第八章 4復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則可導(dǎo)可導(dǎo)而而若若)()(xuufy 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) )(xfy 對(duì)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為dxdududydxdy 這一節(jié)我們將把這一求導(dǎo)法則推廣到多元函這一節(jié)我們將把這一求導(dǎo)法則推廣到多元函數(shù)的情形，主要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱數(shù)的情形，主要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上并沒(méi)有區(qū)別，對(duì)一元函數(shù)適用的數(shù)的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上并沒(méi)有區(qū)別，對(duì)一元函數(shù)適用的微分法包括復(fù)合函數(shù)的微分法在內(nèi)，在多元函數(shù)微分法包括復(fù)

2、合函數(shù)的微分法在內(nèi)，在多元函數(shù)微分法中仍然適用，那么為什么還要介紹多元微分法中仍然適用，那么為什么還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對(duì)于沒(méi)有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)這主要是對(duì)于沒(méi)有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及復(fù)合而成的復(fù)合而成的由于由于 f 沒(méi)有具體給出沒(méi)有具體給出時(shí)時(shí)在求在求yzxz , 一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無(wú)能為力了，為一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無(wú)能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。微分法。

3、一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)t可可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： dtdvvzdtduuzdtdz 證證，獲得增量獲得增量設(shè)設(shè)tt ),()(tttu 則則);()(tttv 由由于于函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),21vuvvzuuzz 當(dāng)當(dāng)0 u，0 v時(shí)，時(shí)，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當(dāng)當(dāng)0 t

4、時(shí)，時(shí)， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz zuvwt以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu

5、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示zuvxy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或 法法則則22 這個(gè)公式的特征：這個(gè)公式的特征：函數(shù)函數(shù)),(),(yxvyxufz 有兩個(gè)自變量有兩個(gè)自變量 x 和和 y故法則中包含故法則中包含yzxz ,兩個(gè)公式；兩個(gè)公式；由于在復(fù)合過(guò)程中有兩個(gè)中間變量由于在復(fù)合過(guò)程中有兩個(gè)中間變量 u 和

6、和 v故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩項(xiàng)分別含有項(xiàng)分別含有 vzuz ,每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即即“函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡(jiǎn)言之即：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡(jiǎn)言之即：“分道相加，連線相乘分道相加，連線相乘” ” 類類似似地地再再推推廣廣，設(shè)設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx具具有有對(duì)對(duì)x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxwyxyxfz 在

7、在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計(jì)計(jì)算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz 其中其中),(yxu 即即,),(yxyxfz 令令, xv , yw , 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw,xfxuufxz .yfyuufyz 兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù),),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)區(qū)別類似區(qū)別類似注注 此公式可以推廣到

8、任意多個(gè)中間變量和任此公式可以推廣到任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的情形意多個(gè)自變量的情形如如),(21muuufz ),(21niixxxuu ), 2 , 1(mi 則則), 2 , 1( ,1njxuuzxzjimiij 從以上推廣中我們可以得出：所有公式中從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自兩兩乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自變量的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)變量的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對(duì)求導(dǎo)公式不求階偏導(dǎo)數(shù)，既

9、是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對(duì)求導(dǎo)公式不求強(qiáng)記，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將強(qiáng)記，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將會(huì)有助于領(lǐng)會(huì)和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用會(huì)有助于領(lǐng)會(huì)和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用公式公式用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成）（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成） 的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是復(fù)合函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來(lái)的且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來(lái)的 f ( u , v ) 完

10、全相同完全相同即仍是以即仍是以 u , v 為中間變量，以為中間變量，以 x , y 為自變量為自變量的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于因此求它們關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t),(vufuzu uvxyxvfxufvufxxvfxufvufxvvvuvuvuuu ),(),(在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對(duì)在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對(duì) ),( vufu再求偏導(dǎo)數(shù)這一步再求偏導(dǎo)數(shù)這一步 是與是與 f ( u , v ) 具具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是 u 的的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉),(vufu這這

