高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文例談化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用蘇教版Word版

1、例談轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用在日常教學(xué)中，常遇到一些問題直接求解較為困難，然而通過觀察、分析等思維過程，可以將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.比較常見的表現(xiàn)形式有：陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化、變量與常量的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化、抽象與具體的轉(zhuǎn)化等等.下面就一些題目談?wù)勔恍┨幚聿呗?1陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化例1 已知求證：.解析：原條件可化為令則 ，因?yàn)椋?所以即,整理得所以成立.點(diǎn)評(píng) 將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決.本題巧妙的將陌

2、生的的分式經(jīng)過整理變形，轉(zhuǎn)化為熟悉的兩角和差正切公式來解決.2復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化例2 已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域，并證明是單調(diào)遞減函數(shù).解析：由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)，是單調(diào)遞減函數(shù).則，由于在均為單調(diào)函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：本題函數(shù)形式較復(fù)雜，直接化簡(jiǎn)較難，通過引入三角進(jìn)行換元，將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)形式.但在引入?yún)?shù)角時(shí)，還需跟上合適的范圍以便求解.3變量與常量的轉(zhuǎn)化例3 對(duì)于滿足的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求的取值范圍解析：習(xí)慣上把當(dāng)作自變量，記函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為： 當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍解決這個(gè)等價(jià)的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原

3、理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的設(shè)函數(shù)，顯然，則是的一次函數(shù)，要使恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，解得的取值范圍是點(diǎn)評(píng) 本題看上去是一個(gè)不等式問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色在有幾個(gè)變量的問題中，常常有一個(gè)變?cè)幱谥饕匚?，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的.但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)趩栴}中的地位，就能使問題迎刃而解.4空間與平面的轉(zhuǎn)化例4 如下圖所示，圖（a）為大小可變化的三棱錐.（1）將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，假定展開圖剛好是一個(gè)直

4、角梯形，如圖（b）所示.求證：側(cè)棱；（2）由（1）的條件和結(jié)論，若三棱錐中，求側(cè)面與底面所成角；解析：（1）在平面圖中，.故三棱錐中，且 平面，.（2）由（1）在三棱錐中作于，連結(jié). ,且，是所求二面角的平面角，在展開圖中，連 得，作于，得.設(shè)，則，由， =.故,，由得，又 ，所以. 在中，側(cè)面PAC與底面所成的角的大小為.點(diǎn)評(píng) 立體幾何中有關(guān)位置關(guān)系的論證實(shí)際上是位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，有關(guān)空間角的計(jì)算往往是轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角來求解.5數(shù)與形的轉(zhuǎn)化例5 求函數(shù)的最小值.解析：，設(shè)，則上述問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，如圖點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,因?yàn)?所以的最小值為.點(diǎn)評(píng) 本題如果直接對(duì)原式進(jìn)行變形，是有一定運(yùn)

5、算量的，效率也不高，但將式子轉(zhuǎn)化為這種點(diǎn)與點(diǎn)距離公式之后，它的幾何意義就凸現(xiàn)出來了，利用數(shù)形結(jié)合的方法，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.6方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化例6 若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析： 令，則原題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)根.令，由二次函數(shù)圖象可知：解得：點(diǎn)評(píng) 本題涉及到多種轉(zhuǎn)化，一是三角函數(shù)的異名化同名，三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，二是方程的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題.7正與反的轉(zhuǎn)化例7 給定實(shí)數(shù)，且，設(shè)函數(shù)（其中R且），證明：經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于軸證明：設(shè)、是函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則假設(shè)直線平行于軸，則必有，即，整理得由，得，這與已知條件“

6、”矛盾，因此假設(shè)不成立，即直線不平行于軸點(diǎn)評(píng) 該題正面求證很困難，但通過找出反面的矛盾，從而證明原命題的正確.本題中“不平行”的否定是“平行”，通過假設(shè)“直線平行”，然后得出矛盾，從而推翻假設(shè)8抽象與具體的轉(zhuǎn)化例8 設(shè)定于在實(shí)數(shù)集上，當(dāng)時(shí)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，同時(shí)，解不等式.解析：由中取得，若，則令，則與時(shí)，矛盾.所以.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而所以又因，所以，設(shè)且則，所以在上為單調(diào)增函數(shù).又因，所以.由得單調(diào)性可得，解得.點(diǎn)評(píng) 由于指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)，所以猜想模型函數(shù)為，由，則將不等式化為，只需證明的單調(diào)性即可.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，但實(shí)質(zhì)都是揭示內(nèi)在了解，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題外，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的.從這個(gè)意義上