微分與積分中值定理及其應(yīng)用

1、第二講 微分與積分中值定理及其應(yīng)用1 微積分中值定理 01.1 微分中值定理 01.2 積分中值定理 32 微積分中值定理的應(yīng)用 34.1 證明方程根(零點(diǎn))的存在性 . 34.2 進(jìn)行估值運(yùn)算 74.3 證明函數(shù)的單調(diào)性. 84.4 求極限 84.5 證明不等式 9引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理。微分 中值定理是數(shù)學(xué)分析中最為重要的內(nèi)容之一， 它是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性 質(zhì)的根底，是聯(lián)系閉區(qū)間上實(shí)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的橋梁與紐帶， 具有重要的理論價(jià)值與使 用價(jià)值。1 微積分中值定理微分中值定理羅爾 (Rolle) 定理: 假設(shè)函數(shù) f

2、 滿足如下條件(i ) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii) f在開(kāi)區(qū)間(a,b )內(nèi)可導(dǎo)；(込)f(a) f(b),那么在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得f ( ) 0 朗格朗日(Lagrange)中值定理：設(shè)函數(shù)f滿足如下條件：(i ) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(i ) f在開(kāi)區(qū)間(a,b )上可導(dǎo)；那么在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得f(b) f(a)b a柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f和g滿足(i )在a,b上都連續(xù);(ii)在(a,b )內(nèi)都可導(dǎo)；(込)f'(x)和g'(x)不同時(shí)為零;(iv) g(x) g(b),那么存在 (a,b)，使得f ( ) f(b) f(a)g

3、 ( ) g(b) g(a)微分中值定理的推廣羅爾定理的推廣定理1:設(shè)函數(shù)f (x)在(a,b )內(nèi)可導(dǎo)，且有l(wèi)im f (x) f (a 0) f (b 0) lim f (x) A(A為有限值或或 )，那么存在點(diǎn)x ax b(a,b)，使得 f ( )0 .證明：首先對(duì)A為有限值進(jìn)行論證：人f (x), x (a,b)令 F(x)A, x a 或 x b那么易知函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b )內(nèi)可導(dǎo)且F(a) F(b).由Rolle定理可知， 在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得F ( ) 0，而在(a,b)內(nèi)有F (x) f (x)，所以f ( ) 0 . 其次對(duì)A=()進(jìn)行論證

4、：由引理1， f (x)在(a,b )內(nèi)能取得最小值(最大值).不妨設(shè)：函數(shù)f(x)在 (a,b)處 取得最小值(最大值).此時(shí)函數(shù)f(x)在 (a,b)處也就取得極小值(極大值).又因 為f (x)在 (a,b)處可導(dǎo)，由Fermat引理，可得f ( )0 .綜上所述，從而定理得證.定理2:設(shè)函數(shù)f (x)在(a,),內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) lim f (x)，證明：在(a, )x ax中存在一點(diǎn)，使得f ( ) 0 .定理3:設(shè)函數(shù)f (x)在( ，b),內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) lim f (x)，證明：在(，b)xx b中存在一點(diǎn)，使得f ( ) 0 .定理4:設(shè)函數(shù)f(x)

5、在(),內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) lim f (x),證明：在(xx中存在一點(diǎn)，使得f ( ) 0 .朗格朗日中值定理的推廣f(b 0)存在，那么在(a,b )內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使定理5:如果函數(shù)f(x)滿足條件：在開(kāi)區(qū)間(a,b )上可導(dǎo)且lim f (x) f (a 0) f (a), lim f (x)x ax bf(b) f(a)b a柯西中值定理的推廣定理6:如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足條件:都在有限區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； lim f (x) m, lim f (x) M1, lim F(x)m2, lim F(x) M2;x ax bx ax bx(a,b),有 F'(

6、x)0那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得f'()M1F'( ) M2m2證明：作輔助函數(shù)A(x),B(x),并且令-f(x)x(a,b)時(shí)，F(xiàn)(x)x (a,b)時(shí),A(x)r gxa時(shí)，B(x)-m2x a時(shí)，-M1xb時(shí)，-m2x b時(shí)，那么A(x),B(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且對(duì)x (a,b), B'(x)0,由Cauchy中值定理可知，至少有一點(diǎn) (a,b)使得A'( )A(b) A(a)B'( )B(b) B(a)又當(dāng) x (a,b)時(shí),A(x) f(x), B(x) F(x).ADfl!A(b)A(a)M1gB&#

