正十七邊形尺規(guī)作圖與詳解

1、實用標準文檔解讀“數(shù)學王子”高斯正十七邊形的作法一、高斯的傳奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23),德國數(shù)學家、物理學家、天文學家。 有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工廠工頭的父親計算工人們的周薪。父親算了好一會兒，終于將結果算出來了?？墒侨f萬沒想到，他身邊傳來幼嫩的童音說：“爸爸，你算錯了，總數(shù)應該是”父親感到很驚異，趕忙再算一遍，結果證實高斯的答案是對的。這時的高斯只有3歲！高斯上小學了，教他們數(shù)學的老師布特勒(Buttner)是一個態(tài)度惡劣的人，他講課時從不考慮學生的接受能力，有時還用鞭子懲罰學生。有一天，布德勒讓全班學生計算1+2

2、+3+4+5+98+99+100 =?的總和，并且威脅說：“誰算不出來，就不準回家吃飯！”布德勒說完，就坐在一旁獨自看起小說來，因為他認為，做這樣一道題目是需要些時間的。小朋友們開始計算：“1 + 2 =3, 3+3 =6, 6+4 =10 ,”數(shù)越來越大，計算越來越困難。但是不久，高斯就拿著寫著解答的小石板走到布德勒的身邊。高斯說：“老師，我做完了，你看對不對？ “做完了？這么快就做完了？肯定是胡亂做的！”布德勒連頭都沒抬，揮揮手說：“錯了，錯了！回去再算！”高斯站著不走，把小石板往前伸了伸說：“我這個答案是對的?！辈嫉吕仗ь^一看，大吃一驚。小石板上寫著5050 , 一點也沒有錯！高斯的算法

3、是1 + 2 +3 + +98 +99 + 100100 +99 + 98 + +3+ 2+1101 +101 +101 + 101 +101 +101 =101 X100 =10100神童高朝10100 +2=5050高斯并不知道，他用的這種方法，其實就是古代數(shù)學家經(jīng)過長期努力才找出來的求等差數(shù)列和的方法，那時他才八歲！1796年的一天，德國哥廷根大學。高斯吃完晚飯，開始做導師給他單獨布置的三道數(shù)學題。前兩道題他不費吹灰之力就做了出來了。 第三道題寫在另一張小紙條上：要求只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，作出一個正十七邊形。這道題把他難住了一一所學過的數(shù)學知識竟然對解出這道題沒有任何幫助。時間一分一

4、秒的過去了，第三道題竟毫無進展。他絞盡腦汁，嘗試著用一些超常規(guī)的思路去尋求答案。當窗口露出曙光時，他終于解決了這道 難題。當他把作業(yè)交給導師時， 感到很慚愧。他對導師說：“您給我布置的第三道題， 我竟然做了整整一個通宵， ”導師看完作業(yè)后，激動地對他說：“你知不知道？你解開了一樁有兩千多年歷史的數(shù)學懸案！阿基米得沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然一個晚上就解出來了。你是一個真正的天才！”原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他是因為拿錯了，才將寫有這道題目的紙條交給了學生。在這件事情發(fā)生后，高斯曾回憶說：“如果有人告訴我，那是一道千古難題，我可能永遠也沒有信心將它解出來?！?796年3月30日，

5、當高斯差一個月滿十九歲時，在期刊上發(fā)表關于正十七邊形作圖的問題。他顯然以此為自豪，還要求以后將正十七邊形刻在他的墓碑上。然而高斯的紀念碑上并沒有刻上十七邊形，而刻著一顆十七角星，原來是負責刻紀念碑的雕刻家認為：“正十七邊形和圓太像了，刻出來之后，每個人都會誤以為是一個圓?！?877年布雷默爾奉漢諾威王之命為高斯做一個紀念獎章。上面刻著：“漢諾威王喬治 V.獻給數(shù)學王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi): 自那之后，高斯就以"數(shù)學王子"著稱于世。二、高斯正十七邊形尺規(guī)作圖的思路(這里是純?nèi)欠?作正十

6、七邊形的關鍵是作出 cos ,為此要建立求解cos 的方程。1717設正17邊形中心角為a ,則17 0c =2冗，即16 0c =2 % a故 sin16 a = sin a ,而sin16 民= 2sin8 a cos8 a= 4sin4 a cos4 a cos8 a=8 sin2 a cos2 a cos4 a cos8 a=16 sin a cos a cos2 a cos4 a COS8 a因sin a汽，兩邊除以sin a ,有16cos a cos2 a C0s4 a C0s8 a = 1由積化和差公式，得4(cos a +cos3 a)(cos4 a +cos12 oc)=

7、1展開，得4(cos a cos4 a +cos a C0s12 a +cos3 a C0s4 a +cos3 a C0s12 a) = 1再由積化和差公式，得2(cos3 a +cos5 a)+ (cos11 +cos13 oc)+(cos a +cos7 a) + (cos9 a+cos15 a)=注意至U cos11 a =cos6 a , C0s13 a =C0s4 a , C0s9 a =C0s8 a , C0s15 a =C0s2 a ,2(cos a +cos2 a +cos3 a +cos4 a +cos5 a +cos6 a +cos7 a +cos8 a) = 1設 a =

8、 2(cos a+ cos2 a+cos4 a+ cos8 Ot),b=2(cos3 a+ cos5 a+cos6 a+ cos7 a),則 a + b = 1又 ab = 2(cos oc +cos2 a +cos4 a +cos8 * 2(cos3 a +cos5 oc +cos6 oc +cos7 2= 4cos Ot(cos3 oc +cos5 oc +cos6 oc -Pcos7 Ot)+4cos2 Ot(cos3 oc +cos5 oc +cos6 oc+ cos7 oc)+ 4cos4 Ot(cos3 oc +cos5 a +cos6 a +C0S7 a)+4cos8 a(cos

