全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題數(shù)列集錦

1、2005年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題數(shù)列集錦選擇題XiX21.（廣東卷）已知數(shù)列“潴足 2 ,1一xn i2Xn 2 n ,n3,4,.若lim xn n3(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52.(福建卷)A. 153.已知等差數(shù)列an中,B. 30a7C.a9311601，則a12的值是D.643.（湖南卷）已知數(shù)列an滿足0, an 1an3an3(n 1(B )4.A. 0（湖南卷）B.品已知數(shù)列l(wèi)og2（an1）C.D.(nCN）為等差數(shù)列，且a1 = 3, a2 = 5,lim 1n (a2a11a3 a21an 1 an(C)A. 2B.C.D.5.(湖南卷)設(shè) f0(x) = s

2、inx, f1(x) = f0(x) , f2(x) = f1'(x),，fn+1(x) = fn (x), n N,則 f2005(x)= (C)6.A. sinxB. 一 sinx C. cosx（江蘇卷）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中,D. 一 cosx首項(xiàng)a1=3 ,前三項(xiàng)和為21,則a3+a4+ a5=(C )(A ) 33(B ) 727 .（全國(guó)卷II）如果數(shù)列an是（C ）等差數(shù)列，則(A)a1 a8 a4 a5(B)a1a8a4a584(B )(C)(D )189a1a8 a4a58 .（全國(guó)卷II） 11如果a1,a2,L，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差(D)

3、da1%a4 a5(A) a1 a8 a4a5(B)a1a8a4a5(C) a1 a8 a4 a5 (D)0 ,則(B)a1% a4 a59.（山東卷）an是首項(xiàng)a1=1,公差為d =3的等差數(shù)列，如果an =2005,則序號(hào)n等于（C ）（A） 667（B） 668（C） 669（D） 67010 .(上海)16.用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)ai,a2-an可得n!個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫成1 2 3一個(gè)n!行的數(shù)陣.對(duì)第i行ai,a2-an,記bi=- ai+2a2-3 a3+(-1)nnan,1 3 2i=1,2,3, 一,n!.用1,2,3可你數(shù)P$如右，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都2 1

4、3是 12,所以,b+b2+b6=-12+2 12-3 12=-24.那么，在用 1,2,3,4,5 形成 2 3 1的數(shù)陣中，b1+b2+b120等于3 123 21答(C)(A)-3600(B) 1800(C)-1080(D)-7201 2 3 L nlim 211 .(浙江卷)nn =( C )1(A) 2(B) 4(C) 2(D)012 .(重慶卷)有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)。已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2,且改塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39,則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是(C)(A) 4;(B

5、) 5;(C) 6;(D) 7。13 .(江西卷)填空題1.(廣東卷)f(n)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n 3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三角形不過同一點(diǎn).若用表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f (4)f (n)=如果在一種算法中，計(jì)算x0 （k=2,3,4,，n）的值需要k1次乘法，計(jì)算P3（Xo）1的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算Pn（X0）的值共需要_2n（n + 3） 次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0（x） a0,Pk1（X） xPk（X） aki（k = 0, 1,2, n-1）,利用該算法，計(jì)算P3（Xo）的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算E（X0）的值共需要2

6、n次運(yùn)算.3 .（湖北卷）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1,S-n, Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為-2.8274 .（全國(guó)卷II）在3和2之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為 2165.（山東卷）limn2 orn 2C n 2Cn(n 1)26.（上海）12、用n個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1,a2, ,an可得到n!個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫成一個(gè) n!行的數(shù)陣。對(duì)第iftai1,ai2, ,ain,記biai1 2ai2 3ai3（ 1）nnaini 1,2,3, ,n!o例如：用1, 2, 3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12,所以，b