11、一一項(xiàng)項(xiàng)uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量注意引用這些公式的條件注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)） 內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo) vuuvff ,的合并問(wèn)題的合并問(wèn)題視題設(shè)條件視題設(shè)條件例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin

12、，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例3 設(shè)設(shè)),(),(),(),(),( ryyrxxyxvvyxuuvufw 均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件 計(jì)算計(jì)算 wrw,（兩重復(fù)合問(wèn)題）（兩重復(fù)合問(wèn)題）解解由鏈?zhǔn)椒▌t由鏈?zhǔn)椒▌twuvxyrrvvwruuwrw ryyurxxuru ryyvrxxvrv 故故)()(ryyvrxxvvwryyurxxuuwrw 同理可得同理可得)()( yyvxxvvwyyuxxu

13、uww 例例 4 4 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ，f具有二階具有二階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 二、全微分形式不變性二、全微分形

14、式不變性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(vufz 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分dvvzduuzdz ;當(dāng)當(dāng)),(yxu 、),(yxv 時(shí)，有時(shí)，有dyyzdxxzdz .全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)： 無(wú)論無(wú)論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的過(guò)程中，不論變量間的

15、關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可以過(guò)程中，不論變量間的關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來(lái)處理不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來(lái)處理且作微分運(yùn)算的結(jié)果對(duì)自變量的微分且作微分運(yùn)算的結(jié)果對(duì)自變量的微分 ,dzdydx來(lái)說(shuō)是線性的來(lái)說(shuō)是線性的從而為解題帶來(lái)很多方便，而且也不易出錯(cuò)從而為解題帶來(lái)很多方便，而且也不易出錯(cuò)uxyzxtxzxzzfxyyfxfxu xtxxy xtyfxyfxfxu 例例5 設(shè)設(shè)),(),(),(zxttxyzyxfu 各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求求xu 解一解一 變量間的關(guān)系如下圖所示變量間的關(guān)系如下圖所示這里變量間的關(guān)系比較混亂這里變量間的關(guān)系比較

16、混亂用全微分來(lái)解用全微分來(lái)解由全微分定理由全微分定理dzzfdyyfdxxfdu dzzfdttdxxyfdxxf dzzfdzzdxxtdxxyfdxxf )( 注意到注意到 x , z 是獨(dú)立自變量是獨(dú)立自變量 解二解二由全微分定義由全微分定義xtyfxyfxfxu zfztyfzu 注注解法二在實(shí)際計(jì)算中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)解法二在實(shí)際計(jì)算中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)dxxtyfxyfxfdu)( dzzfztyf)( 故故 三、小結(jié)三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變

17、性（理解其實(shí)質(zhì)）（理解其實(shí)質(zhì)）思考題思考題設(shè)設(shè)),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ， 則則xfdxdvvfdxduufdxdz ， 試試問(wèn)問(wèn)dxdz與與xf 是是否否相相同同？為為什什么么？ 思考題解答思考題解答不相同不相同.等式左端的等式左端的z是作為一個(gè)自變量是作為一個(gè)自變量x的函數(shù)，的函數(shù)，而而等等式式右右端端最最后后一一項(xiàng)項(xiàng)f是是作作為為xvu,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫出來(lái)為寫出來(lái)為 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 練練 習(xí)習(xí) 題題一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_

18、. . 2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._. 二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 三、設(shè)三、設(shè))arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、設(shè)四、設(shè)),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)) ), ,求求yzxz ,. .五、設(shè)五、設(shè))(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)數(shù)),),求求.,zuyuxu 六、設(shè)六、設(shè)),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),),求求 22222,yzyxzxz . .七、設(shè)七、設(shè),)(22yxfyz 其中為可導(dǎo)函數(shù)其中為可導(dǎo)函數(shù), , 驗(yàn)證驗(yàn)證: :211yzyzyxzx . .八、設(shè)八、設(shè) ,),(其中其中yyxxz 具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), ,求求 .,2222yzxz 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx