高二數(shù)學(xué)學(xué)案1.1.1正弦定理3必修5

1、研卷知古今；藏書教子孫。第一章解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理1. 一般地，把三角形的三個(gè)角A, B, C和它們的對(duì)邊a, b, c叫做三角形的心素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.2.在 RtABC 中，C = 90°,則有：(1)A+ B=90°, 0°<A<90°, 0 <B<90°(2)a2 + b2 = c2(勾股定理)；(3)sin A= cos A=-, tan A=S, sin B = -, cos B =tan B=-：ccbcc

2、a，sin A C，sin B-C，sin C c.a b3.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即而A=B二康,這個(gè)比值是三角形外接圓的直徑2R.,J-自主探究已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C及對(duì)應(yīng)白三邊a、b、c,試用向量法證明正弦定理.不妨設(shè) C為直角.若 ABC為銳角三角形，過A點(diǎn)作單位向量i，AC ,則有:證明(1)若4 ABC為直角三角形, 如圖所示，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，-=sin A, b= sin B, cca b所以=c=2Rsin A sin B(2R為外接圓直徑). C = 90°,c .sin C= 1, sin c= c= 2R.a b

3、c:=-=-=2R.sin A sin B sin Ci AB =y i Vi± AC -(CB-CA)=i CB-i CA, ：i CA = 0,-t-：i AB = i CB,即 ccos(90 A) = acos(90 C),csin A= asin C,a c sin A sin C同理可證：a b b c :Tsin A sinBsinB sin Cab csin Asin Bsin C(3)若 ABC為鈍角三角形，可仿(2)證明.綜上,a b csin A sin B sin C對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一已知兩角和一邊解三角形【例1】 在 ABC中，a=5, B=45°,

4、 C=105°,解三角形.分析 要注意在 ABC中隱含條件A+ B+C= 180°的運(yùn)用.解 由三角形內(nèi)角和定理知 A+B+C=180°,所以 A= 180° (B+ C)= 180 -(45 + 105°)=30°.a b c由正弦JE理 -7 = -=-, sin A sin B sin C得b= asin Bsin A=5sin 45sin 30亍5中;sin C c=a siA= 5sin 105 ° sin (60 +45°) sin 30 _5 . sin 30 °sin 60 cos 45

5、4 cos 60 sin 45sin 30=|(V6+®總結(jié)已知一個(gè)三角形的三邊和三內(nèi)角這六個(gè)量中的三個(gè)量，其中至少有一個(gè)是 邊，可以求解其余的三個(gè)量.變式訓(xùn)練1 在4ABC中，已知a = 242, A=30°, B=45°,解三角形.宿力.a b c牛 , sin A sin B- sin C'asin B 2 ： 2sin 45sin A sin 30,. C=180° -(A+B)= 180asin C 2 ；2sin 105 c= ' a = onsin A sin 302 2X-22 T=A-2-(30 +45 )= 105&#

6、176; ,° 2/sin 75 °= 2 + 273.2知識(shí)點(diǎn)二已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形【例2】 在 ABC中，a=2y3, b=6, A=30°,解三角形.分析 已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，先判斷三角形是否有解，若有解, 解該三角形.解 a=23, b=6, a<b, A=30 <90°.又因?yàn)?bsin A= 6sin 30 =3, a>bsin A,所以本題有兩解，由正弦定理得：.° bsin A 6sin 30。亞 * t 仆八。sin B =；=三，故 B = 60 或 120 .a 2 32，當(dāng) B

7、=60 時(shí)，C = 90 , c= a2+ b2 =43;當(dāng) B=120°時(shí)，C = 30°, c=a=2眼.所以 B=60°, C = 90°, c= 4小或 B=120°,C=30°, c = 2眼.總結(jié) 已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，需對(duì)角的情況加以討論.變式訓(xùn)練2 在 ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為 a、b、c,已知A= 60°,a=43, b=1,則c等于()D. 3A. 1 B. 2C.3-1答案B,解析由正弦定理a b = Z7. sin A

8、 sin B可得1.sin B = 2,故/ B = 30 或 150 .由 a>b,得/A>/B, B=30°,故/ C=90°, 由勾股定理得c=2.知識(shí)點(diǎn)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形解的個(gè)數(shù)【例3】不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù).(1)a=5, b=4, A=120°(2)a=9, b=10, A = 60°(3)c= 50, b=72, C=135°.解 (1)sin B=bsin 120 = 4x 棗<', a522所以三角形有一解.(2)sin B = bsin 60 = 10*乎=呼， a_