7、1c2 公c32cnn1_(71)8.(天津卷)設(shè) n N，則CnCn6Cn6Cn669.（天津卷）在數(shù)列an中，a1=1, a2=2，且an2 an貝(J S100 =_2600. b2b612 2 12 3 1224 ，那么，在用1, 2, 3, 4, 5形成的數(shù)陣中,b1b2bl20 =-10807、計(jì)算:limn3n 1 2nn n 132=31 ( 1)n (n N3n 2n 1.23- lim 3n c2n10.(重慶卷)n23=3.解答題1.(北京卷)a n為偶數(shù)2 nan 11 an - n為奇數(shù)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a#4，且4,、bn a2n 1-記4 , n = = l,

8、 2, 3,(I )求 a2 , a3 ；(II)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；lim(bi b2 b3 Lbn)(III )求 n.11111解：(I ) a2= a1+ 4 =a+ 4 , a3= 2 a2= 2 a+ 8 ；11311g(II )a4=a3+ 4 = 2 a+ 8 ,所以 a5= 2 a4= 4 a+ 16 ,11111111所以 b1 = a1 4 =a 4 , b2=a3 4 = 2 (a 4 ), b3=a5 4 = 4 (a 4 ),1猜想：bn是公比為2的等比數(shù)列證明如下：111 111因?yàn)?bn+1 = a2n+1 4 = 2 a2n 4 = 2

9、 (a2n 1 - 4 )= 2 bn, (n N*)11所以bn是首項(xiàng)為a- 4 ,公比為2的等比數(shù)列 1、b1(1 2n) b1lim(h b2 L bn) lim21- 2(a -)nn 11114(III)22.1an 1sn,、2.(北京卷)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且ai=1,3 , n=1, 2, 3,，求(I) a2, a3, a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(II) a2a4a6La2n的值.1an 1Sn斛：(I)由 a1=1,3 , n=1, 2, 3,行a23s111 c1 ,、411、16a1-a3 S2_(a1a2)-a4- S3 (a1a2a3)333393327a

10、n 1an由1 _-、(SnSn 1)314二 anan 1 二 an3(n>2),得 3(n>2),1又a2=3 ,所以1(3nan= 3 32(n>2),數(shù)列an的通項(xiàng)公式為1an 1,4、n 一(一)3 3公比為(3)2項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)歹一13a2a4a6L a2n _1 (3)2n77331(4 2n 漢)13.(福建卷)已知an是公比為q的等比數(shù)列，且a1,a3,a2成等差數(shù)列.(I )求q的值；當(dāng)n總時(shí)，比較(n)設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn, Sn與bn的大小，并說明理由.q 1 0.2o解：(I)由題設(shè) 2a3 a1 a2,即2a1

11、qa1 a1q,a1 0, 2qq 1,則 Sn 2n(n)若n(n 1)22 cn 3n2r n2 日tSnbnSn1當(dāng)(n 1)(n22)“故Snbn.1 wn(n 1)1則Sn2n =一)-(-)222n1 2 * 9n4n 2 日t,Sn bn Sm(n 1)(n 10)4故對(duì)于n N ,當(dāng)2 n 9時(shí),Sn bn;當(dāng)n 10時(shí),&bn；當(dāng) n 11 時(shí),Sn bn.14.(福建卷)已知數(shù)列an滿足a1=a, an+1=1+ an我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng) a=1時(shí),得到無窮數(shù)列:3 51,2,2,3,1 . 1;當(dāng)2時(shí),得到有窮數(shù)列：，1,0.(I )求當(dāng)

12、a為何值時(shí)a4=0；(H )設(shè)數(shù)列bn滿足 b1=1, bn+1 =N ),求證a取數(shù)列bn中的任一個(gè)數(shù),都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 an；(m)若 2an2(n 4),求a的取值沱圍.(I)解法一:a,an 11 anan故a取數(shù)列b n中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列5.(湖北卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=2nbn “q2 f,即bn的通項(xiàng)公式為, bn為等比數(shù)列，且a1bi, b2 (a2 a1)b1.求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;解:cn設(shè)anbn ,求數(shù)列J cn的前n項(xiàng)和Tn.(1):當(dāng) n 1 時(shí),a1 S12；故an的通項(xiàng)公式為an 4n2,即an是 a12,公差d 4的等差數(shù)

