雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典練習(xí)題

1、圓錐曲線（三）-雙曲線知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi , F2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù) （小于F1F2I）的點(diǎn)的 軌跡稱為雙曲線.即：|MF1 | | MF211M2a,（2a 0）,則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn) F2的一支；若|陰卜忸用=2摩。），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn) Fi的一支；3 .若常數(shù)a滿足約束條件：閥卜網(wǎng)卜2 口闖，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以Fi、F2為 端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；若常數(shù)a滿足約束條件： 附卜網(wǎng)人網(wǎng)| ,則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5.若常數(shù)a =0,則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：/一二1

2、 SQ）0）,其中C2 二，+ V ;2 .當(dāng)焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：7一7=1卜0/0）,其中沙+用.注意：1.只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)， 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)， 才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3 .在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有 /=/+/；4 .雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上 .當(dāng)工的系數(shù)為 正時(shí)，焦點(diǎn)在1軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 &0）, （pO）； 當(dāng)y的系數(shù)為正時(shí)， 焦點(diǎn)在了軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為c）,（0，F(xiàn)）.知識(shí)點(diǎn)三：雙曲線性質(zhì)1、雙曲線/一環(huán)=1 （a0, b0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)X(1)對(duì)稱性：對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 /一方=(a0,

3、 b0),把x換成一x,或把y換成一y,或把x、y同時(shí)換成一x、一y,方程都不變，所以雙曲線-_ = 1 (a0, b0)是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為左稱中心 的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱不心稱為雙曲線的中心。(2)范圍：雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線 x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限 延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足 x&a或x刃。(3)頂點(diǎn)：雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。/ y2 1雙曲線/一萬(wàn)=1 (a0, b0)與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)， 坐標(biāo)分別為Ai (a, 0) , A2 (a, 0),頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近 的點(diǎn)。兩個(gè)頂點(diǎn)間

4、的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)Bi (0, -b) , B2 (0, b)為 y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為 |AiA2|=2a, |BiB2|=2bo a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。注 意：雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的 短軸混淆。雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。(4)離心率：2c c 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率， 用e表示，記作名二二;二二。因?yàn)閏a0,所以雙曲線的離心率? = ；10由c2=a2+b2,可得 Lv7 = A，所以:決定雙曲線的開口大

5、小，I越大, e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線&二b ,所以離心率e二也。(4)漸近線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、Ai作y軸的平行線x= a,經(jīng)過(guò)點(diǎn)Bi、B2作x軸的平行線y=坨，四條直線圍成一個(gè)矩形(如圖)，矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方+b程是丁二士二我們把直線叫做雙曲線的漸近線。胃a雙曲線的漸近線求法：(1)已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程工1/ 1/ /_口 =雪o +i為丁廣，則其漸近線方程為了下=寧一丁 注意：(1)已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的 常數(shù)換成o；然后 因式分解即得漸近線方程。(2)已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線

6、方程為移士郎=口 , 則可設(shè)雙曲線方程為 涼X-公尸工2 ,根據(jù)已知條件，求出4即可1 _y _1（3）與雙曲線/一點(diǎn)二1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為/7 =雙月=。）（A0 ,焦點(diǎn)在工軸上，A 0,b0) a b22y x .3-2 =1(a0,b0) a b范圍x a , ywRyEa或y之a(chǎn), x三R頂點(diǎn)A1( a,0 卜 A2(a,0 )A1(0,-a)、22 (0,a )軸長(zhǎng)虛軸的長(zhǎng)=2b實(shí)軸的長(zhǎng)=2a隹百 八、八、c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)焦距F1F2 =2c(c2 =a2+b2)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱離心率e=- = Ji +與

7、(e1) a Y a漸近線方程y=bx ay = a- x b知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線 二一與二1與4-3 = 1（。0）20）的區(qū)別和聯(lián)系 a b a b2、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線. 鞏固練習(xí)1、已知點(diǎn)P（x,y）的坐標(biāo)滿足，口-鏟+（丁-獷+o+3=4則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線中的一支C.兩條射線D.以上都不對(duì)222、求與雙曲線 晟A=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3也2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3 .已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)Fl、F2之間的距離為26,雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距 離之差的絕對(duì)值為24,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。總結(jié)升華：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求a2、b2的值，同時(shí)還要確定焦點(diǎn)

8、所在的坐 標(biāo)軸。雙曲線所在的坐標(biāo)軸，不像橢圓那樣看 x2、y2的分母的大小，而是看x2、 y2的系數(shù)的正負(fù)。4 .方程酬-5 |-2 表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【變式11 k9是方程9-此上-4 表示雙曲線的（）A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不必要條件2:x y 1【變式2】求雙曲線不一二的焦距?；?4 -制【變式3】已知雙曲線8kx2 ky2=2的一個(gè)焦點(diǎn)為（廠$ ,則k的值等于（）A. -2 B. 1 C. 1 D.2【變式4】(2011湖南)設(shè)雙曲線/一丁 二.”)的漸近線方程為2尸0 , 則a的值為A. 4 B. 3 C. 2 D. 15.已知雙

9、曲線方程，求漸近線方程。22222222x y . x y . x y _. x y .-1 -1 144 144(1) 9 16； (2) 9 16； (3) 9 16； (4) 9 16土 _2L = 16.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1）與雙曲線丁 正一有共同的漸近線，且 過(guò)點(diǎn)（-3,24j；（2）-漸近線方程為31+2尸0,且雙曲線過(guò)點(diǎn)財(cái)電6曲。總結(jié)升華：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求Q、6,在解題過(guò)程中應(yīng)熟悉各元素（Q、 8、C、0及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線 方程前士處=0,可設(shè)雙曲線方程為一金-少二2（JM）.2 券=一工【變式11中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦

10、點(diǎn)在（0,3）, 一條漸近線為3的雙曲線方程是（）5? 5/ ，5? 5y 113? 13/ 1139 13/ 、A、36 54B、3654c、 8136 d、8136y 【變式2】過(guò)點(diǎn)（2,-2）且與雙曲線2有公共漸進(jìn)線的雙曲線是（）2?2?2?2?尸 工 1丁 K 1-二-二 I-二 I-二A. 24 B. 42 C. 42 D. 24【答案】A二十2【變式3】以丁一一弓”為漸近線的雙曲線方程不可能是（）A. 4x29y2=1B. 9y2 4x2=1C. 4x29y2=入（入C R且人為0D . 9x2 4y2=入（入C R且人為0【變式4】雙曲線屋時(shí)與屋y有相同的（）A.實(shí)軸B .焦點(diǎn) C.漸近線 D.以上都不對(duì)T? T?y - F = l（dt i 0）7?7.已知是雙曲線，1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸1且垂直于1