中國著名大學自主招生試題集錦

1、中國著名大學自主招生試題集錦復旦大學2004年保送生測試數學試題(150分鐘)2003.12.21一、填空題(每題8分,共80分)842421(,那么( x, 1,(x , 2x, 1)(x , ax, 1)a,5x, 3, 5x,4,72(,那么的范圍是 ( x22xy3(橢圓,1 ,那么橢圓內接矩形的周長最大值是 ( 1694(12只手套(左右有區(qū)別)形成6雙不同的搭配,要從中取出4只正好能形成2 雙,有種取法(中,且第一項至第八項的幾何平均數為9,那么第三項為( 5(等比數列,aa,3n126(的所有整數解之和為27,那么實數的取值范圍是 ( x,(a , 1)x , a,0a2222(

2、x,4)yxy , 7(,1,那么的最大值為 ( 49493328(設是方程的兩解,貝U =( x,xsin, , cos,0x,xarctgx , arctgx1212553z,z9(的非零解是(1,xl, xy,210(的值域是(二、解做題(每題15分,共120分)10g(x,x,3),11(解方程:(5412,tg2,sin(,),2( sin(,),且 0,0,求(,1352223(過兩拋物線C:, C:的交點的各自的切線互1x,1,(y,1)2(1)41yxa,相垂直,求(af(x)f(x)f(x),Mt,D4(假設存在,使任意(為函數的定義域),都有,那么稱函數MD111有界(問函

3、數在上是否有界,f(x),sinx,(0,)xx21111, , , ? , ,35(求證:(33323n6(E為棱長為a的正方體ABCD-ABCD勺棱AB的中點,求點B到平面AEC 11111距離(7(比擬與的大小并說明理由(log2610g2525248(數列、滿足,且,又,ba,a,2bab,6a, 6ba,2b,4nn , 1nnnn,1nn11anlim 求；(2) ( a,bnnbn簡單解答：1(,0.6,0.8) 一、填空題:1.2. 3.20 4. ,23 二、解做題：5(證實1:11111,(,), 3(m,1)m(m, 1)(m,1)m(m , 1)mm 1,m, 1m11

4、1m 1 , m,1 =( ,),2m,1m, 1mm, 1, m,1m 1, m,1,m 而 22111, 3m,1m 1m111111211,?,原式1+= 2, ,312324n,1n , 1nn, 12n,n , n,n(n,1) , (n,1)(n,1)證實 2:11n,n,1, 2nn,1(nn,1)n,11n,n,111,2nnn(n,1)n,1n111111 原式1, 2(1, , , ,),3,3 223n,1nn同濟大學2004年自主招生優(yōu)秀考生文化測試數學試卷一、填空題(本大題共有8題,只要求直接填寫2果,每題答對得 5分,否那么一律得零分,本大題總分值40分)1(函數f

5、xxx()log(sincos), ,的單調遞增區(qū)間是( 12vvt,()的2(如下圖,為某質點在20秒內作直線運動時,速度函數v(cm/s)圖象,那么該質點運動的總路程s=(厘米)(20 3(設a與b是兩條非相互垂直的異面直線,與,分別是過直線a與b15 的平面,有以下 4 個結論:(1) b/, (2) b, (3) ,/, (4),10那么其中不可能出現的結論的序號為 (4(設某地于某日午后2時到達最高水位,為3.20米,下一個最高水位5恰在12小時后到達,而最低水位為0.20米.假設水位高度h(米)0 15 t(s) 510的變化由正弦或余弦函數給出,那么該地水位高度h(米)作為時間(

6、單位：時,從該日零時起算)的函數的表達式為t(357,5(設,是第二象限角,sin,sin2, 那么=( ,58,6(復平面上點A與點B分別對應復數2與2i ,線段AB上的動點P對應復數Z,假設2復數z對應點Q點Q坐標為(x,y),那么點Q的軌跡方程為( 7(設有正數 a與b,滿足 a<b,假設實數 x,y,x,y ,使x+y是a與b的算術平均數,x?y11221122xy 11是a與b的幾何平均數,那么的取值范圍是 ( 2()xy , 228從0,1,2 ,9這10個數碼中隨機抽出5個,排列成一行,那么恰好構成可 以被25整除的五位數的概率是 用分數給出答案二、解做題本大題共有5題,解