13、列q,貝小qd設(shè) bn的通項(xiàng)公式為b1,d4,bn24n1 .Cnan(II)兩式相減得4n 22廠(2n1)46.(湖北卷)已知不等式21 log 2 n,其中 n口 i2為大于2的整數(shù)，log2n表示不超過10g2 n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)為正，且滿足a1b(b0),annnan 1,n 2,3,4, an 1an(I )證明2b ,n 3,4,5, 2 blog 2 n(n)猜測(cè)數(shù)列an是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)(in)試確定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)n N時(shí),對(duì)任意b>0,都有n解：(I )證法1: 丁當(dāng)2時(shí),0annan 1n an 1n an 1nan 1即

14、anan 1于是有a2a1a3a2所有不等式兩邊相加可得ana1由已知不等式知，當(dāng)nM時(shí)有,1an1a1；1og2 n.a1 b, a n11b 2lOg2n2 b1og 2 n2ban2b2 b1og 2 nf (n) 證法2:設(shè),首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式a33a23 a23b32a1 11 f(3)b(i)當(dāng)n=3時(shí)，由a22a1(kk 1切 1 f(k)b 1ban由(i) 、 (ii)知,；, n1 f(n)b3,4,5,又由已知不等式得lim(H)有極限，且n2b(田) . 2 blog 2 n則有 log 2 n log 2 nananb"r'y1 -log 2

15、 nb22b,n2 blog 2 n3,4,5,0.log 2 n10, n令一2一log 2 n2101024,知不等式成立.bak ,(ii)假設(shè)當(dāng)n=k (kM)時(shí)，不等式成立，即 1 f(k)b- (k 1)akk 1ak 1k1 (k 1) ak(k J) 1ak即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.12n1 an 二.故取N=1024,可使當(dāng)n>N時(shí)，都有 5*.一7.(湖南卷)已知數(shù)列l(wèi)og2(an 1)n N )為等差數(shù)列，且a13,a3 9(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；111, 1.(II )證明 a2 a1 a3 a2an 1 an(I)解：設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an 1)的

16、公差為d.由 a13, a39得2(log2 2 d) log 2 2 log 28, gpd=1所以 10g 2 (an 1)1(n 1) n,即 an2n1.1(II)證明因?yàn)閍n 1 an11an 12n 2n11所以 a2a1a3 a21an 1 an1218.(湖南卷)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏 觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響.、 一一 一 一、 * 一 . . . .一- 用Xn表小某魚群在用n年年初的總重，nCN ,且xi>0.不考慮其匕因素，設(shè)在用n 年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與Xn2成正比，這些比例系數(shù)

17、依 次為正常數(shù)a, b, c.(I )求Xn+1與Xn的關(guān)系式；(II)猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)Xi, a, b, c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)(H)設(shè)a=2, b=1,為保證對(duì)任意Xie (0,2),都有Xn>0, nCN ,則捕撈強(qiáng)度b的 最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.解(I)從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為aXn,被捕撈量為bXn,死亡量為 (II)若每年年初魚群總量保持不變，則Xn恒等于Xi, n N*,從而由(*)式得 因?yàn)閄i>0,所以a>b.a b Xi猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b,且 c時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.(m)若b的

18、值使得Xn>0, n N*由 Xn+i=Xn(3bXn), n N*,知0VXn<3b, n N*,特別地，有 0<Xi<3-b.即0<b<3 Xi.而XiC(0, 2),所以 b (0,i由此猜測(cè)b的最大允許值是i.下證當(dāng)XiC(0, 2) , b=i 時(shí),都有 XnC(0, 2), nCN*當(dāng)n=i時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即XkC (0, 2),則當(dāng) n=k+i 時(shí)，Xk+i=Xk(2-Xk)>0.又因?yàn)?Xk+i =Xk(2 - Xk)= (Xk i)2+i 司 <2,所以Xk+i C (0, 2),故當(dāng)n=k+i時(shí)結(jié)論也