7、39;( )F'( )B(b)B(a)M2m2f'( ) M1 m F ( ) M2 m21.2積分中值定理積分中值定理：假設(shè)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，那么在a,b上至少存在一點(diǎn)使得b f x dx f b a , a b.a積分中值定理的推廣推廣的積分第一中值定理：假設(shè)f X ,g X在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且g x在a,b上不變號(hào),那么在a,b至少存在一點(diǎn)，使得bbf x g x dx f g x dx, a b.aa第一型曲線積分中值定理：假設(shè)函數(shù)f(x, y)在光滑有界閉曲線C上連續(xù)，那么在曲線C上 至少存在一點(diǎn)(，)，使 f (x, y)ds f( , )S oC其

8、中S表示曲線C的長(zhǎng)。第二型曲線積分中值定理：假設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑閉曲線C上連續(xù)，那么在曲線C上 至少存在一點(diǎn)(，)，使 f (x, y)ds f( , )IC其中I為有向光滑曲線C在x軸上的投影，符號(hào) 是由曲線C的方向確定。第一型曲面積分中值定理：假設(shè)D為xoy平面上的有界閉區(qū)域，z z(x, y)是光滑曲面S， 函數(shù)f (x, y,z)在S上連續(xù)，那么曲面S上至少存在一點(diǎn)(，)，使得 f(x,y,z)d f( , , )A其中A是曲面S的面積。第二型曲面積分中值定理：假設(shè)有光滑曲面S : z z(x, y)，(x, y) Dxy，其中Dxy是有界 閉區(qū)域，函數(shù)f (x, y,z)

9、在S上連續(xù)，那么在曲面S上至少存在一點(diǎn)(，)，使得f (x, y, z)dxdy f( , , )AS其中A是S的投影Dxy的面積。3微積分中值定理的應(yīng)用3.1證明方程根(零點(diǎn))的存在性例1:設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b) 上可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)存在f ()g()'占八、(a,b)，使得f(a) g(a)f(b) g(b)(b a)f (a) g(a)證明:F (x)令 F(x) f (a)g(x)f (a)g (x) f (x)g(a)，又有f (x)g(a)，那么F(b)f(a)g(b) f(b)g(a)，F(xiàn)(a) f(a)g(a)f (a)g(a)

10、0 易知 F (x)在閉區(qū)間a,b有意義,g (x)0 那么在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)(a,b)，使得g()f(a) g(a)f(b)g(b)g(b) g(a)f() g()g()上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，故運(yùn)用Lagrange中值定理可得，存在一點(diǎn)(a,b)，使得F(b) F(a)F(b) (ba)f(a)g ( ) f ( )g(a),即 f(a)g(b)f (b)g(a)(ba) f (a)g ()f ( )g(a)，所以在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)(a,b)，使得f (a) g(a)f(b)g(b)(b a)f (a) g(a)f () g()，故定理得證.例2:設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)

11、間a,b上連續(xù)，在(a,b) 上可導(dǎo)，且在閉區(qū)間a,b上,證明：令F(x)丄兇,G(x) ，易知F(x)和G(x)在區(qū)間a,b上滿足Cauchy中值 g(x)g(x)定理?xiàng)l件，故有,F(b) F(a)F ()即 f(b)g(a)f(a)g(b)G(b) G(a) GH' g(a) g(b)內(nèi)存在一點(diǎn)(a,b)，使得 g ()f (a)g(a)f(b)g(b)gMJ，所以在(a,b) g ()g(b)g(a)f ( f ()，故定理得證.g( ) g ()例1：設(shè)a,b,c為三個(gè)實(shí)數(shù)，證明：方程ex ax2 bx c的根不超過(guò)三個(gè). 證明：令 F (x) ax2 bx c ex，那么 F

