測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí).

1、第一章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)物理實(shí)驗(yàn)離不開對(duì)物理量的測(cè)量。由于測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量條件、測(cè)量人員 等因素的限制，測(cè)量結(jié)果不可能絕對(duì)準(zhǔn)確。所以需要對(duì)測(cè)量結(jié)果的可靠性做出評(píng)價(jià)，對(duì) 其誤差范圍作出估計(jì)，并能正確地表達(dá)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。本章主要介紹誤差和不確定度的基本概念， 測(cè)量結(jié)果不確定度的計(jì)算， 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處 理和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表達(dá)等方面的基本知識(shí)。這些知識(shí)不僅在每個(gè)實(shí)驗(yàn)中都要用到，而且是今 后從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作所必須了解和掌握的。1.1 測(cè)量與誤差1.1.1 測(cè)量 物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性的觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān) 系。因此就需要進(jìn)行定量的測(cè)量。測(cè)量就是借助儀器用某一計(jì)量單位把待測(cè)

2、量的大小表 示出來。根據(jù)獲得測(cè)量結(jié)果方法的不同，測(cè)量可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量：由儀器或量 具可以直接讀出測(cè)量值的測(cè)量稱為直接測(cè)量。如用米尺測(cè)量長(zhǎng)度，用天平稱質(zhì)量；另一 類需依據(jù)待測(cè)量和某幾個(gè)直接測(cè)量值的函數(shù)關(guān)系通過數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得測(cè)量結(jié)果， 這種測(cè)量 稱為間接測(cè)量。如用伏安法測(cè)電阻，已知電阻兩端的電壓和流過電阻的電流，依據(jù)歐姆 定律求出待測(cè)電阻的大小。一個(gè)物理量能否直接測(cè)量不是絕對(duì)的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測(cè)量?jī)x器的改進(jìn)，很 多原來只能間接測(cè)量的量，現(xiàn)在可以直接測(cè)量了。比如車速的測(cè)量，可以直接用測(cè)速儀 進(jìn)行直接測(cè)量。物理量的測(cè)量，大多數(shù)是間接測(cè)量，但直接測(cè)量是一切測(cè)量的基礎(chǔ)。一個(gè)被測(cè)物理量， 除了用

3、數(shù)值和單位來表征它外， 還有一個(gè)很重要的表征它的參數(shù)， 這便是對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的定量估計(jì)。這個(gè)重要參數(shù)卻往往容易為人們所忽視。設(shè)想如 果得到一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測(cè)量結(jié)果還有什么價(jià)值呢？因此，從 表征被測(cè)量這個(gè)意義上來說， 對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的定量估計(jì)與其數(shù)值和單位至少具有同 等的重要意義，三者是缺一不可的。1.1.2 誤差絕對(duì)誤差 在一定條件下，某一物理量所具有的客觀大小稱為真值。測(cè)量的目的就 是力圖得到真值。但由于受測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器、測(cè)量條件以及觀測(cè)者水平等多種因素 的限制，測(cè)量結(jié)果與真值之間總有一定的差異，即總存在測(cè)量誤差。設(shè)測(cè)量值為N,相應(yīng)的真值為No,測(cè)量值與真值之差

4、 N N= N- No稱為測(cè)量誤差,又稱為 絕對(duì)誤差 ,簡(jiǎn)稱 誤差 。誤差存在于一切測(cè)量之中,測(cè)量與誤差形影不離,分析測(cè)量過程中產(chǎn)生的誤差,將影響降低到最低程度，并對(duì)測(cè)量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計(jì)，是實(shí)驗(yàn)測(cè)量中不可缺 少的一項(xiàng)重要工作。相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差與真值之比的百分?jǐn)?shù)叫做相對(duì)誤差。用E表示：ANE100%No由于真值無法知道， 所以計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)常用 N代替No。在這種情況下，N可能是公認(rèn) 值，或高一級(jí)精密儀器的測(cè)量值，或測(cè)量值的平均值。相對(duì)誤差用來表示測(cè)量的相對(duì)精 確度，相對(duì)誤差用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。1.1.3誤差的分類根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，誤差可分為三類：系統(tǒng)誤差、隨

5、機(jī)誤差和粗大誤差。1. 系統(tǒng)誤差 是指在同一條件(指方法、儀器、環(huán)境、人員)下多次測(cè)量同一物理量時(shí)，結(jié)果總是向一個(gè)方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具 有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個(gè)方面：(1)儀器誤差 它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差。如螺旋測(cè)徑器的零點(diǎn)不準(zhǔn)，天平不等臂等。(2 )理論誤差 它是由于測(cè)量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測(cè)量方法不當(dāng)?shù)人鸬恼`差。如實(shí)驗(yàn)中忽略了摩擦、散熱、電表的內(nèi)阻、單擺的周期公式T =2二1的成立條件等。， g(3 )個(gè)人誤差 它是由于觀測(cè)者本人生理或心理特點(diǎn)造