7、答以下各題必須寫出必要的步驟,本大題滿分60分22fxxxx421, ,9此題總分值12分試利用三角函數求函數的最大值與最小值10此題總分值12分求證：對于任何實數a與b,三個數：|a+b|,|a-b|,|1,a| 中 至少有一個不1小于2211此題總分值12分設拋物線y=x,2k,7x , 4k,12與直線y=x有兩個不同的 交點,且交點總可以被一個半徑為1的圓片所同時遮蓋,試問：實數k應滿足什么 條件,P 12此題總分值12分設四棱錐P ABCDfr,底面ABC此邊長為1的正方形,且 PA/H ABCD1求證：直線PCfi線BD;2過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點E,如果三棱錐E

8、 BCD勺體積取到最大值,求此時四棱錐 P-ABCD勺高EA DB C213此題總分值12分設有拋物線y=2pxp>0,點B是拋物線的焦點,點C在 正x軸上,動點A在拋物線上,試問：點C在什么范圍之內時BACg銳角,上海交通大學2005年保送、推優(yōu)生數學試題一、填空題每題5分,共50 分1442xx, , , 221(方程的兩根滿足,WJ p,(p,R)( xpx,0xx,121222P41,88 ,那么 x=( 2( 一,sincos,(0,)xxx128211n, 120043( n,Z,有,貝U n,( , 一 (1)(1)n20044(將3個12cnrK 12cm的正方形沿鄰邊的

9、中點剪開,分成兩局部(如左圖),將 這6局部接于一個邊長為的正六邊形上(如以下圖),假設拼接后的圖形是一個多62面體的外表展開圖,該多面體的體積為 (5(,x、y,R,貝U(x,y)=( 23333,xy222212n, 6(=( 2468(1)(2),? n3327(假設 z=1,且 z,C,貝 Uz, 2z, 2z, 20,(8(一只螞蟻沿1X2X3立方體外表爬,從一對角線一端到另一端最短距離為(9(4封不同的信放入4只寫好地址的信封中,裝錯的概率為 ,恰好只有 一封裝錯的概率為(10(等差數列a中,=( aaaa, , , ,44aaa , n3711195916二、解做題(第1題8分,

10、第2、3、4題各10分,第5題12分)32xaxbxc, , , ,01(的三根分別為a,b,c ,并且a,b,c是不全為零的有理數,求a,b,c 的值(2(是否存在三邊為連續(xù)自然數的三角形,使得(1)最大角是最小角的兩倍;(2)最大角是最小角的三倍；假設存在,求出該三角形；假設不存在,請說明理由(2axxb, , 83(的最大值為9,最小值為1,求實數a,b( y,2x , 14(月利率為一采用等額還款方式,那么假設本金為1萬元,試推導每月等額還款金額m關于,的函數關系式(假設貸款時間為2年)(5(對于數列a:1,3,3,3,5,5,5,5,5,即正奇數k有k個,是否存在整數r,s,t ,使

11、得對于narnst, , , 口任意正整數n都有恒成立(x表示不超過x的最大整數)(n2005年復旦大學測試試卷一、填空題：Cxx1,C2x,R|221B1(A= , B= A=(表 xlogxx,R|10:B, , ,2示B在R上的補集)(113002(數 x 滿足,求(x , ,1x 一 300xx3(求尸的圓心坐標,53sin5cos, , ,0,2,22y,x , 1AB4(JM物線與直線交于 A和B兩點,最大時,a=( y,2x ,2ax a22lim11nnnn , , ,5(,(, , n,n(n, 1)6(求 1+3+6+ ,(,27(一個班20個學生,有3個女生,抽4個人去參

12、觀展覽館,恰好抽到1個女 生的概率為(100038(求在十進制中最后 4位(x, 2002, , , fx , 2f,4015,x9(定義在 R上的函數 f(x)(x,1) 滿足,那么,x,1, f(2004),(1 , sinxy,10( 求的最大值是( 2 , cosx二、解做題22xy, ,11在四分之一個橢圓x>o, y>0上取一點P,使過P點橢圓的切線與坐標22ab軸所圍成的三角形的面積最小AC2柞 A ABC中,tanA:tanB:tanC=1:2:3 ,求AB3在正方體 A B C DABCLfr, E、F、G點分別為 AD AA AB中點,1111111求:1 B

13、到面EFGE離;2 二面角G-EF-D平面角,1444在實數范圍內求方程：的實數根1073 , , ,xxnnsin, , cos,sin, , cos,a5,求關于 a 的表達式0,a,26直線l與雙曲線xy,1交于P和Q兩點,直線l與x軸交于A,與y軸交于B,求證：AP,BQxn,4121, 一 7定義在 R上的函數 fx, , S,f , f , , fn=2,3, ,nxnnn4, 2,111, , , ,? M,n,21 求；2是否存在常數 M>0 ,有SnSSS231n,2006年上海交通大學推優(yōu)、保送生測試數學試題一、填空題每題5分,共50分1矩形ABCM, AD=a AB