12、'(x) 2ax b ex，F(xiàn)"(x) 2a ex，F(xiàn)"'(x) ex.不妨設(shè)為x1 x2 x3x4,那么有羅爾定理，存在Xi1x22x33x4,使F'( 1)F'( 2)F'( 3)0 ,再用羅爾定理，存在1 1223,使 F"( 1)F"( 2)0再用羅爾定理，存在12,使 F"'( )0,用反證法，設(shè)原方程的根超過(guò)程3個(gè)，那么F(x)至少有4個(gè)零點(diǎn),因?yàn)镕"'(x)ex,所以F"'( ) e 0,矛盾，所以命題得證例2：設(shè)函數(shù)f x在a,b上連續(xù)，且f x

13、 0。、b1 b證明： 一個(gè) a,b，使 f x dx f x dx f x dx。a2 a顯然fx在0,上連續(xù)，在0-內(nèi)可導(dǎo)，22又f 00，fa1電L1n0，故羅爾疋理成立232n 1于是0-，使f'0，2證明：令t dt，顯然Fx在a,b上連續(xù)。F af t dtabf t dt abb a f0 QF bf tdtf t dtb a f0ab可知Fx在a,b上滿足零值定理。故一個(gè)a,b，使F0。即 fatdtbft dt 0faxdxbfx dxbbbfaxdxfx dxfax dx 2 f x dx設(shè)實(shí)數(shù)a1, a2 ,Lan滿足關(guān)系式：a2n 1a12 L1-Fxaxbax

14、例3:t dta2n 1證明：a cosxa2 cos3x Lan cos 2n 10 在 0,2內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。證明：令f xaisin x sinBx3L 乩 sin2n 12n即:a1 cosx a2 cos3x Lan cos 2n 1 x0。故命題得證。例4:設(shè)fx 在 a,b上連續(xù)。aX1X2L Xnb，c 0 i 1,2L ,n證明：一個(gè)a,b，使 fc1 fL (cn f XnG C2 Lcn證明：Q f x在a,b上連續(xù),有最值定理有：m f x M ，m, M分別為f x 在 a,b上最小最大值，于是：Q g0， mfxMc1mc1 f x-.c1Mc20， mfX2Mm

15、c? c2 f x2Mc2Lcn0， mfXnMmcn 5 f 人MCnmG O LCnc1fXc2 f x2LCnf Xnc1 c2 Lcn Mc1f xcj X2LCnf Xn由介值定理，一個(gè) a,b，使fGf x L cnf XnC1 C2 L Cn0)，證明在(a,b)內(nèi)方程例5:假設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)(a 2x f(b) f (a) (b a2)f'(x)至少存在一根。證明:令 F (x) f (b) f (a)x2 (b2 a2) f (x)，顯然F(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，而 F(a) f (b)a2 b2f (a)F(b).根

16、據(jù)Rolle定理，至少存在一點(diǎn) ，使 2 f (b)f(a) (b2 a2)f'(x).例6：設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)(0 a b)，證明：在a,b內(nèi)存在一占八、使 bf(b) af(a) (b a)f( ) f'()成立。證明:F(x) xf(x)，貝U F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，由Lagrange定理，存在一點(diǎn) a,b，使F即 f( ) f'(x) bf(b) af(a)，b a即 bf (b) af (a) (b a) f ( ) f ()例7:設(shè)f x在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)(0 a b)，證明：在a,b內(nèi)存在一點(diǎn) 使

17、 f(b) f(a)(l nb)f'()成立。a證明：令g(x) In x，對(duì)f (x)， g(x)在a,b上運(yùn)用Cauchy定理，得 f'( ) f(b) f(a)得1 Inb Ina即 f'()f(b)f (a)g()g(b)g(a)即 f (b)f (a)(ln -)f'(). a例&證明方程4axy x Bx C3bx2 2cx a b c在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)根°(p46,209)例9:設(shè)拋物線yx2 Bx C 與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)x=a,x=b(a<b)，函數(shù)f在a,b上二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=O,并且曲線y=f(x)

