“勾股定理”教學設計.doc

1、“勾股定理”教學設計陵水東華初級中學 蘇恩杰教 材： 國家課程標準華師大版實驗教材八年級下冊 § 19.2勾股定理教材的地位與作用：勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論， 它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系， 將形與數(shù)密切聯(lián)系起來， 理論上占有重要的地位它有著悠久的歷史， 在數(shù)學發(fā)展中起過重要的作用， 在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用。 勾股定理的發(fā)現(xiàn)、 驗證和應用蘊含著豐富的文化價值。是幾何中重要定理，是學生后續(xù)學習的重要基礎。教學目標：1 .知識目標掌握勾股定理， 能夠熟練地運用勾股定理由直角三角形的任意兩邊求得第三邊 能根據(jù) 一已知邊和另兩未知邊的數(shù)量關系通過方程求未知兩邊

2、。2 .能力目標通過勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明， 滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法， 增強邏輯思維能力， 操作探究能力。3 .情感目標通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情通過定理的探索，培養(yǎng)學生的探索精神和和合作交流的能力。教學重點、難點：1、教學重點：勾股定理內(nèi)容及其簡單應用。2、教學難點：勾股定理的證明，勾股定理在實際生活中的應用。教學模式：本節(jié)的教學分為五步： 情境引入定理探索定理應用定理證明課堂拓 展 的模式展開。教師引導學生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，提出問題并與學生共同探索、討論。讓學生經(jīng)歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解勾股定理的意義。為了提高

3、課堂教學的效益，本節(jié)課擬以幾何畫板軟件為平臺，利用幾何畫板的強大的演示實驗功能， 幫助學生對勾股定理進行自主、合作探索，便于知識的形成與發(fā)展。同時利用廣播教學系統(tǒng)，局域網(wǎng)和互聯(lián)網(wǎng)的優(yōu)勢，大大拓展學生的視野和活動空間。教學過程的設計一、情境引入創(chuàng)設情境，激發(fā)沖突1 . 一個美麗的故事： 世界的許多科學家正在試探著尋找“外星人” ，人們?yōu)榱巳〉门c外星人的聯(lián)系，想了很多方法。早在1820 年，德國著名數(shù)學家高斯曾提出，可在西伯利亞的森林里伐出一片直角三角形的空地， 然后在這片空地里種上麥子， 以三角形的三條邊為邊種上三片正方形的松樹林， 如果有外星人路過地球附近， 看到這個巨大的數(shù)學圖形， 便會知道

4、：這個星球上有智慧生命。我國數(shù)學家華羅庚也曾提出：若要溝通兩個不同星球的信息交往，最好利用太空飛船 帶上這個圖形，并發(fā)射到太空中去。2 .一個著名的問題：九章算術有一勾股 定理名題：“今有池方一丈，葭（ji &）生其中央.出 水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何. "本題的意思是：（如圖1）有一水池一丈見方，池中生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?，露出?面一尺，如把它引向岸邊，正好與岸邊齊。問水有多深，該植物有多長?教師通過將實際問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的三邊關系問題，從而出示課題一一勾股定理。【設計意圖】通過“一個美麗的故事”的閱讀，創(chuàng)設一個遐想的情境，誘發(fā)學生發(fā)揮想像， 初步

5、感受勾股定理的神秘，從而調(diào)動學生的情緒，使學生以飽滿的熱情進入學習探究狀態(tài)。通過“一個著名的問題” 初步探究，了解勾股定理的古老與神奇。問題本身具有極大的挑戰(zhàn)性，這樣無形中激發(fā)了學生的強烈的求知欲，為學生主動探究課題做好了心理準備。 二、定理探索一一自主操作，引導探索（一）定理探索1 :等腰直角三角形的三邊數(shù)量關系圖2出示如圖2所示圖形，說明圖中每個小方格代表一個單位面積。引導學生根據(jù)三個問題進行個體主動探究與思考。問題1:你能說出正方形 P, Q, R的面積及其數(shù)量關系嗎？問題2:你能說出正方形 P, Q, R的面積和直角三角形三邊a, b, c之間的關系？問題3:你能說出等腰直角三角形三邊

