量E 210GPa,試求泊松比（提示：各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E、G 間存在如下關(guān)系：G解：整根軸的扭矩均等于外力偶矩:T Me 6kN m。設(shè)O,O1兩截面之間的相對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)角為，則 sT l 2 sGI P d14144Ip d 43.14159 504613592(mm4)3-8p 3232T l d21

27、p s6 106 N mm 1000mm 50mm2 613592mm4 3mm81487.372MPa 81.4874GPaEE210由 G 得： 1 1 0.2892(1)2G 2 81.4874習(xí)題3-10長度相等的兩根受扭圓軸，一為空心圓軸，一為實(shí)心圓軸，兩者 d的材料相同，受力情況也一樣。實(shí)心軸直徑為d；空心軸的外徑為 D,內(nèi)徑為d。，且一0 0.8。D試求當(dāng)空心軸與實(shí)心軸的最大切應(yīng)力均達(dá)到材料的許用切應(yīng)力（max ）,扭矢IT相等時(shí)的重量比和剛度比。解：（1）求空心圓軸的最大切應(yīng)力，并求D。maxWp式中，Wp D3(14),故:p 1616Tmax,空_ 34D (1 0.8 )

28、27.1TD3D327.1T n3-10(1)求實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力max工，式中，WpWpp-d3，故:16max,實(shí)16T16T,3, 3 ddd316T D 3,(一)d27.1T16T1.69375 ，1.192(3)求空心圓軸與實(shí)心圓軸的重量比W空0.25 (D2 d：) lW實(shí)0.25 d2 l(Dd)2(1 0.82)D 220.36()20.36 1.1922 0.512d(4)求空心圓軸與實(shí)心圓軸的剛度比1_ 4_4_ 4D4(1 0.84) 0.01845 D432-d432GIp空GU0.01845 D40.03125 d40.5904(：)40.5904 1.19240

29、.03125 d41.192習(xí)題3-11全長為l ,兩端面直徑分別為d1,d2的圓臺(tái)形桿，在兩端各承受一外力偶矩 M ,如圖所示。試求桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：如圖所示，取微元體 dx,則其兩端面之間的扭轉(zhuǎn)角為：, M edx d GIp式中，Ip d4p 32r ririri xrid2 di x2ldidid4d2 di(Txdi)4dud2 djdxldx M edx0"Gi7M e"G"1dxMeGd232dx""ddu di32M e i0u4，du d2 di32MelGa di)1 du0 u432M elGa di)l du0

30、u432MelGa3 032Mel3 G(d2di)d2dixl3di032Mel3 G4di)id3idi332Mel3 G(di d2)di3d2333di d232Mel di23 Gdid? d；3 3did2習(xí)題3-12已知實(shí)心圓軸的轉(zhuǎn)速300r/min，傳遞的功率 p 330kW ,軸材料的許用切應(yīng)力60MPa80GPa。若要求在2m長度的相對(duì)扭車t角不超過 i°,試求該軸的直徑。解:T lGIPMelGIpii80式中,9.549 nNkk 9.549330300i0.504(kN m); Ipd4。故:32i80M elGd432180M elGI p32 180M

31、el2G32 1 80 1 0.504 1 06 N mm 2000mm3.142 80000N / mm2111.292mm取 d 111.3mm。習(xí)題3-16 一端固定的圓截面桿AB承受集度為m的均布外力偶作用,如圖所示。試求桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能。已矩材料的切變模量為G。.2 /解：dV T (x)dx2GI2 2 ,m x dxG L 32_2 216m x dxd4d4G,x2dx02 316m l3 d4G2. 3m l6 d4G322. 3 m l 西3-16習(xí)題3-18 一圓錐形密圈螺旋彈簧承受軸向拉力F如圖，簧絲直徑d10mm,材料的許用切應(yīng)力500MPa ,切變模量為 G彈簧的有