19、成立.由、可知，對(duì)于任意的nCN*,都有XnC(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意Xi (0, 2),都有Xn>0, nC N*,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是i.9.(江蘇卷)設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn,已知ai=i, a2=6, a3=ii，且(5n 8)Sni (5n 2)Sn An B, n i,2,3,，其中 A,B 為常數(shù)(I )求人與8的值；(n )證明數(shù)列 an為等差數(shù)列；(田)證明不等式信m7 府I i對(duì)任何正整數(shù)m>畸B成立 解：(I)由ai1，a26, a3 川，得S1i ,S22 ,S3i8 .28,把n 1，2分另1J代入(5n 8)01 解得，A 20, B 8

20、.(H)由(I )知,5n& 15nan 1 8Sn 1 2Sn20n(5n 2)SnAnA BB7 曰 2AB 48B ,行又 5(n 1)an 2 8s 2-得，即(5n 3)an5(n 1)an 2又(5n 2以3Sn) 8Sn8,2Sn15nan(5n 2) a。(5n 7)an20(n1 8an202G1) 82an20n 82)20,-得，(5n 2)(an 322%202 an 1 )°,an 3 2an 2an 1O.an 1a3a25,又 a2ai5,因此，數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列.(田)由(11)知，為5n 4，(n N) .考慮5amn 5

21、(5mn 4) 25mn 20amanan,2 aman 1，am， Am1)2 鹿 15(m n) 29 15an 12 2925mn 15( m n) 9即 5amn (. dm%因止匕.5amn. aman1)2,110.(遼寧卷)已知函數(shù)f(x)x-(x1).x 1設(shè)數(shù)列an滿足 a1 1，an1"an),數(shù)列bn滿足 bn |an <3|,Snb1b2bn(n*N ).(I )用數(shù)學(xué)歸納法證明bn2nSn(H)證明解：(I )證明:x 0!f(x)1.因?yàn)閍1=1,所以an 1(nN*). bn卜面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(3 1)n2n 1(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=&q

22、uot;3 1 ,不等式成立,，I -r bk（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即(3 1)k2k 1那么屋 3 1)|ak. 3 |1ak所以，當(dāng)口二卜+1時(shí)，不等也成立。根據(jù)（1）和（2）,可知不等式對(duì)任意n C N*都成立。（H）證明：由（I）知,bn1)n2n 1所以Snb1b2bn(31)(.3 1)2- n(.3 1)2n 1(.3 1)n1)10分n故對(duì)任意N,Sn 3 后(12 分)11.（全國(guó)卷I）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的首項(xiàng)a112 ,前n項(xiàng)和為Sn210S30(2101)S20S100o（I）求an的通項(xiàng);(H )求 nSn的前n項(xiàng)和Tn o解：(I)一 o10即2 (a21

23、由a2221*30(2101)S20S10a30)a11a120得/Aa20 ,S20 )S20S10 ,210可得210 /q (ana12a20 )a11a12a20 .因?yàn)閍n°,所以210q101,.q解得因而n 1aq1, -n,n 1,2,2n（R）因?yàn)閍n是首項(xiàng)a1q 公比的等比數(shù)列,則數(shù)列nSn 的前n項(xiàng)和TnTn(1n)前兩式相減，得 22(1n)（21 (212222故n了),12nn(n 1)4112(1 ”)1 12Tnn(n 1)22 2n12.(全國(guó)卷I )設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,前n項(xiàng)和Sn0 (n 1,2,)。(I)求q的取值范圍；3bn an 2

24、-an 1(R )設(shè)2，記 bn解：(I)因?yàn)閍n是等比數(shù)列,當(dāng) q 1 時(shí),Sn na10;的前n項(xiàng)和為Tn,試比較Sn 0,可得 a1S10,qSn與Tn的大小。0.q 0,qn0，(n 1,2,解式得q>1;解,0, .(n 1,2,)00)由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得一1<q<1.綜上，q的取值范圍是(1,0)(0，).(n)由bn于是又; STnSn3 aa 2an2Q / 23Sn(q-q21彳曰bn1)n>0 且一1<q<0 或 q>0/ 2 O 、/ 2an(q-q),Tn (q3、c 2q)Sn.1(q 2)(q 2).1當(dāng)1當(dāng) 21