6、成的誤差。如有人用秒表測(cè) 時(shí)間時(shí)，總是使之過快。(4 )環(huán)境誤差 是外界環(huán)境性質(zhì)(如光照、溫度、濕度、電磁場(chǎng)等)的影響而差生 的誤差。如環(huán)境溫度升高或降低，使測(cè)量值按一定規(guī)律變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因通常是可以被發(fā)現(xiàn)的，原則上可以通過修正、改進(jìn)加以排除或 減小。分析、排除和修正系統(tǒng)誤差要求測(cè)量者有豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。這方面的知識(shí)和技能 在我們以后的實(shí)驗(yàn)中會(huì)逐步地學(xué)習(xí)，并要很好地掌握。2. 隨機(jī)誤差 在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一物理量時(shí)，誤差的絕對(duì)值符號(hào)的變 化，時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差，有時(shí)也叫偶然慶。引起隨機(jī)誤差的原因也很多，與儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。

7、如無規(guī)則的溫度變化，氣壓的起伏，電磁場(chǎng)的干擾，電源電壓的波動(dòng)等，引起測(cè)量值的變化。這些 因素不可控制又無法預(yù)測(cè)和消除。當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實(shí)踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律(正態(tài)分布)，其特點(diǎn)表現(xiàn)為： 單峰性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大； 對(duì)稱性 絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； 有界性 絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零； 抵償性 誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加而趨于零。因此，增加測(cè)量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。3. 粗大誤差由于測(cè)量者過失，如實(shí)驗(yàn)方法不合理，用錯(cuò)儀器，操作不當(dāng)，讀錯(cuò)數(shù)值或記錯(cuò)數(shù)據(jù)等引起的誤差，

8、是一種人為的過失誤差，不屬于測(cè)量誤差，只要測(cè)量者 采用嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度，過失誤差是可以避免的。在數(shù)據(jù)處理中要把含有粗大誤差的異常 數(shù)據(jù)加以剔除。易V除的準(zhǔn)則一般為3b準(zhǔn)則或肖維勒準(zhǔn)則。1.1.4測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的術(shù)語，但目前使用時(shí)其涵義并 不盡一致，以下介紹較為普遍采用的說法。精密度表示的是在同樣測(cè)量條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測(cè)量，所得結(jié)果彼此間 相互接近的程度，即測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性、測(cè)量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測(cè)量精密度是測(cè)量 偶然誤差的反映。測(cè)量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。準(zhǔn)確度表示的是測(cè)量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系

9、統(tǒng)誤差的反映。測(cè)量準(zhǔn)確 度高，則測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測(cè)量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶 然誤差的大小不確定。精確度表示的則是對(duì)測(cè)量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評(píng)定。精確度高，測(cè)量數(shù)據(jù) 較集中在真值附近，測(cè)量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小。1.1.5隨機(jī)誤差的估計(jì)對(duì)某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，其測(cè)量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也就是正態(tài) 分布（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個(gè)參量（ x和b）來估計(jì)隨機(jī)誤差。設(shè)在組測(cè)量值中，n次測(cè)量的值分別為:X1, X2 , Xn1 算術(shù)平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測(cè)量的算術(shù)平均值Xn i v(1 1 )是待測(cè)量真值X。的最佳估計(jì)值。稱X為近

10、似真實(shí)值, 近似真實(shí)值。以后我們將用X來表示多次測(cè)量的2 .標(biāo)準(zhǔn)偏差根據(jù)隨機(jī)誤差的高斯理論可以證明，在有限次測(cè)量情況下，單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：Sx 二丁 X（貝塞爾公式）(1 2)通常稱Vi二Xi -X為偏差，或殘差。s表示測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它表征對(duì)同一被測(cè)量在同一條件下作 n次（在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，通常取5_n勺0）有限測(cè)量時(shí)，其結(jié)果的分散程度。其相應(yīng)的置信概率p（Sx）接近于58.3%。其意義是n次測(cè)量中任一次測(cè)量值的 誤差（或偏差）落在（ 二-x）區(qū)間的可能性約為 68.3%，也就是真值落在（x-；_-x,x.，x ） 范圍的概率為68.3%。標(biāo)準(zhǔn)偏差:二x小表示測(cè)量值密集，即測(cè)量的精密

11、度高；標(biāo)準(zhǔn)偏差:二x 大表示測(cè)量值分散，即測(cè)量的精密度低。3.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為其意義是測(cè)量平均值的隨機(jī)誤差在_：_-x ；、之間的概率為68.3%?；蛘哒f，待測(cè)量的真值在x_：七范圍內(nèi)的概率為68.3 %。因此：二反映了平均值接近真值的程度。1.1.6異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測(cè)量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有3；x準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。1. 3二準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)理論表明，測(cè)量值的偏差超過3“的概率已小于1%。因此，可以認(rèn)為偏差超過3的測(cè)量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測(cè)量所得的一系列數(shù)據(jù)， 算出各測(cè)量值的偏差.-：xi和標(biāo)準(zhǔn)偏差匚x，把其中最大的AXj 與3二比較，若Xj 3二，則認(rèn)為第j個(gè)測(cè)量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計(jì)。剔除Xj后，對(duì)余下的各測(cè)量值重新計(jì)算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，并繼續(xù)審查，直到各個(gè)偏差均小于 3；x為止。2. 肖維準(zhǔn)則假定對(duì)一物理量重復(fù)測(cè)量了n次，其中某一數(shù)據(jù)在這 n次測(cè)量中出現(xiàn)的幾率不到半次，即小于丄，則可以肯定這個(gè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不合理的，應(yīng)當(dāng)予以剔除。2n根據(jù)肖維準(zhǔn)則，應(yīng)用隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)理論可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)誤差為二的測(cè)量列中，若某一個(gè)測(cè)量值的偏差等于或大于誤差的極限值K；