6、之間的數(shù)量關系嗎？教師通過廣播系統(tǒng)的監(jiān)控了解學生的學習探究狀況，適時通過學生演示將學生的不同研究方法進行全班交流。圖3（二）定理探索2:直角三角形的三邊數(shù)量關系出示如圖3所示圖形，說明圖中每個小方格代表一個單位面 積。引導學生根據(jù)兩個問題進行個體主動探究與思考。問題1:你能說出正方形 P, Q, R的面積及其數(shù)量關系嗎？問題2:你能說出等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關系嗎？教師通過廣播系統(tǒng)的監(jiān)控了解學生的學習探究狀況，適時通過學生演示將學生的不同研究方法進行全班交流。（三）定理探索 3:驗證猜想2引導學生操作：在幾何畫板的格點中畫出直角邊為 證你剛才的猜想是否成立。（圖中每個小方格的邊長為 1c

7、m）教師通過廣播系統(tǒng)的監(jiān)控了解學生的學習探究狀況， 適時通過學生演示將學生的研究結(jié)果進行全班交流。（四）定理探索4:得出結(jié)論引導學生思考問題：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？如圖4,學生利用幾何畫板的動態(tài)演示，在運動 過程中注意觀察各個正方形面積的變化及其關系，從而得出勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如 圖5,即：若 ABC 中，/ACB = 90° ,則 a2 b2 c2.變形：若/ ACB =90° ,則 a c2 b2,b , c2 a2,c ,a2 b2.5cm、12cm的直角三角形，驗圖4【設計意圖】八年級學生能獨立思考,有強烈的探究愿

8、望，并能在探索的過程中形成自己的教師在此基礎上介紹 勾，股，弦”的含義，進行點題， 結(jié)合直角三角形，讓學生從中體驗勾股定理蘊含的深刻的數(shù) 形結(jié)合思想。9觀點，能在交流意見的過程中逐漸完善自己的觀點。故本段設計遵循“構(gòu)建主義”的學習理 念，以學生為中心，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構(gòu)。教師只是給學生提供一定的學習“情景”，在此“情景”中，學生通過“協(xié)作”、“會話”和“意義建構(gòu)”進行有效學習。定理的探索按照由“特殊”到“一般”的思想方法進行，在思想認識上循序漸進，學生容易接受。學生在走完一步時，自然想到下一步是否可行。 在得到猜想后自然會設法驗證自 己的猜想的正確性，

9、借助于幾何畫板順利“得出正確結(jié)論”。三、定理應用一一實際應用、鞏固新知（一）定理應用1: 一個著名問題的解決 例1如圖6,將梯子AC斜靠在墻上，BC長為2.16米，梯子的長為5.41米。求梯子上端 A圖6到墻的底端B的距離.（精確到0.01米）解 在 RtAABC 中，/ABC=90° , BC=2.16,AC=5.41 ,根據(jù)勾股定理得 AB = JAC_BC2 J5.412 2.162 x4.96 （米）答：梯子上端 A到墻的底端B的距離約為4.96米.例2有一水池一丈見方， 池中生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?，?出水面一尺，如把它引向岸邊，正好與岸邊齊。問水有多深，該植物有多長?Rt

10、AABC 中，/ ACB=90AB =x,則水深 AC =x 1解由題意得：在CD=1 ,設植物長 根據(jù)勾股定理得AB2=AC2+BC2,所以 x2= （x1） 2+52,所以 x=13, x1=12。答：水深12尺，植物長13尺.【設計意圖】 本段內(nèi)容主要通過教師啟發(fā)引導，學生共同探究完成， 一方面讓學生感受解決問題的愉悅與強烈的成就感，加強對勾股定理的理解。 另一方面教師作為教學的組織者，很有必要通過適當?shù)闹v解讓學生知道：（1）勾股定理應用的前提條件 （在直角三角形中）；（2）勾股定理應用的方式（直接計算，如例 1,構(gòu)造方程，如例2）。同時例2的解決與“引入” 部分形成前后呼應。例2具有較