25、2或q 2時(shí)Tn2T且q為時(shí)，1n12或q=2時(shí)，Tn SnSnSn0 即 TnSn。即 TnSn0 即 TnSn13.(全國(guó)卷II)已知an是各項(xiàng)為不同的正數(shù)的等差數(shù)列,1 bn成等差數(shù)列.又 a2n ,1,2,3,L .(I)證明b1為等比數(shù)列；1g a1、 1g a2、 1g a4(H)如果數(shù)列*前3項(xiàng)的和等于24 ,求數(shù)列 的首項(xiàng)a和公差d .(I)證明：: 1ga1、1ga2、1ga4成等差數(shù)列2 2lga2 = lg a1 + lg a4 即 a2a1a4又設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,則(a1 d )2 = a1 3d)an(a1這樣 da1d ,從而 d (d a1)=0- d

26、為d =a1 為111a2nai (2n 1)d 2ndbn?,2a2nd 2n11 bn是首項(xiàng)為b1=2d,公比為2的等比數(shù)列。,1,11、7b1b2 b3(1) 一(II)解。:2d 2 424 d =3a1 = d =314.(全國(guó)卷II)已知an是各項(xiàng)為不同的正數(shù)的等差數(shù)列，1g a1、1g a2、1g a4成等差數(shù)列.又1bna2nn 1,2,3,L(I)證明bn為等比數(shù)列;S 1(H)如果無窮等比數(shù)列bn各項(xiàng)的和3,求數(shù)列an的首項(xiàng)a于是數(shù)列 bn是公比為1或2的等比數(shù)列(n)如果無窮等比數(shù)列 bn的公比q=1,則當(dāng)n-oo時(shí)其前n 項(xiàng)和的極限不存在。和公差d.(注：無窮數(shù)列各項(xiàng)的

27、和即當(dāng)n時(shí)數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)解：(I)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意，由21g a21g a11g a4a1a4即 d)2 a1(a 3d),得 d ?；?da1bn 1因bna2na2n 1當(dāng)d=0時(shí)，an為正的常數(shù)列就有bn 1bna2na2n 1bn 1當(dāng)=4 時(shí) a2na1 (2n 1)a1,a2n1a1(2n1)a1,就有 bna2na2n 1因而d = a1為，這時(shí)公比q = 2,1bi12dSn2d1 n 1 (-)n這樣bn的前n項(xiàng)和為i (1)nlim Snlim -2d2nni i則$=2首項(xiàng)a1 = d =30,a2是a與a4的等差中項(xiàng).S -由 3,得公差d =3,15

28、.（全國(guó)卷III）在等差數(shù)列m中，公差d 已知數(shù)列ai，a3，aki，ak2， ，a" 成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項(xiàng)合2解：由題意得：a2aia4/,、2/八，、即(ai d) ai(ai 3d)又 d 0,a-d又劣自漢,akn,成等比數(shù)列，q該數(shù)列的公比為a3 3d a- 3aido" i所以aknai 3i0分又 akn ai (kn i)d knain in ii2分kn 3所以數(shù)列kn的通項(xiàng)為kn 3 i6.（山東卷）*、已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai 5,前n項(xiàng)和為Sn,且&Sn n 5（n N ）(I)證明數(shù)列an 1是等比數(shù)列；(|)令f(X)aix a2x

29、2 L anXn,求函數(shù)f(X)在點(diǎn)x i處的導(dǎo)數(shù)f (i)并比較2f2與23n 13n的大小.*、解：由已知Sn1 Sn n 5(n N)可得n 2，Sn 2Sn 1 n 4兩式相減得Sni Sn2slSni 1即 an i 2an1 從而 ani1 2 an1 當(dāng)n 1 時(shí) S22sli 5所以 a2a12a1 6 又 a1 5 所以 a211 從而 a21 2 a11an 112故總有an 1 1 2( an1) , n N又為5,a1 1 0從而an 1 即數(shù)列an 1是等比數(shù)列；., n n On因?yàn)?f(x) ax a2X2(II )由(I )知 an3 21anxn所以 f (x