32、效圈數(shù)為n 。試求:(1)彈簧的許可切應(yīng)力;(2)證明彈簧的伸長16Fn /、/ 22、一r(R R2)(Ri R2)。Gd4解：(1)求彈簧的許可應(yīng)力用截面法，以以簧桿的任意截面取出上面部分為截離體。由平衡條件可知，在簧桿橫截面上:剪力Q F扭矩T FR最大扭矩：TmaxFR2maxQTmaxA Wpp4F 16FR216FR2d2d3d3(1)，4R2Fd3口16R2(14R23.14 103mm3 500N/mm2957.3N10mm 、16 100mm(1)4 100mm因?yàn)镈/d 200/10 20 10,所以上式中小括號(hào)里的第二項(xiàng)，即由Q所產(chǎn)生的剪應(yīng)力可以忽略不計(jì)。此時(shí)Fd33.1

33、4 103mm3 500N / mm216R2(116 100mm981.25N（2）證明彈簧的伸長4R2器（RiR2)(R2R2), 1 外力功：W -F 2dUT2(R d2GIp2 n (FR)2(R dF22GIp2GIp 0R3dF22 n0R1一3d2 nF2R； R44GIpR2RiF2R； R44GIpF n R；R142GI p R2 Ri16F n 2gt(RiR；)(RR2)習(xí)題3-19圖示矩形截面鋼桿承受一對(duì)外力偶M e 3kN m。已知材料的切變模量G 80GPa，試求:(1)桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向;(2)橫截面短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力;(3)桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角。

34、解：（1）求桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向由表得長邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力，在上面，由外指向里(2)計(jì)算橫截面短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力MPa短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力，在前面由上往上(3)求單位長度的轉(zhuǎn)角單位長度的轉(zhuǎn)角習(xí)題3-23圖示為薄壁桿的的兩種不同形狀的橫截面，其壁厚及管壁中線的周長均相同。兩桿的長度和材料也相同，當(dāng)在兩端承受相同的一對(duì)扭轉(zhuǎn)外力偶矩時(shí)，試求:(1)最大切應(yīng)力之比;(2)相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比。解：(1)求最大切應(yīng)力之比開 口 ,max,開口MeItIt依題意:2 ro4a ,故:It4a 3max,開口MeMe4a 33Me4a 2閉口:M emax,閉 口2AoM e 2a2max,開 口max,

35、閉口3Me4a 22a23a2-(3)求相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比開口:It2 ro4a開口閉口:閉口Ts4GAoMeS4GAoM e 4a-Z4- 4GaM eGa3開口3MGa3閉口4GaMe3a2廠4-1試求圖示各梁中指定截面上的剪力和彎矩a (5) =h (4)Frb2a q°aMi 11 q03q0a 0 a q°aFS2 21q0a 2q0 a0,M2 2 q°a11 q°a122a 1q0 2a 22a4 -q0a3b (5) =f (4)GItMeGh3M4Ga4-2 試寫出下列各梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖a （ 5） =a （ 4）

36、b （ 5） =b （ 4）f （ 5） =f （ 4）4-3 試?yán)幂d荷集度，剪力和彎矩間的微分關(guān)系做下列各梁的彎矩圖和剪力 e 和 f 題）e）f）h）4-4b）4-5b）4-4 試做下列具有中間鉸的梁的剪力圖和彎矩圖。4-5 根據(jù)彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系指出下列玩具和剪力圖的錯(cuò)誤之處，并改正。4-6 已知簡支梁的剪力圖如圖所示，試做梁的彎矩圖和荷載圖，梁上五集中力偶作用。4-104-6 （ a）4-7（ a）4-7 根據(jù)圖示梁的彎矩圖做出剪力圖和荷載圖。4-8 用疊加法做梁的彎矩圖。4-8 （ b）4-8（ c）4-9 選擇合適的方法，做彎矩圖和剪力圖。4-9 （ b）4-9c)4