11、大的難度，用傳統(tǒng)的方法很難把題意弄清，更不用說是讓學生聽明白。但 利用幾何畫板的動態(tài)演示，學生很快明白題意，順利將此問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學問題，再通 過添加適當?shù)妮o助線將此問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的問題，從而正確進行數(shù)學建模。（二）定理應用 2:你會運用嗎？這節(jié)課的內(nèi)容掌握得怎么樣？同學們很想檢驗一下本節(jié)課的學習效果吧！請同學們根據(jù)需要選擇下面不同難度的題目，（1）輕松過關；（2）略加思考；（3）勇于挑戰(zhàn)。（題目略，可參考課件）【設計意圖】本段遵循“因材施教”，“人人學有價值的數(shù)學”，“讓不同的人得到不同的發(fā)展” 的教學理念。嘗試進行分層練習，以適合不同層次的學生的需要， 讓所有學生都能體驗成功， 有利

12、于調(diào)動學生的學習積極性，對優(yōu)秀學生則通過較難的具有挑戰(zhàn)性的練習體現(xiàn)他們的“價值”。練習提供查看答案，及時反饋學生的學習效果。對練習全部正確的同學，給出“祝賀”，否則，給出鼓勵，強化學生的情感體驗。四、定理證明一一分組學習，集體交流 定理證明：你會證明嗎？ .勾股定理的證明方法有數(shù)百種之多，現(xiàn)列舉三種典型證法。 請根據(jù)老師分組選取一種證法加以研究，并將結(jié)果與其他小組進行交流！（一）證法一拼圖法一一藏與拼圖游戲中的巧妙的證明方法，如圖8。1 .操作：請將下面8個全等的直角三角形和 3個正方形拼入下面的兩個邊長為a+b的大正方形中。2 .請根據(jù)拼圖結(jié)果證明勾股定理。221證明：由左圖可知：a b c

13、 4 ab；2222.1由右圖可知： a b a b 4 -ab ；2所以 a2 b2 c2 。（二）證法二弦圖法一一三國時期（約公元三世紀）趙爽的勾股圓方圖的證明方法,圖9圖10如圖9。1 .操作：請拖動控制點并仔細觀察。2 .請根據(jù)操作和觀察結(jié)果證明勾股定理。證明：當控制點在正方形 ABCD內(nèi)時S c2 （b a）2 4 1 ab; c2 b2 2ab當控制點在正方形 ABCD外時22122_2_22211。S c2（b a）24 -ab;c2 b22aba2 2ab;c2a2b2.（三）證法三原本法一一希臘數(shù)學家歐幾里德的幾何原本的證明方法，如圖1 .操作：請在 C點運動過程中觀察矩形

14、ADNM、BENM和正方形ACHK、BCGF的面 積關系。2 .請根據(jù)觀察結(jié)果證明勾股定理。證明：證明：在 RtAABC的三邊上向外各作一個正方形（如圖）作CN，DE交AB于M ,那么 正方形被分成兩個矩形.連結(jié)CD和 KB .由于矩形 ADNM ADC 有公共的底AD和相等的高， S 矩形 ADNM =2S A ADC又正方形 ACHK和4ABK有 公共的底AK和相等的高，S 正方形 ACHK = 2 S aABK在4ADC和4ABK中 AD = AB , AC = AK , / CAD = / KAB /.A ADC ABK由此可得S 矩形ADNM = S正方形ACHK 同理可證s 矩形B

15、ENM = S 正方形BCGF S正方形ABED = S 矩形ADNM + S 矩形BENM = S正方形ACHK + S正方形BCGF2, 22即 a b c?！驹O計意圖】本段采用小組合作學習方式進行，學生按教師事先分好的小組以小組為單位進行合作學習，每個小組選擇一種證法進行研究。每個小組有4名成員，位置相鄰，便于所有的人都能參與到明確的集體任務中。小組成員之間相互依賴、 相互溝通、相互合作，共同負責，從而達到共同的目標。 在集體學習的基礎上，每組推選一位同學代表本組進行學習交流， 主要時將本組證法的思路講清，同時同組同學可以補充或糾錯。其他小組此時則通過聆聽對他組的證法進行學習。（四）課堂

