數(shù)學(xué)建模作業(yè)——實(shí)驗(yàn)1

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)實(shí)驗(yàn)1學(xué)院：軟件學(xué)院姓名： 學(xué)號(hào)：班級(jí)：軟件工程2015級(jí) GCT班郵箱： 電話：日期：2016年5月10日 基本實(shí)驗(yàn)1. 椅子放平問題依照1.2.1節(jié)中的“椅子問題”的方法，將假設(shè)中的“四腿長(zhǎng)相同并且四腳連線呈正方形”，改為“四腿長(zhǎng)相同并且四腳連線呈長(zhǎng)方形”，其余假設(shè)不變，問椅子還能放平嗎？如果能，請(qǐng)證明；如果不能，請(qǐng)舉出相應(yīng)的例子。答：能放平，證明如下：如上圖，以椅子的中心點(diǎn)建立坐標(biāo)，O為原點(diǎn)，A、B、C、D為椅子四腳的初始位置，通過旋轉(zhuǎn)椅子到A、B、C、D，旋轉(zhuǎn)的角度為，記A、B兩腳，C、D兩腳距離地面的距離為f()和g()，由于椅子的四腳在任何位置至少有3腳著地，且f()、

2、g()是的連續(xù)函數(shù)，則f()和g()至少有一個(gè)的值為0，即f()g()=0，f() 0，g()0，若f(0)0，g(0)=0，則一定存在（0，），使得f()=g()=0 令=（即椅子旋轉(zhuǎn)180°,AB邊與CD邊互換），則f()=0，g()0定義h()= f()-g()，得到h(0)=f(0)-g(0)0h()=f()-g() 0根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，則存在（ 0，），使得h()= f()-g()=0結(jié)合條件f()g()=0,從而得到f()=g()=0，即四腳著地，椅子放平。2. 過河問題依照1.2.2節(jié)中的“商人安全過河”的方法，完成下面的智力游戲：人帶著貓、雞、米過河，船除需要人

3、劃之外，至多能載貓、雞、米之一，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)，貓要吃雞、雞要吃米，試設(shè)計(jì)一個(gè)安全過河的方案，并使渡河的次數(shù)盡量的少。答： 用=,分別代表人，貓，雞，米。在此岸，在對(duì)岸，此岸狀態(tài)，對(duì)岸狀態(tài)。安全狀態(tài)集合為 : S=1，1，1，1,D=(0，0，0，0)S=1，1，1，0,D=(0，0，0，1)S=1，1，0，1,D=0，0，1，0S=1，0，1，1,D=0，1，0，0S=1，0，1，0,D=1，0，1，0S=0，1，0，1,D=0，1，0，1S=0，1，0，0,D=1，0，1，1S=0，0，1，0,D=1，1，0，1S=0，0，0，1,D=1，1，1，0S=0，0，0，0,D=(1，1，1，1

4、) 乘船方案，記作，當(dāng)在船上時(shí)記，否則記，允許決策集合為因?yàn)槌舜瑸槠鏀?shù)時(shí)船從此案駛向彼岸，為偶數(shù)時(shí)船由彼岸駛向此岸，所以狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律為，設(shè)計(jì)安全過河方案歸結(jié)為求決策，使?fàn)顟B(tài)按轉(zhuǎn)移律由初始狀態(tài)經(jīng)有限步到達(dá)狀態(tài)。根據(jù)題設(shè)條件:影響安全渡河的元素是貓、雞、米，這3個(gè)元素中取2個(gè)元素的組合一共有C32=3種，分別為貓+雞，貓+米，雞+米。其中“貓+雞”和“雞+米”組合不安全，而“貓+米”的組合是安全的。第一次渡河需帶3個(gè)元素中的1個(gè)元素，另外2個(gè)元素留在岸上，而留在岸上的3種組合中只有“貓+米”的組合是安全的，可見第一次渡河只能帶雞，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次將米或者貓帶到對(duì)

5、岸，把雞帶回，第三次將貓或者米帶到對(duì)岸，第四次將雞帶過河，至此，貓、雞、米均安全過河。具體有2種執(zhí)行方案如下：上述方案直觀表示如下：3. 購(gòu)房貸款問題（續(xù)）在1.2.3節(jié)“購(gòu)房貸款”的問題中，我們討論了小王夫婦借貸還貸的方式?，F(xiàn)進(jìn)一步討論此問題。某借貸公司的廣告稱，對(duì)于貸款期在20年以上的客戶（利率仍按06%/月計(jì)算），他們幫你提前3年還清貸款。但條件如下：（1） 每半個(gè)月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的1/2；（2） 因?yàn)樵黾颖匾臋n案、文書等管理工作，因此，要預(yù)付給借貸公司貸款總額10%的傭金。試分析，小王夫婦是否要請(qǐng)這家借貸公司幫助還款。答：設(shè)每月還款額為x，利

6、率r,貸款額A0，總還款月數(shù)為N，總還款額為X。若貸款20萬(wàn)，20年期，則：x=A0r(1+r)N1+rN-1=200000×0.006(1+0.006)2401+0.006240-1=1574.7元X=x×N=1574.7×240=377928元若請(qǐng)這家借貸公司還款，則還款總額X1=x(N-3×12)+ 10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元但小王夫婦預(yù)付給借貸公司20000元的傭金，如果把這20000元作為首付，則小王夫婦只需貸款18萬(wàn)，則總還款額：X2=X(1-10%)=340135.2元還款月數(shù)：N2=X2&#

7、247;x=340135.2÷1574.7=216月=18年X1X2，小王夫婦不需用借貸公司還款。4. 冷卻定律按照Newton冷卻定律，溫度為T的物體在溫度為T0(T0<T)的環(huán)境中冷卻的速度與溫差T-T0成正比。用此定律建立相應(yīng)的微分方程模型。如果空氣的溫度是20，且沸騰的水在20分鐘內(nèi)冷卻到60，那么水溫降低到30需要多長(zhǎng)時(shí)間？答：首先，牛頓冷卻定律為溫度為T(t)的物體在溫度T0的環(huán)境中冷卻的速度與溫度差 T(t)-T0成正比。所以，得出微分方程dT（t)dt=kTt-T0，K為比例常數(shù)。任意時(shí)刻t，物體的溫度為Tt=T0+Cekt，C為常數(shù)根據(jù)已知條件，T0=20,記

8、t=0時(shí)刻，初始水溫T（0）=100，20分鐘后水溫T（20）=60。則：T0=20+Cek*0=100T20=20+Cek*20=60求解函數(shù)得，k=-0.034657，C=80，即Tt=20+80*e-0.034657*t當(dāng)水溫降低到30時(shí)，t=-ln（30-20）÷80）÷0.034657=60分鐘。5.鍛煉想象力、洞察力和判斷力的問題（只簡(jiǎn)單回答出理由即可）（1）某人早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條山路上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿，次日8時(shí)沿同一山路下山，下午5時(shí)回到酒店。該人比在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？答：題中人記作A，假定有另一個(gè)人B,第二天復(fù)制

9、A第一天的上山過程（即任何時(shí)刻的足跡均相同），那么問題相當(dāng)于A、B兩人分別從一段路的兩端同時(shí)出發(fā)，相向行走，同時(shí)到達(dá)另一端。則A、B二人必然會(huì)在路途中相遇，相遇點(diǎn)即為A在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)。也可用下圖加以說(shuō)明，兩條曲線分別為上山和下山的曲線，兩天都是同一時(shí)刻出發(fā)，同一時(shí)刻到達(dá)，無(wú)論曲線如何變化，總會(huì)有一個(gè)相交點(diǎn)，相交點(diǎn)即為為A在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)。（2）甲乙兩站之間有汽車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時(shí)刻不一定相同，甲乙兩站之間有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)時(shí)刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，大約有1