9、3 5 ,3而 2 < 9 <1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿足 sin B=5g的角有 60°<B<90°,故對(duì)應(yīng)白鈍角 B有90°<B<120° , 也滿足A+B<180°,故三角形有兩解.bsin C 72.2(3)sin B= c= 5sin C>sin C= 2，所以B>45°,所以B + C>180°,故三角形無(wú)解.總結(jié) 已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，此類問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，具體判斷方法是：可用三角形中大邊對(duì)大角定理，也可作圖判斷.變式訓(xùn)練3

10、不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù).(1)a=7, b=14, A=30°(2)a=30, b=25, A=150°(3)a=7, b=9, A = 45°.解 (1)A = 30°, a= bsin A,故三角形有一解.(2)A= 150°>90°, a = 30>b=25,故三角形有一解.(3)A= 45°, bsin 45 Va<b,故三角形有兩解.1.利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角.（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角.2.已知兩邊和其中

11、一邊的對(duì)角， 求第三邊和其它兩個(gè)角， 這時(shí)三角形解的情況比 較復(fù)雜，可能無(wú)解，可能一解或兩解.例如：已知 a、b和A,用正弦定理求 B時(shí)的各種Tt況.bsin A<a<ba> b兩解（一銳角，一一解（銳鈍角）角）a>b一解（銳角）A 為銳 a<bsin a= bsin角A A無(wú)解一解（直角）A為直a< b角無(wú)解或鈍角課時(shí)作業(yè)一、選擇題1 .在 ABC 中,卜列等式中總能成立的是（）A . asin A= bsin BC. absin C = bcsin B答案 D解析由余弦定理知D正確.2.在 ABC中，已知a= 18,B.D.b= 16,A.有兩個(gè)解 答案

12、 BB.有一個(gè)解bsin C = csin Aasin C = csin AA=150°,則這個(gè)三角形解的情況是（）C.無(wú)解 D.不能確定解析 因?yàn)閍>b, A為鈍角，所有只有一個(gè)解.3.在 ABC 中，已知 a=8, B=60°, C=75°,則 b 等于()32A. 4也B, 473C. 476D.3答案 C解析 方法一 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，A= 180° (B+C) = 45°.根據(jù)正弦定理,asin B 8sin 60 °/-b=7= tz-k 4q6.sin A sin 45"方法二 如圖，過點(diǎn)C作CDLA

13、B,由條件可知 A = 45°,而由CD = asin 60 = bsin 45。，得 b = 46.4.在 ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,如果c=V3a,B=30°,那么角C等于（）A. 120° B, 105° C. 90° D, 75°答案 A解析 ,. 0=33, sin C = 73sin A=73sin(180 - 30 -C) =73sin(30 4 C)=73 312 sin C +2cos C ,即 sin C=/cos C.tan C =一4.又 CC(0,力，.C=120°.5 .在

14、ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是()A.b=10, A=45°, C = 70°B,a= 30,b=25,A=150°C.a = 7, b=8, A=98°D,a= 14,b=16,A = 45°答案 D解析 對(duì)于A,由三角形的正弦定理知其只有一解；對(duì)于 B, va>b,即八>8,且A=150°,：只有一解；對(duì)于 C, a<b,即 A<B,且 A= 98°,：無(wú)解. 二、填空題6 .在 ABC 中，AC = 76, BC=2, /B=60°,則 C =. 答案 75°

15、解析由正弦定理癮二灌鼠，。：sin A=¥. BC = 2<AC = 6, ：A 為銳角，：A=45°. ：C = 75°.7 .在ABC中，已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若 b=2a,B = A+60°,則 A=.答案 30°解析 b=2a? sin B=2sin A,又< B = A+60°,sin(A + 60) = 2sin A,即 sin Acos 60 4 cosAsin 60 =2sin A, 化簡(jiǎn)得 sin A=坐cos A, . tan A=半，：A= 30°.8 .在 ABC中，a

16、 = x, b=2, B=45°,若三角形有兩解，則 x的取值范圍是答案 2Vx<2 2解析因三角形有兩解，所以 asin B<b<a,rr 2即學(xué)x<2<x, . . 2<x<2啦.三、解答題9 .在 ABC中，若3=2a/3, A=30°,討論當(dāng)b為何值時(shí)（或在什么范圍內(nèi)），三 角形有一解，有兩解或無(wú)解？解 當(dāng)a<bsin 30 °即b>2a, b>443時(shí)，無(wú)解；當(dāng) a> b 或 a= bsin A,即b2V3或b = 4>/3時(shí)，有一解；當(dāng)bsin A<a<b,即2y3Vb