16、小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲？你能談談你對這節(jié)課的感受嗎？【設計意圖】一個好的小結(jié)，不只是對課堂內(nèi)容的簡單回顧，還是對所用數(shù)學思想、方法的總結(jié)，學生通過自己的總結(jié)，不僅促進了對知識的理解，培養(yǎng)了數(shù)學表達能力和概括能力， 而且通過歸納反思， 能有效地把握知識的脈搏，找到知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，這對于學生主動構(gòu)建良好的認知結(jié)構(gòu)大有裨益，也讓學生從中學會感悟數(shù)學。五、課堂拓展一一課堂延伸，滿足需要課堂延伸包括如下內(nèi)容：美麗的勾股樹一一讓學生感受數(shù)學美的同時，了解勾股樹的構(gòu)造。股股史話一一讓學生了解勾股定理的歷史與現(xiàn)狀。網(wǎng)上搜索一一給學生提供一個更為廣闊的學習和思維空間?！驹O計意圖】課堂從廣義上講是開放的，教師

17、在授課時，不僅要傳授學生必要的知識，更要打開學生的思路，給學生提供更為廣闊的空間，引領學生課后去探索， 從而讓學生真正成為學習的主人。在當今的網(wǎng)絡社會，學生尤其要善于在網(wǎng)上“淘金” ，滿足自己學習的需要。 網(wǎng)上學習必將成為未來的最為重要的學習方式。六、布置作業(yè)：課本 P104 習題 19.2 1， 2， 32）勾股定理的證明方法；PPT 形式） 。促進學生學知識，用知識通過上網(wǎng)，搜索有關勾股定理的知識：如（ 1）勾股定理的歷史；（ 3 ）勾股定理在實際生活中的應用。并制作成研究性學習報告（【設計意圖】鞏固勾股定理，進一步體會定理與實際生活的聯(lián)系。的意識。新課程標準提倡課題學習（研究性學習） ，

18、通過課題學習與研究更多地把數(shù)學與社會生活和其他學科知識聯(lián)系起來， 使學生進一步體會不同的數(shù)學知識以及數(shù)學與外界之間的聯(lián)系，初步學習研究問題的方法，提高學生的實踐能力和創(chuàng)新意識。教學后記與教學體會一、基于網(wǎng)絡的教學帶來的幾個積極轉(zhuǎn)變1 .學生地位的轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學是建立在“傳遞接受”教學理論和“刺激反應”的學習理論基礎上的，其特征是以教師為中心，教師利用講解、板書和各種媒體作為教學的方法、手段，向?qū)W生單向傳授知識；學生則被動地接受教師傳授的知識。本節(jié)課則是基于“構(gòu)建主義”的學習理論，在網(wǎng)絡環(huán)境下的數(shù)學課堂教學， 學生是信息加工的主體， 是知識意義的主動建構(gòu)者， 實現(xiàn)了真正意義上的個性化學習。學生之間

19、是協(xié)作者，通過交流相互學習，共同進步。學生還可以根據(jù)自己的實際水平自主選擇選段進行學習（這一點本節(jié)課未能很好體現(xiàn)） 。2 .教師地位的轉(zhuǎn)變在網(wǎng)絡環(huán)境下的數(shù)學課堂教學， 教師是課堂教學的組織者、 指導者， 是學生主動建構(gòu)知識的幫助者、促進者。教師只是適時就學生學習的難點、易錯點進行必要的解釋，對學習有困難的學生進行個別輔導，利用廣播系統(tǒng)幫助同學進行思想、方法的交流。3 .媒體地位的轉(zhuǎn)變基于網(wǎng)絡環(huán)境下的數(shù)學課堂教學， 媒體將由原來作為輔助教師講解的演示工具， 轉(zhuǎn)變?yōu)榇龠M學生自主學習的認知工具， 既作為學生感知的工具 又作為學生認知的途徑。 傳統(tǒng)意義下的媒體大多是作為電子黑板， 起到加大課堂容量的作用， 而本節(jié)課媒體則是學生學生學習研究的平臺，在這一平臺上，人機交流，師生交流和生生交流得以順利展開。