18、與在(a,b)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，證明：存在(a,b)使得 f ( )2(p46,209)例10證明:x22 X 1方程有且僅有三個(gè)實(shí)根p46,211)3.2進(jìn)行估值運(yùn)算119例1：估計(jì)0 3 X1 x6dx的值.解：由推廣的積分第一中值定理，得1 x1903廠1311 19xdx 11,其中620 3 10,1因?yàn)?,所以1,1203 2120故1203 219x . dx6x21031120于是例2:估計(jì)0解：由于dx1 0.5sin x的積分11 0.51 0.5sin x11 0.510.5sin x2xdx10.5sin x此時(shí)可得到估計(jì)的積分值為2xdx0 1 0.5si nx33.3證

19、明函數(shù)的單調(diào)性例1 ;設(shè)函數(shù)f(x)在0,)上可導(dǎo),f (x)單調(diào)增加且f (0)0 ,證明g(x)(0,)上單調(diào)增加.x例2 :設(shè)函數(shù)f(x)在(°，)上連續(xù)，F(xiàn)(x)0(x 2t)f(t)dt,試證：在(0, 假設(shè)f(x)為非減函數(shù)，貝S F(x)為非增函數(shù).xxx證明：F(x) 0 (x 2t)f(t)dt x0f(t)dt 20tf(t)dt對(duì)上式求導(dǎo)，得：xxF (x)0 f (t)dt xf(x) 2xf (x)0 f(t)dt xf (x)利用積分中值定理，得:F(x) xf( ) xf(x) xf( )f(x),(0 x)假設(shè)f(x)為非減函數(shù)，那么f( ) f(x)

20、 0，F(xiàn) (x)0，故F(x)為非增函數(shù)。3.4求極限例仁求 lim tan(tanx)tan(Snx)x 0 tanx sinx2)解：對(duì)函數(shù)tant在區(qū)間sinx,tanx(° x 上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可。例2：求limn 例3:求極限lim n(斗-4?)，其中a 0n a a解：根據(jù)題意，由Lagrangge定理，有2 11im n rEn a aim n2(ax)'|x (丄 J) nn n 1n2a ln a lim n n(n 1)ln a1 1其中，(丄，丄)n 1 n解：利用廣義積分中值定理1L11limn 0dx x1xndx0(1丿,(02)(1 n

21、)1)r r1那么limnnx01x2dxlimn(1J2)(1 n)3.5證明不等式求證1203 219x1031 x6dx120證明:1°3、119x =dx6x19dx1 120 3 1 6其中0,1 ,于是由1311即可獲證.例2:證明-3dx12.證明：估計(jì)連續(xù)函數(shù)的積分值bf xdx的一般的方法是求f x在a,b的最大值M和最mb abf x dx Ma因?yàn)樗詃x0 . 2 x x21、2例3:證明110 20Hx110證明：估計(jì)積分b f x g x dx的一般的方法是：求f x在a,b的最大值M和最小值m, a又假設(shè)g x 0 ,那么bbbm g x dx f x

22、g x dx M g x dx .aaa、例 4:證明 2e 4 ex xdx 2e .0x2 x ex 2x 1,令f x 0 ,得駐點(diǎn)x11比擬f , f 0 , f 2知f e220,上的最小值,而e2 為 f x在0,上的最大值.由積分中值定理得3.6推廣定理的應(yīng)用2exdxxdxe2 20 ,2e2.f x1,g x J xx900 x1 .因?yàn)? 11x0,1.2. 1 x所以1119 . x dx2 01 x9 ddx0 1 x19 .0xdx110 210此題中令12 22例1 ：設(shè)f (x)在()上可得，且f(x)證明:使得證明：?jiǎn)栴}相當(dāng)于要找0，使x1 x2，因函數(shù)F(x)f(x)丄三在1 x2)內(nèi)可導(dǎo),lim 0xlimxf (x) limx即limxf(x)又 0 lim 0xlimxf (x) limx，即 lim f(x) 01 x x所以 lim f (x)xlimx由定理4知0，使得F( )0,即題目得證。證明：在區(qū)間0,上求函數(shù)f x e 的最大值M和最小值m.例2:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)(ab 0)，在(a,b )上可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)(a, b)，使af (a)bf(b)證：根據(jù)定理7 ,令 g(x) x,那么g (x)1 ,那么存在一點(diǎn)(a,b),使得f(a)