14、=h過A、C作相距為h的平行線AE A F DCF,那么 AF=2一個正實數與它的整數局部,小數局部成等比數列,那么這個正實數是 B C E 32005的末尾有連續(xù) 個零3210x4展開式中,項的系數為 2xx,5在地面距離塔基分別為100m 200m 300m的A、B、C處測得塔頂的仰角分 別為,那么塔高為 ,90且,：6(三人玩剪子、石頭、布的游戲,在一次游戲中,三人不分輸贏的概率為 ;在一次游戲中,甲獲勝的概率為 (2yxaxa,10g()(,13) 在7(函數上單調遞增,那么實數a的取值范圍是3(528(的非實數根,=( ,(1)(1),是x,19(2張100元,3張50元,4張10元

15、人民幣,共可組成 種不同的面伯：(k) 210(,那么數列前100項和為( a,aknkkk!(1)!(2)!,二、解做題(第11題8分,第12、13、14題每題10分,第15題12分)211(a,b,c,R , abc,0 , b,c , a(b,c)x , b(c,a)x , c(a,b),0 有兩個相等根,111成等差數列(求證:,abc2x2, ,ya1(1)12(橢圓,一頂點A(0,1),是否存在這樣的以A為直角頂點的內 接于橢2a圓的等腰直角三角形,假設存在,求出共有幾個,假設不存在,請說明理由(213(|z|=1 , k是實數,z是復數,求|z+kz+1|的最大伯：(14(假設函

16、數形式為為關于x的多項式,fxyaxbycxdyaxcx(,)()()()(),(),(),其中bydy(),()fxy(,) 為關于y的多項式,那么稱為P類函數,判斷以下函數是否是 P類函數,并說明理由(22(1) 1+xy; 1+xy+xy(32215(設(kxkxkxk, 一一 ,9,29270 解方程2006年復旦大學推優(yōu)、保送生測試數學試題1(此題20分)求和：l) ) 7777777777 ,? ,n 個 7 200520052005200520052005200520052005, , , , ? ? ,n 個 20052(此題15分)試構造函數f(x),g(x) 其定域為(0,

17、1),值域為0,1(1)對于任意a,0,1 , f(x),a 只有一解；(2)對于任意a,0,1 , g(x),a有無窮多個解(3(此題15分)對于一個四位數,其各位數字至多有兩個不相同,試求共有多 少個這種四位數(14(此題15分)對于任意均為非負實數,且,nNxxx, ? xxx, , , , ? 12n12n21試用數學歸納法證實：成立(,xxx? (1)(1)(1)12n20212222nn5(此題 20 分)求證:()()()()CCCCC,一, ? nnnnn22xaxb, , 6(此題20分)a,b滿足何條件,可使,1恒成立(2xx - 227(此題20分)以下各式能否在實數范圍

18、內分解因式,假設能,請作出分解；假設不 能,請說232432 明理由(1) x+1 x+x+1 x+x+x+1 x+x+x+x+1,8(此題20分)解三角方程：為一實常數(axxasin()sin29, , , , 42x2,yx,2CCy:1 , ,9(此題20分)曲線,曲線C關于直線對稱的曲線為曲線,41,CCCC曲線與曲線關于直線對稱,求曲線、的方程 (yx, , 52210(此題20分)拋物線,直線都過點(1 , ,2)且互相垂直,假設拋物線 yax,ll,12與直線l,l中至少一條相交,求a的取值范圍(1211(此題15分)f(x)在1,)上單調遞增,且對任意x,y,1,),都有 f

19、(x , y),f(x) , f(y)成立,證實：存在常數k,使f(x),kx 在x,1,)上成立(上海交通大學2007年冬令營選拔測試數學試題一、填空題(每題5分,共50分)fx()2(3)(23)61fxfxx 一,fx(),1(設函數滿足,那么(11ab364,abc,2(設均為實數,且,那么(,abx2axxa, , , , 122a,0a,13(設且,那么方程的解的個數為 (4(設扇形的周長為6,那么其面積的最大值為(11!22!33!,? nn5(22xxyy(1)(1),MN,6(設不等式與的解集分別為 M和N(假設,那么k的xyk,最小值為(x21n,fx(),7(設函數,WJ