37、-14 .長度l=2m的均勻圓木，欲鋸做 52=的一段，為使鋸口處兩端面開裂最小，硬是鋸口處彎矩為零， 現(xiàn)將圓木放在兩只鋸木架上， 一只鋸木架放在圓木一段， 試求另一只鋸木架應(yīng)放位置。x=4-184-19M=30KN4-214-234-254-284-294-334-364-355-25-35-75-155-225-23選22a工字鋼5-246-41A 6Fl/(2 3.3)EA)6-127-3-55mpa。 -55mpa7-4習(xí)題7-3 一拉桿由兩段沿 m n面膠合而成。由于實(shí)用的原因，圖中的角限于0 600范圍內(nèi)。作為“假定計(jì)算”，對(duì)膠合縫作強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，可以把其上的正應(yīng)力和切應(yīng)為許用拉應(yīng)力

38、的3/4 ,且這一拉桿的強(qiáng)度由膠合縫強(qiáng)度控制。為了使桿能承受最大的荷載F,試問角的值應(yīng)取多力分別與相應(yīng)的許用應(yīng)力比較?，F(xiàn)設(shè)膠合縫的許用切應(yīng)力解:大?0； xcos2 x sin 22A cos 22A2coscos2 2A，,F max,NF 1 cos 2AF 2一 cos2AA2cosx ysin 22x cos2 sin 22A4卜1.5 A F. ? F max,Tsin 21.5 Asin 2（°）102030405060Fmax,N（ A）FmaxT （ A）由以上曲線可知，兩曲線交點(diǎn)以左，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制最大荷載；交點(diǎn)以右，由切應(yīng)力強(qiáng)度條件控制最大荷載。由圖中可以看

39、出，當(dāng)600時(shí)，桿能承受最大荷載，該荷載為:Fmax 1.732 A7-6習(xí)題7-7試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求圖示懸臂梁距離自由端為0.72m的截面上，在頂面以下40mm的一點(diǎn)處的最大及最小主應(yīng)力，并求最大主應(yīng)力與x軸之間的夾角。解：（1）求計(jì)算點(diǎn)的正應(yīng)力與切應(yīng)力My 12My 12 10 0.72 106 N mm 40mmIzbh380 1603 mm410.55MPa*QSzTZb3310 10 N (80 40) 60mm 0.88MPa134一 80 160 mm 80mm12(2)寫出坐標(biāo)面應(yīng)力X (,)Y (。,)(3)作應(yīng)力圓求最大與最小主應(yīng)力，并求最大主應(yīng)力與 x軸的夾角作應(yīng)力圓

40、如圖所示。從圖中按比例尺量得：10.66MPa0.06MPa4.7507-7習(xí)題 7-8各單元體面上的應(yīng)力如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求:(1)指定截面上的應(yīng)力；(2)主應(yīng)力的數(shù)值；(3)在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。習(xí)題 7-8 (a)解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X (20, 0); Y (-40, 0)600。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：口°25MPa ,1?0026MPa ；120MPa ,340MPa ；000。1201201303單元體圖應(yīng)力圓(圓)主單元體圖習(xí)題 7-8 (b)解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X (0,

41、 30); Y (0,-30 )300 o根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：60026MPa , 600 15MPa ； 1 30MPa ,3 30MPa ；0450。單元體圖應(yīng)力圓(圓)主單元體圖習(xí)題 7-8 (c)解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X (-50, 0); Y (-50, 0)300。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：Rn050MPa , Rn0 0 ；2 50MPa ,3 50MPa。60760應(yīng)力圓(圓)主單元體圖單元體圖習(xí)題 7-8 (d)解：坐標(biāo)面應(yīng)力：X (0,-5

42、0); Y (-20, 50)00。根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出如圖所示的應(yīng)力圓。圖中比例尺為1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的應(yīng)力為：0450 40MPa , 45010 ； 1 41MPa ,2 0MPa ,3 61MPa ； 039 35。單元體圖應(yīng)力圓(圓)主單元體圖習(xí)題7-10已知平面應(yīng)力狀態(tài)下某點(diǎn)處的兩個(gè)截面的的應(yīng)力如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值和主平面方位，并求出兩截面間的夾角值。平面應(yīng)力狀態(tài)下的兩斜面應(yīng)力應(yīng)力圓解：兩斜面上的坐標(biāo)面應(yīng)力為：A (38, 28), B (114, -48)由以上上兩點(diǎn)作出的直線 AB是應(yīng)力圓上的一條弦，如圖所示。作AB的垂直平分線交水平坐標(biāo)軸于

43、C點(diǎn)，則C為應(yīng)力圓的圓心。設(shè)圓心坐標(biāo)為C ( x,0 )則根據(jù)垂直平線上任一點(diǎn)到線段段兩端的距離相等性質(zhì)，可列以下方程：(x 38)2 (0 28)2 (x 114)2 (0 48)2解以上方程得：x 86。即圓心坐標(biāo)為 C (86,0)應(yīng)力圓的半徑：22r .(86 38)2 (0 28)255.570主應(yīng)力為：1 x r 86 55.57 141.57MPax r 86 55.57 30.43MPa（ 2 ）主方向角（上斜面 A 與中間主應(yīng)力平面之間的夾角）（上斜面 A 與最大主應(yīng)力平面之間的夾角）（ 3 ）兩截面間夾角： 習(xí)題 7-14 單元體各面上的應(yīng)力如圖所示。試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求

44、主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。 習(xí)題 7-15 （ a ） 解：坐標(biāo)面應(yīng)力： X（70， -40） ， Y（30， -40 ） ， Z（50， 0）單元體圖 應(yīng)力圓由XY平面內(nèi)應(yīng)力值作a、b點(diǎn)，連接a、b交軸得圓心C （50, 0）應(yīng)力圓半徑： 習(xí)題 7-15 （ b ） 解：坐標(biāo)面應(yīng)力： X（ 60 ， 40） ， Y（ 50， 0 ） ， Z（ 0 ， -40 ）單元體圖應(yīng)力圓由XZ平面內(nèi)應(yīng)力作a、b點(diǎn)，連接a、b交 軸于C點(diǎn)，0（=30,故應(yīng)力圓圓心C（ 30 ， 0）應(yīng)力圓半徑： 習(xí)題 7-15 （ c ） 解：坐標(biāo)面應(yīng)力： X（ -80 ， 0 ） ， Y（ 0 ， -50 ） ， Z（ 0，

45、 50 ）單元體圖 應(yīng)力圓由YZ平面內(nèi)應(yīng)力值作a、b點(diǎn)，圓心為0,半彳仝為50,作應(yīng)力圓得習(xí)題7-19 D=120mm d=80mm勺空心圓軸，兩端承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)力偶矩，如圖所示。在軸的試求扭轉(zhuǎn)力中部表面A點(diǎn)處，測(cè)得與其母線成方向的線應(yīng)變?yōu)?。已知材料的彈性常?shù) 偶矩。解：方向如圖習(xí)題7-20在受集中力偶Me作用矩形截面簡支梁中，測(cè)得中性層上k點(diǎn)處沿450方向的線應(yīng)變?yōu)?5。已知材料的彈性常數(shù)E,和梁的橫截面及長度尺寸b, h, a,d,l。試求集中力偶矩M e。解：支座反力:RaMe丁 ；RbMelK截面的彎矩與剪力:MkRAaaM elRaMelK點(diǎn)的正應(yīng)力與切應(yīng)力:0；1.5 QkA3Me2Al故坐標(biāo)面應(yīng)力為:0) , Y (0,3M e2Altan2 0045450450Me122Hx y)4(最大正應(yīng)力 1的方向與1( 13Me2Al3Me2Al)2EAl 4503(1)2Ebhl3(1)0453M e2AlX正向的夾角)，故3M e2EA1(1)習(xí)題7-22已知圖示單元體材料的彈