第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

1、第二章第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析教學(xué)目的：教學(xué)目的：1. 掌握掌握時域法時域法求解系統(tǒng)全響應(yīng)的求解系統(tǒng)全響應(yīng)的兩種兩種方法。方法。2. 深刻理解深刻理解0到到0時刻系統(tǒng)狀態(tài)的含義。時刻系統(tǒng)狀態(tài)的含義。3. 掌握掌握沖激函數(shù)匹配沖激函數(shù)匹配法。法。4. 掌握單位沖激響應(yīng)掌握單位沖激響應(yīng)h(t)的求法。的求法。5. 掌握掌握卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)及及卷積分析法卷積分析法。教學(xué)難點：教學(xué)難點：6. 0到到0時刻系統(tǒng)狀態(tài)的變化。時刻系統(tǒng)狀態(tài)的變化。7. 沖激函數(shù)匹配法。沖激函數(shù)匹配法。:,列寫方程 根據(jù)元件約束 網(wǎng)絡(luò)拓撲約束時域經(jīng)典法零輸入響應(yīng)雙零法解方程零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分法變

2、換域法系統(tǒng)分析過程（求響應(yīng)）系統(tǒng)分析過程（求響應(yīng)）2.1 2.1 引言引言時域時域分析方法分析方法不涉及任何變換，在時域直接求解系統(tǒng)不涉及任何變換，在時域直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。礎(chǔ)。 時域分析方法時域分析方法: :本課程系統(tǒng)分析：先時域分析， 后變換域（頻域）分析根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓撲對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓撲約束列寫系

3、統(tǒng)的微分方程。約束列寫系統(tǒng)的微分方程。 元件特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓撲約束：網(wǎng)絡(luò)拓撲約束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系, KCL，KVL。一、微分方程的列寫一、微分方程的列寫電阻電阻 tvRtiR1 電感電感 d1 tLvLti電容電容 ttvCtiCdd 根據(jù)根據(jù)KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安

4、關(guān)系，并化簡有代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 這是一個代表這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 tisRRiLLiCciab tv求并聯(lián)電路的端電壓求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵與激勵 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 tv tis例2-2-1這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。這是一個代表機械位移系統(tǒng)的二階微分方程。 兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方

5、程表示?？梢杂酶唠A微分方程表示。 msFf機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為機械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧的剛體一端由彈簧 tv牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為擦力為 ，外加牽引力為，外加牽引力為 ，其外加牽引力，其外加牽引力 與與剛體運動速度剛體運動速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 k例2-2-2線性時不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的參數(shù)不線性時不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間變化（集總參數(shù)系統(tǒng)），則該隨時間變化（集總參數(shù)系統(tǒng)），則該系統(tǒng)可以用系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方

6、程線性常系數(shù)微分方程來描來描述。述。)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。階次階次：r(t)r(t)的最高階次減去其最低階次。二、二、n n 階線性時不變系統(tǒng)的模型階線性時不變系統(tǒng)的模型激勵：激勵：e(t)e(t)響應(yīng)：響應(yīng)：r(t)r(t)系統(tǒng)系統(tǒng)時域經(jīng)典法：時域經(jīng)典法：三、系統(tǒng)微分方程求解三、系統(tǒng)微分方程求解微分方程的解：微分方程的解：完全解齊次解完全解齊次解 + + 特解

7、特解)()()(trtrtrph(1)(1)齊次解齊次解滿足方程：滿足方程：0)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrChnhnnhnnhn特征方程：特征方程：01110nnnnCCCC特征根為：特征根為：n,21由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式)sincos(t)rj)()(k)(r21h122111212121tctceeAeAeAtAtAtreAeAeAeAtttntktkkkhnititntthnin時：有復(fù)數(shù)根（成對出現(xiàn)）次重根時：有無重根時：討論：其中有n個待定系數(shù)：Ai系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為01216723

8、0322 3 , 221 重重根根特征根特征根 23123ee0tthr tAtAAt對應(yīng)的齊次解為對應(yīng)的齊次解為 的的齊齊次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233例2-3(2)(2)特解特解u將將e(t)e(t)代入方程的右端，整理得到代入方程的右端，整理得到自由項自由項; ;u根據(jù)根據(jù)自由項自由項函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)特解；函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)特解；u將特解函數(shù)式將特解函數(shù)式代入原方程代入原方程；u比較系數(shù)得出待定系數(shù)，從而得到特解。比較系數(shù)得出待定系數(shù)，從而得到特解。滿足方程：滿足方程：)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(d

9、d)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmpnpnnpnnpn如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 給定微分方程式給定微分方程式 3221pBtBtBtr 為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端將將平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式代入方程左端得：將此式代入方程左端得： 為待定系數(shù)。這里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 343232

