小升初奧數百雞問題解題指導及例題解析

1、小升初奧數百雞問題解題指導及例題解析張丘建算經中有這樣一題：公雞每只值 5文錢，母 雞每只值3文錢，小雞每3只值1文錢?，F在用100文錢買 100只雞，公雞、母雞、小雞各有多少只 ？這是中國古代算術中的一類典型問題百雞問題，現代數學用不定方程求解，在小學階段，不少同學都是用拼湊 的辦法來解決。這里介紹一種新方法，對小學生很適用。1、 求倍數。每只公雞值5文錢，每只母雞值 3文錢， 每只小雞值1/3文錢。以最便宜的小雞為標準，公雞和母雞 的價格分別是小雞的 5- 1/3=15倍和3- 1/3=9倍。2、算超額。假設100文錢全部買小雞，可買100 + 1/3=300只，超出實有三種雞總數300-

2、100=200只。3、組等式。由于公雞置換成小雞可多出自身只數的15-1=14倍，母雞置換成小雞可多出自身只數的9-仁8倍。不難理解，上述假設中多出的200只即為公雞和母雞置換成小雞后一共增加的只數，關系式為：公雞只數X14+母雞只數X 8=200.4、試結果。一般來說，不定方程的正整數解按關系式就可以觀察得到。我們也可以先把等式變形，觀察起來更為 容易。方法是，在等式兩邊同時除以一個相同的數（0除外），得到等式右邊為整數，左邊只有一項系數是分數的形式。在上式兩邊同時除以 8,得到：公雞只數X 7/4+母雞只 數=25.顯然，公雞只數必須是 4的倍數。這樣，從“ 4”起， 依次用4的倍數去試算

3、，可以得出三種情況：公雞 4只，母 雞18只，小雞78只;或公雞8只，母雞11只，小雞81只; 或公雞12只，母雞4只，小雞84只。下面再舉一例來驗證。大數學家歐拉曾提出過這樣的問題：一頭豬321(312)銀幣，一只山羊131(113)銀幣，一只綿羊 21(1/2)銀幣。有 人用100個銀幣，買了 100頭牲畜。問：豬、山羊、綿羊各 多少？豬的單價是綿羊的 312- 1/2=7倍，山羊的單價是綿羊 的113+ 1/2=223倍，豬和山羊分別置換成綿羊，可多出自 身只數的7-1=6倍和223-仁123倍。如果100個銀幣都買綿 羊，可買100 + 1/2=200只，超出實有牲畜頭數 200-10

4、0=100 頭，這100頭就是豬和山羊換成綿羊后多出的頭數，列式： 豬X 6+山羊X 123=100.顯然，山羊的只數應是“3”的倍數， 可以推算得到：豬15頭，山羊6只，綿羊79只;或豬10頭， 山羊24只，綿羊66只；或豬5頭，山羊42只，綿羊53只。上述解法，我們可以用代數知識來幫助分析。在第一題里，設公雞、母雞、小雞分別有X、丫、Z只，列出兩個方程(方程組)X+Y+Z=100 5X+3Y+13Z=100，將方程乘以 3,就是15X+9Y+Z=30Q 與方程相減（消去Z），得出14X+8丫=200,兩邊同時除以8, 就是74X+Y=25.顯然X只能是4的倍數，依次試算，就能得 到與前面相同的答案來。這樣一來，我們就會明白，所謂的“新法”，其實也并不新鮮，不過就是先用“消元法”把“三元”不定方程組演 變成一個“二元”不定方程，然后有意識地將這個方程的某 一個求知數的系數變成分數形式，便于觀察這個未知數