最新201X版 第1章 1.2 余弦定理 第1課時 余弦定理(2)

1、第2課時余弦定理(2)1理解余弦定理，能用余弦定理確定三角形的形狀2熟練邊角互化(重點)基礎·初探教材整理射影定理和平行四邊形的性質定理閱讀教材P16P17，完成下列問題1射影定理在ABC中，(1)bcos Cccos Ba；(2)ccos Aacos Cb；(3)acos Bbcos Ac.2平行四邊形性質定理平行四邊形兩條對角線平方的和等于四邊平方的和特別地，若AM是ABC中BC邊上的中線，則AM.1在ABC中，若BC3，則ccos Bbcos C .【解析】ccos Bbcos CBC3.【答案】32若ABC中，AB1，AC3，A60°，則BC邊上的中線AD .【解析

2、】在ABC中，由余弦定理可知BC.AD.【答案】小組合作型利用正、余弦定理解決實際問題某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10 n mile/h的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14 n mile/h的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？【精彩點撥】先畫出示意圖，再借助正、余弦定理求解【自主解答】如圖，設該巡邏艇沿AB方向經過x h后在B處追上走私船，則CB10x，AB14x，AC9，ACB75°45°120°，由余弦定理，得(14x)292(10x)22

3、×9×10xcos 120°，化簡得32x230x270，即x或x(舍去)，巡邏艇需要1.5 h才追趕上該走私船BC10x15，AB14x21.在ABC中，由正弦定理，得sinBAC×.BAC38°13，或BAC141°47(鈍角不合題意，舍去)，38°1345°83°13.答巡邏艇應該沿北偏東83°13方向去追，經過1.5 h才追趕上該走私船準確理解應用題中的有關名稱、術語，如仰角、俯角、方位角等，將要求解的問題歸納到一個或幾個三角形中，通過合理運用余弦定理等解三角形的有關知識，建立數(shù)學模型，

4、然后正確求解.再練一題1兩船同時從A港出發(fā)，甲船以20 n mile/h的速度向北偏東80°的方向航行，乙船以12 n mile/h的速度向北偏西40°方向航行，求一小時后，兩船相距多少n mile.【解】一小時后甲船到B處，乙船到C處，如圖，ABC中，AB20，AC12，CAB40°80°120°，由余弦定理，得BC22021222×20×12·cos 120°784，BC28(n mile)即一小時后，兩船相距28 n mile.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀在ABC中，已知(abc)(abc)3a

5、b，且2cos Asin Bsin C，試確定ABC的形狀. 【導學號：92862015】【精彩點撥】(abc)(abc)3ab求C；2cos Asin Bsin C求A與B的關系【自主解答】(abc)(abc)3ab，a2b2c2ab，2abcos Cab，cos C，C.法一：又2cos Asin Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，ABC，ABC為等邊三角形法二：由2cos Asin Bsin C可知2b×c，即b2a2，ab，ABC，ABC為等邊三角形利用正、余弦定理判定三角形

6、形狀的策略再練一題2在ABC中，若B60°，2bac，試判斷ABC的形狀【解】法一根據余弦定理得b2a2c22accos B.B60°，2bac，a2c22accos 60°，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形法二根據正弦定理，2bac可轉化為2sin Bsin Asin C.又B60°，AC120°，C120°A，2sin 60°sin Asin(120°A)，整理得sin(A30°)1，A60°，C60°，ABC是正三角形探究共研型利用正、余弦

7、定理度量平面圖形探究1在ABC中，若ADBC，則ABcos BACcos C的值為多少？【提示】如圖，易知ABcos BBD，ACcos CCD，又BDCDBC，故ABcos BACcos CBC.探究2在ABC中，若AD是BAC的平分線，則BD與DC有什么關系？【提示】BDDCABAC.探究3在ABC中，若AD是BC邊上的中線，則AD與AB，AC，BC間存在怎樣的等量關系？【提示】4AD22(AB2AC2)BC2.ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的長【精彩點撥】(1)利用正弦定理和三角形的面積公式求解即可(2)

8、利用余弦定理和(1)中得到的結論求解【自主解答】(1)SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD.因為SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理，得.(2)因為SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知AB2AC，所以AC1.1平面幾何中的面積、長度問題常借助正、余弦定理求解，合理轉化已知條件是求解此類問題的關鍵2求解此類問題要特別注意隱含條件的挖掘

9、，如(1)中隱含角平分線的性質定理；(2)中隱含著ADBADC180°.再練一題3.如圖1­2­1，ABC中，ABAC2，BC2，點D在BC邊上，ADC45°，求AD的長度圖1­2­1【解】在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理得，AD×.1在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a4bsin A，則cos B .【解析】a4bsin A，由正弦定理知sin A4sin Bsin A，sin B，cos B.【答案】2若平行四邊形兩鄰邊的長分別是和，它們的夾

10、角是45°，則這個平行四邊形的兩條對角線的長分別是 【解析】兩條對角線的長分別為和.【答案】3已知A，B兩地的距離為10 km，B，C兩地的距離為20 km，經測量，ABC120°，則A，C兩地的距離為 km. 【導學號：92862016】【解析】AC21022022×10×20×cos 120°，AC10.【答案】104在ABC中，B60°，b2ac，則ABC的形狀為 【解析】b2a2c22accos 60°a2c2ac，a2c2acac，a22acc20，ac.又B60°，ABC為正三角形【答案】正三

11、角形5如圖1­2­2所示，在四邊形ABCD中，BC20，DC40，圖1­2­2B105°，C60°，D150°，求：(1)AB的長；(2)四邊形ABCD的面積【解】(1)連結BD，因為ABC105°，C60°，ADC150°，所以A360°105°60°150°45°.在BCD中，BD2BC2CD22BC·CDcos C2024022×20×40×1 200，于是BD20.因為BD2BC2CD2，所以CBD90°.所以ABD105°90