20、 ( Sfxfxnfx, , , , , ,12()3()()? x25fxaxax()(cos)(sin), , , a,08(設,且函數的最大值為,( a,29(6名考生坐在兩側各有通道的同一排座位上應考,考生答完試卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷離開座位,那么其中一人交卷時為到達通道而打攪其余 尚在測試的考生的概率為(21x,n,1,2, ? 10(函數,對于,定義,假設,fxffx()(),fxfx()(),fx(),1nn, 11553x, 1那么(fx(),28二、計算與證實題(每題10分,共50分)11(工件內圓弧半徑測量問題(為測量一工件的內圓弧半徑,工人用三個半徑均為的

21、圓柱形量棒放在如圖與ROOO,r123工件圓弧相切的位置上,通過深度卡尺測出卡尺水平面到中間量棒頂側面的垂直深度h, O2rmmhmm,10,4用h表示的函數關系式,并計算當時,的值(試寫出RRfx()fxxx()sincos, , 12(設函數,試討論的性態(tài)(有界性、奇偶性、單調性和周期0,2,性),求其極值,并作出其在內的圖像(,2313(線段長度為,兩端均在拋物線上,試求的中點到軸的最短ABABMyxy,距離和此時點的坐標(M43214(設,試證實對任意實數：fxaxxaxa()(1)(32)4, , , , ,afx()0,(1)方程總有相同實根；(2)存在,包有(xfx()0,00b

22、a15(等差數列的首項為,公差為 b,等比數列的首項為b,公比為, aa,nnn,1,2, ? ab,其中均為正整數,且(ababa,11223(1) 求的值；aab,(2)假設對于,存在關系式,試求 b的值；ab , ,1,nnmn(3) 對于?S足(2)中關系式的,試求(aaaa , , , ? m12m12. ,23. 294. 4n, ,1!15.,6. 21,nnx, ,10, , ,2,7.,nn1121 , , , , ,x,0,48. ,22439. 4523x,10. 53,x22Rmm,6011. , Rrr, , h11,11,k , kZ,kZ,kk, , k , ,1

23、2.;偶函數;；1,2,一, , , 242224,周期為2,525M,13. ; d,min,424,14.略；反證法232nn,32215. 2;3;2021年交大冬令營數學試題 2021.1.1 (填空題x,213,1fx,1(假設,貝U ( ()gxfx()(),g(),x , 215x, 12(函數的最大值為 ( y,2x , 83(等差數列中,那么前項和取最大值時,的值為 ( 53aa,Snn813n22zazaa, , ,20|1z,4( 復數,假設存在負數使得,那么(a,a1335(假設,( cossin xx,cossinxx,21a,a6數列的通項公式為,那么這個數列的前

24、99項之和,nnnnnn , , , 1(S,99329899x7(中的系數為 ( , , , , (1)(1)xx(1)(1), , , , xx135a8(數列中,a,0a,6a,20a,42a,a,a,此數列的通項公式為(a,a,72a,7n889(甲、乙兩廠生產同一種商品(甲廠生產的此商品占市場上的80%乙廠生產的 占20%;甲廠商品的合格率為95%乙廠商品白合格率為90%玲某人購置了此商品 發(fā)現為次品,那么此次品為甲廠生產的概率為 (222210(假設曲線 與Cxay:()1, 的圖像有3個交點,那么a,( Cxy:0,21二(解做題1(30個人排成矩形,身

25、高各不相同(把每列最矮的人選出,這些人中最高的設為;把每ab行最高的人選出,這些人中最矮的設為(b(,)是否有可能比高,ab(,)和是否可能相等,a2(0)a,fxx(),ffxx(),2(函數,且沒有實數根(那么是fxaxbxc(), 一否有實數根,并證實你的結論(3(世界杯預選賽中,中國、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在 A組,進行主客 場比賽(規(guī)定每場比賽勝者得三分,平局各得一分,敗者不得分 (比賽結束后前兩名 可以晉級(,)由于4支隊伍均為強隊,每支隊伍至少得 3分(于是甲專家預測：中國隊至少得10分才能保證出線；乙專家預測：中國隊至少得11分才能保證出線(問：甲、乙專家哪個說的對,為什

26、么,1(,)假設不考慮中條件,中國隊至少得多少分才能保證出線,inN、,4(通信工程中常用n元數組表示信息,其中或1,(設(,)aaaa a,0123niduv(,),表示和中相對應的元素不同的uaaaa,(,) vbbbb,(,) uv123n123n 個數(u,(0,0,0,0,0)duv(,)1,(,) 問存在多少個5元數組 使得；vu,(1,1,1,1,1)duv(,)3,(,) 問存在多少個5元數組 使得；v(,) 令,一uaaaa,(,) vbbbb,(,) w,(0,0,00)123n123n,n 個 0duwdvwduv(,)(,)(,) ,求證:(222AB ypxp,205