10、12121 例2-4等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有 032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解為所以，特解為 271092312p tttr ttBBBtBBtB2322 34323212121 激勵函數(shù)激勵函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解的特解)(常常數(shù)數(shù)E)(常常數(shù)數(shù)Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sincos21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sine

11、cose11211121 幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解這里，這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：是待定系數(shù)。代入方程后有： ?？煽蛇x選很很明明顯顯時時當(dāng)當(dāng)ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 Bte31 于是，特解為(2) tettetrttrttr dd3dd2dd22 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齊齊次次解解trtrph trAtrtrtrnitphip1ie)()(微分方程的解：微分方程的解： 完全解齊次解完全解齊次解+ +特解特解解的區(qū)間：解的區(qū)間：0 0+ +tt0 f2(t- ) 右移右移

12、t 0 f2(t- ) 左左移移 從左向右移動從左向右移動對應(yīng)對應(yīng)到到從從 tft2, 3 tt tf2浮動坐標浮動坐標O 1f111 3 tt tf2兩波形沒有公共處，二者乘積為兩波形沒有公共處，二者乘積為0 0，即積分為，即積分為0 0 021 tff 021 tftftg1 tt -1（1）O 1f111 3 tt tf2 向右移向右移 tf2 時兩波形有公共部分，積分開始不為時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限積分下限- -1，上限，上限t ，t 為移動時間為移動時間;1 t d)()()(211 tfftgt d211 tt1422 t 41242 tt-1-1 t t 1

13、1（2）2( )2tf t O 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 1 t t 2 21112111( )( )()d2g tff tdtt1 t 2（3）O 1f111 3 tt tf2即即2 2 t t 4 4 1313tt11123321( )( )()()d2242ttg tff tdttt 2 t 4（4）O 1f111 3 tt tf2即即t t 4 4t t-3-3 1 1 0 tgt 4（5） ttttttttttg其他其他04222421114124)(22Ot tf1111 Ot tf2323)(tgtO2421 1卷積結(jié)果卷積結(jié)果(1) (1) t t ：觀察

14、響應(yīng)的時刻，是積分的參變量；：觀察響應(yīng)的時刻，是積分的參變量； : : 信號作用的時刻，積分變量信號作用的時刻，積分變量 d thetr四對卷積積分的幾點認識四對卷積積分的幾點認識(2) 卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應(yīng)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應(yīng)h h( (t t) )建立了響應(yīng)建立了響應(yīng)r r( (t t) )與激勵與激勵e e( (t t) )之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 對于系統(tǒng)：對于系統(tǒng)： d)()()(thftg一般數(shù)學(xué)表示：一般數(shù)學(xué)表示： d)()()(21tfftg(3)卷積是數(shù)學(xué)方法，也可運用于其他學(xué)科卷積是數(shù)學(xué)方法，也可運用于其他學(xué)科 。tA)(thO A)

15、( thO t ttAC desine0202000)cossin(ee ttACtt()0( )( ) ()dsine()dtr tehtCAut ttAC )sin(0202 0 202 )( eO ttCtetuAtht0sin)()(e)( 例2-6-2時域經(jīng)典法：時域經(jīng)典法：完全解完全解= =齊次解齊次解 + 特解特解完全響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)完全響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng) thte 雙零法：雙零法：完全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)小結(jié)小結(jié)求解全響應(yīng)的方法：求解全響應(yīng)的方法：卷積分析法：卷積分析法：代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)微分積分性質(zhì)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積與沖

16、激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積1交換律2分配律3結(jié)合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 一代數(shù)性質(zhì) ththth21 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示： )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf )()()()()()(21thtfthtfthtf 結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，

17、總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián))()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf )()(21ththth 系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示： )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th結(jié)論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖結(jié)論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。 系統(tǒng)級聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián))()()()()(thtfthtftg ( )( )()( )( )( )ijijgtftht)()()()()(

18、thtftgnn )()()()()()()()(thtfthtftgnnn 微分性質(zhì)積分性質(zhì)推廣：微分性質(zhì)積分性質(zhì)推廣：)()()()()()1()1()1(thtfthtftg 二微分積分性質(zhì)二微分積分性質(zhì)d ( )d ()( )( )d( )ddg th tdh tff tttdtd)()()()()(thfthtftg兩端對兩端對t t 求導(dǎo)求導(dǎo) 即即)()()()()(thtfthtftg 已知已知微積分性質(zhì)的證明微積分性質(zhì)的證明推廣：推廣：)()()(2121tttfttttf )( )()(tfttf d)()()( tftutf )()()(tfttfkk )()()(00ttftttf