30、) a1 2a2X Lnanxn1從而 f(1) a1 2a2 Lnan _ 3 2 12 3 22 1L n(3 2n 1)=3 2 2 22 L n 2n2n 1n(n 1)由上2f23n2 13n12 n 1 2n 12 2n212 n1)1 2n 12 n 1 (2n 1)_dQ(n 1) 2n (2n =1221時(shí)，式=0所以2f23n 13n;2當(dāng)n 2時(shí)，式=-12 0所以2f23n13nnn 01n 1 n當(dāng) n 3時(shí)，n1 0 又21 1 Cn Cn LCnCn2n 2 2n 1所以 n 1 2n2n 10即0從而 2 f (1)23n213n17 .(上海)本題共有2個(gè)小題

31、，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.假設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房.預(yù)計(jì)在今后 的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng) 8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià) 房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于475 0萬平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?解(1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an,由題意可知an是等差數(shù)列，n 50其中 a1=250,d=50，則Sn=250n+2=25n2+225n,令25n2+225n>

32、;4750，即n2+9n-190>0,而 n 是正整數(shù)，川。.到2013年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn,由題意可知bn是等比數(shù)列，其中 b1=400,q=1.08，則 bn=400 (1.08)n-1 0.85.由題意可知 an>0.85 bn,有250+(n-1) 50>400 (1.08)n-1 0.85.由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6.到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.18 .(天津卷)n n 1 n 2 2n 1 n已知 un a a b a

33、 b ab b (n N ,a 0,b 0)若b19.b時(shí)，求數(shù)列Un的前n項(xiàng)和Sn；lim . n (n)求(18)解:U nUn 1Sn 2a 3a2 4a3式兩邊同乘以a, 式減去式，得(1 a)S此時(shí),a(1 an)(nSn由（I）b時(shí),n 1 naaSnUn (n 1)a(n 1)a2a23a3.這時(shí)數(shù)列4的前n項(xiàng)和(11)aa)Sn2a a24a43 anna(n 1)n(n23)(nn 1(n 1)an 11)ab時(shí)，Unun 1b 0,a 0,（天津卷）=3, 4,)nUn ab時(shí),an 1b(n1)anlim，則nabnn a 1limn(n na1)ana(n 1)lim

34、- an nlimn(b)2a(-)nan 1 anabn 1 bnlimnbnbnlimnb n b(-)a(b)nalim-un-n Un 1若公比為（I）求c的值。（II）求數(shù)列nana、n a(-) lim -bc的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn。的首項(xiàng)a1 = 1且滿足:an 1an 2an-：-2 n20.（浙江卷）已知實(shí)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，a+1, 了+1, c+4成等比數(shù)列，求a, b, ca b c 15 (1) a c 2b(2)2解：由題意，得(a 1)(c 4) (b 1)由(2)兩式，解得b 52將c 10 a代入(3),整理得a13a 22 0解得a 2或a 1

35、1故 a 2, b 5,c 8或 a 11,b 5,c1經(jīng)驗(yàn)算，上述兩組數(shù)符合題意。 Ax,D /v 0n 1 21 (浙江卷)設(shè)點(diǎn) An(xn, 0), Pn(xn,2 )和拋物線 Cn: y= x2 + an1x+ bn(nCN*),其中an= 24n2n 1 , Xn由以下方法得到：X1 = 1,點(diǎn)P2(X2,2)在拋物線C1:丫 = 乂2+乂+如上，點(diǎn)人1僅1,0)到P2的距離是A1到C1上點(diǎn)的最短距離，點(diǎn)Pn 1(Xn 1,2 )在拋物線Cn： V= X2+anX+bn上，點(diǎn)A(Xn, 0)到R 1的距離是A到Cn上點(diǎn)的最短距離.(I )求改及C1的方程.(11)證明%是等差數(shù)列.