27、(曲線與圓交于兩點,線段的中點在 AByx,(2)3xy,一,上,求(P2021年交大冬令營數學試題參考答案2021.1.1 一 (填空題x,213,1fx,1(假設,貝U(2 ()gxfx()(),g(),x , 215x, 112(函數的最大值為 ( y,24x , 83(等差數列中,那么前項和取最大值時,的值為 (20 53aa,Snn813n15,22zazaa, , ,20|1z,4( 復數,假設存在負數使得,那么(a,a2111335(假設,貝 ( cossin xx,cossinxx,1621a,a6(數列的通項公式為,那么這個數列的前99項之和,nnnnnn,- 1(1)9(

28、S,99103429899x7(中的系數為(3921225 C,(1)(1)xx(1)(1), , , , xx100135a8(數列中,a,0a,6a,20a,42a,a,a,n1350246246nn(1),7(1)(1), nn,此數列的通項公式為(a,a,72a,n7889(甲、乙兩廠生產同一種商品(甲廠生產的此商品占市場上的80%乙廠生產的 占20%;甲廠商品的合格率為95%乙廠商品白合格率為90%就某人購置了此商品 發(fā)現為次品,2那么此次品為甲廠生產的概率為 ( 3222210(假設曲線 與Cxay:()1, 的圖像有3個交點,那么(,1 Cxy:0,a,21二(解做題1(30個人

29、排成矩形,身高各不相同(把每列最矮的人選出,這些人中最高的設為;把每ab行最高的人選出,這些人中最矮的設為(b(,)是否有可能比高,ab(,)和是否可能相等,a11(解：不可能,a、bab,?假設為同一人,有；a、bab,?假設在同一行、歹！J,那么均有；a、bb?假設不在同一行、歹I,同如圖1以5*6的矩形為例,記所在列與所在 a行相交的人為.x由于為列最矮的人,所以有；aa、xax,bx、bx,又由于b為列最高的人,所以有；axb,于是有.ab,綜上,不可能有圖21,2,3302有可能,不妨令30個人身高由矮至高分別為,如圖2所示：,ab,26此時有(2(0)a,fxx(),ffxx(),

30、2( 函數,且沒有實數根(那么是fxaxbxc(), 一否有實數根,并證實你的結論(解：沒有.2 法一：無實數根,fxxaxbxc()(1)0, ,一,2 ; ,(1)40bacffxx()0,(222aaxbxcbaxbxccx()()0 ,22222( aaxbxcaxaxbaxbxccx()()0, ,2222( aaxbxcxaxbxcxbaxbxcb()()(1)(1)(1)0 , , ,222,aaxbxcaxbxcbaxbxc, , , ,(1)(1)(1)(1)0(,222axbxcaxabxbc ,(1)(1)10(222 于是有或(axbxc , , , ,(1)0axab

31、xacb , , , , , ,(1)102; ,(1)40bac1222,abaacb(1)4(1) 2222, , ,abaca(1)4440.,故均不存在實數根.fxx(),a,0 法二：假設,那么,ffxfxx()(),; 于是fxx(),假設 a,0 ,那么,ffxfxx()(), 于是；ffxx(), 沒有實數根所以3世界杯預選賽中,中國、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在 A組,進行主客 場比賽規(guī)定每場比賽勝者得三分,平局各得一分,敗者不得分 比賽結束后前兩名 可以晉級,由于4支隊伍均為強隊,每支隊伍至少得 3分于是甲專家預測：中國隊至少得10分才能保證出線；乙專家預測：中國隊至少得11分才能保證出線問：甲、乙專家哪個說的對,為什么,1中條件,中國隊至少得多少分才能保證出線,假設不考慮,1解：乙專家,假設中國隊得10分,那么可能出現其余三隊12分、10分、10分的情況,以澳大 利亞12分,卡塔爾10分,伊拉克3分為例,得分情況如下表.中國隊無法保證 晉級,因此甲專家說的不對.澳澳中中卡卡伊伊總分3 0 3 0 3 3 12 澳0 3 1 3 0 3 10 中0 3 1 0 3 3 10 卡0 0 3 0 0 0 3 伊假設中國隊得了 11分而無法晉級,那么必為第