10、0天到達(dá)乙站。問開往甲乙兩站的汽車經(jīng)過丙站的時(shí)刻是如何安排的？答：由題意可知，搭乘乙站開往甲站的車概率是90%，搭乘甲站開往乙站的車概率是10%。說(shuō)明90%的時(shí)間等來(lái)的是乙站開往甲站的車，10%的時(shí)間等來(lái)的是甲站開往乙站的車，而發(fā)車時(shí)間間隔是10分鐘，進(jìn)而說(shuō)明：10分鐘內(nèi)有9分鐘等來(lái)的是乙站開往甲站的車，有1分鐘等來(lái)的是甲站開往乙站的車。因此可以得出結(jié)論：乙站開往甲站的車到站后1分鐘，甲站開往乙站的車到站。開往甲乙兩站的汽車經(jīng)過丙站的時(shí)刻可表示如下（H0為乙站開往甲站的首班車時(shí)刻）：H0 乙 甲H0+1 甲 乙H0+10 乙 甲H0+11 甲 乙H0+15 乙 甲H0+16 甲 乙 （3）張先

11、生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城際火車于18:00抵達(dá)A市火車站，他妻子駕車至火車站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火車于17:30抵達(dá)A市火車站，隨即步行回家，他妻子像往常一樣駕車前來(lái)，在半路相遇將他接回家。到家時(shí)張先生發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問張先生步行了多長(zhǎng)時(shí)間？答：張先生從火車站比往常早出發(fā)30分鐘，早到家10分鐘，則其步行路段用時(shí)比往常多了20分鐘。他妻子從家出發(fā)時(shí)間不變，早到家10分鐘，則其少行駛了10分鐘的路程，即張先生步行路段的往返路程，那么張先生步行路段的單程行車時(shí)間為5分鐘。張先生步行的時(shí)間應(yīng)為比往常多用的時(shí)間和步行路段的單程行車時(shí)間之和，即25分鐘。（4）一

12、男孩和一女孩分別在距家2公里和1公里且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以每小時(shí)4公里和每小時(shí)2公里的速度步行回家。一小狗以每小時(shí)6公里的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上學(xué)時(shí)，小狗也往返奔波在他們中間，問他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處？答：由于他們到家的用時(shí)都是2÷4=0.5小時(shí)，所以小狗奔波的路程為6×0.5=3公里。上學(xué)過程是放學(xué)過程的逆向過程，所以在他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗的位置為放學(xué)時(shí)的起始位置，即男孩所在的學(xué)校。加分實(shí)驗(yàn)（公平投票問題）某部門推出一專項(xiàng)基金目的在于培養(yǎng)優(yōu)秀人才，根據(jù)評(píng)比結(jié)果確定資助的

13、額度。許多單位的優(yōu)秀者都申請(qǐng)了該基金，于是該基金的委員會(huì)聘請(qǐng)了數(shù)名專家，按照如下規(guī)則進(jìn)行評(píng)比。1.為了公平性，評(píng)委對(duì)本單位選手不給分；2.每位評(píng)委對(duì)每位參與申請(qǐng)的人（除本單位選手外）都必須打分，且不打相同的分；3.評(píng)委打分方法為給參加申請(qǐng)的人排序，根據(jù)優(yōu)劣分別記1分、2分、以此類推。4.評(píng)判結(jié)束后，求出各選手的平均分，按平均分從低到高排序，依次確定本次評(píng)比的名次，即平均分最低者獲得資助最高，依次類推。本次基金申請(qǐng)中，甲所在單位有一名評(píng)委，這位評(píng)委將不參加對(duì)選手甲的評(píng)判，其他選手沒有類似情況，評(píng)審結(jié)束后選手甲覺得這種評(píng)比規(guī)則對(duì)他不公平。問選手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正來(lái)解決選手甲的抱怨？答：令評(píng)審個(gè)數(shù)為n，根據(jù)評(píng)分規(guī)則，在一般情況下評(píng)委給出的評(píng)分分別為k1，k2，k3kn,所以該選手的平均得分為K1=k1+k2+knn=Snn由于回避規(guī)則，甲的單位不得為甲評(píng)分，則甲的得分與一般選手有差別，應(yīng)為K2=k1+k2+kn-1n-1=Sn-knn-1