36、2解：(I)由題意，得 A(1,0),C1:y x 7x bio設(shè)點(diǎn) P(x，y)是C1 上任意一點(diǎn)，則 1Api 7(x 1)2 y2 V(x 1)2 (x2 7x b1)2令 f (x) (x 1)2 (X2 7x 6)2,則 f'(x) 2(x 1) 2(x2 7x 6)(2x 7). '2由題意，得 f (x2) 0,即2(x2 1) 2(x2 7x2 b1)(2x2 7) 0.又3*2,2)在6上，解得 X23,b114.故C1方程為y X2 7X 14.(II)設(shè)點(diǎn)P(X，y)是Cn上任意一點(diǎn),則|AP| . (X Xn)2 (X2 anX 0)22/ 2令 g(x

37、) (X Xn)(X2 anX bn)'2,則 g (X) 2(X Xn) 2( XanXbn)(2X an)由題意得g'(Xn1) 0又Q 2nXn 12an Xn 1即 2(Xn 1 bn,Xn)2(Xn21an xn 1bn )(2 Xn 1an)0(Xn 1Xn ) 2 (2 Xn 1an)0(n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明Xn 2n 當(dāng)n=1時(shí)，X1 1,等式成立。1).即(11n 1n2 )xn 1 xn 2 an2kako假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即xk 2k 1，則當(dāng) n k 1 時(shí)，由（*）知 （1 2 ）xk 1 xk1又ak 2 4k 2右即當(dāng)n k 1時(shí)，等式成

38、立。由知，等式對(duì)n N成立。xn是等差數(shù)列。bn22.（重慶卷）數(shù)列an滿足a1 1且8an 116an1 2an 5 0 (n 1)1口2 (n 1)。（1）求 b1、b2、b3、b4 的值;（2）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sno 解法一：2; a2（久(I)L (bl(II)因4 一、一， 24故猜想-是首項(xiàng)為-,公比q 2的等比數(shù)列.33因an2,（否則將an2代入遞推公式會(huì)導(dǎo)致矛盾）5 2a (n 1).16 8a nbn 111 an 116 8an 420 16an6an 3 36an|bn故4 |確是公比為q2的等比數(shù)列.4 2 .4 1c因 b1 ,故bn 2

39、3 33 3解法二：bn得 anan(I)由 n 2bn1bn12n與 33由bn1)an12bn1,L代入遞推關(guān)系28an 1an 16an 12an 50,4整理得bn 1bn-6- -3 0,即 bn1 bn 1 bn42bn 3,(n)由44bn 1 2bn, bn 133442(bn ), 5330,lbn所以4 一、，一，3是首項(xiàng)為2 , 2,公比q32的等比數(shù)列bn 故1 c3 2n，即 bnbnan故Sna1bla2b2 Lanbnbn)1(1 2n) 31 2解法三：(I )同解法b2biib3，4，b2-,b4 b33從而bn(bnbn 1)(bn 1 bn 2)bi)bi

40、故Snaibia2b2(b1Lan bn2b2bn)a123.(重慶卷)數(shù)列an滿足1 且 an 1(112 n一)an n127(n1)(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n)已知不等式ln(1 x) x對(duì) x2(n2)；0成立，證明：ane2 (n1),其中無理數(shù)e=2.71828；(I )證明：(1)當(dāng)n=2時(shí),a22 2(2)假設(shè)當(dāng)n k(k 2)時(shí)不等式成立，即ak 2(k 2),，1、1cak 1(1) ak k 2那么k(k 1)2.這就是說，當(dāng)n k 1時(shí)不等式成立.根據(jù)(1)、(2)可知：ak 2對(duì)所有n 2成立.(n)證法一：11由遞推公式及（I）的結(jié)論有1(1-)an 力n n 211(17n寸an.(n 1)兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得l