9、3 a +C0S5 a + cos6 a +cos7 a)再展開之后共16項，對這16項的每一項應用積化和差公式，可得：ab=2 (cos2 a +cos4 Ot)+(cos4 a +cos6 Ot)+(cos5 a +cos7 Ot)+(cos6 a +cos8 a) 十 (cos a +cos5 Ot) + (cos3 a +C0S7 a) + (C0S4 a +C0S8 a)+ (C0S5 a +C0S9 a) + (COS a +COS7 a) + (COS a+COS9oc)+(COS2 a+COS10a) +(COS3 a+COS11oc)+(COS5 a +COS11a) 十 (

10、COS3 a +COS13 a) + (COS2 a +COS14 a)+ (COS a +COS15 a)注意到J COS9 a =COS8 a , COS10 a =COS7 a , COS11 a =COS6 a , COS13 a =COS4 a ,COS14 a =COS3 a , COS15 a =COS2 a ,有ab =2 X4(cos a +cos2 a +COS3 a +COS4 a +COS5 a +COS6 a +COS7 a +COS8 oc)= 一cos -) + cos 1717-)1722因為 COS a +COS2 a +COS8 a =(COSb17=2co

11、s - cos 3cos 一 = 2cos 一 (cos17171717又 0 < < < 1732所以cos > 1 172即 cos a +cos2 a +cos8 a > 0又因為 cos4 a =cos > 017所以 a= cos a +cos2 a +cos4 a +cos8 a > 0又 ab = -4< 0所以有a > 0 , b< 0可解得文案大全1 a=.171 J72再設 c = 2(cos 民-Hcos4 a), d=2(cos2 民 +cos8 a),貝1J c+d =acd = 2(cos oc+ cos4

12、 a) 2(cos2 a+ cos8 訃=4 (cos Otcos2 oc -kcos Otcos8 oc +cos4 Otcos2 oc +cos4 Otcos8 oc)=2 (cos oc -Pcos3 Ot)+(cos7 oc +cos9 oc)+ (cos2 oc +cos6 Ot) + (cos4 oc +cos12 oc)注意至U cos9 oc =cos8 oc , cos12 oc =cos5 oc ,有cd =2(cos oc +cos3 Ot)+(cos7 oc +cos8 a) + (cos2 a +cos6 Ot) + (cos4 a +cos5 a)=2( cos a

13、 +cos2 a +cos3 a +cos4 a +cos5 a +cos6 a +cos7 a +cos8 a)=-1因為 0 < a < 2 a < 4 a < 8 a < 兀所以 cos a > cos2 a , cos4 a > cos8 a兩式相力口得 cos a +cos4 a> cos2 a +cos8 a或 2(cos a +cos4 a)> 2(cos2 a +cos8 a)又 cd =-1 < 0所以有可解得c= ad=a、a2 42類似地，設 e=2(cos3 oc +cos5 oc), f = 2(cos6 a

14、 +cos7 a)則 e+f = bef = 2(cos3 民 +cos5 * 2(cos6 民 +cos7 *=4(cos3 Otcos6 oc -Pcos3 Otcos7 oc +cos5 Otcos6 oc +cos5 Otcos7 a)=2 (cos3 a+cos9 a) + (cos4 a +cos10 a)+ (cos a+cos11 a) + (cos2 a +cos12 刈注意到J cos9 a =cos8 a , COS10 a =COS7 a , COSlI a =COS6 a , COS12 a =COS5 a , 有ef = 2(cos3 a +COS8 Ot) + (

15、cos4 a +COS7 oc) + (COS a +COS6 Ot) + (cos2 a +COS5 oc)=2( COS a +COS2 a +COS3 a +COS4 a +COS5 a +COS6 a +COS7 a +COS8 oc)=-1因為 0 < 3 oc < 5 oc < 6 oc < 7 oc < 兀所以有 COS3 a > COS6 a , COS5 a > COS7 a兩式相加得 COS3 a +COS5 oc> COS6 a +COS7 a2(cos3 a +COS5 oc)> 2(cos6 a +COS7 oc)

16、即 e > f ,又 ef = -1 < 0所以有e > 0 , f < 0可解得b . b2 4b b2 4e=,【f=2'2由 C= 2(COS a +COS4 oc),得 COS a +COS4 a =1,即 COS 2y + COS 8y = -ce = 2(cos3 a +COS5 oc),應用積化和差公式， 得 COS 0CCOS4 a =-,即 COS COS 41717因為0<17<2,所以cos 2 >cos >017所以2cos =17c c2 4e4，8cos1717c . c2 4e4于是，我們得到一系列的等式:a

17、 _1 J17 b _1、172，2，c=a a2 42b . b2 4e二22cos =17cc2 4e4有了這些等式，只要依次作出a、b、c、e,便可作出2cos 。17步驟一:給一圓 O ,作兩垂直的半徑OA、OB ,作 C 點使 OC = 1/4OB ,作 D 點使/ OCD = 1/4 ZOCA ,作AO延長線上 E點使得/ DCE = 45度。步驟二：作AE中點 M ,并以 M為圓心作一圓過 A點，此圓交 OB于F點，再以D為圓心，作一圓過F點，此圓交直線 OA于G4和G6兩點。步驟三：過G4作OA垂直線交圓 。于P4 ,過G6作OA垂直線交圓 。于P6 ,則以圓O為基準圓， A為

18、正十七邊形之第一頂點P4為第四頂點， P6為第六頂點。連接P4P6 ,以1/2弧P4P6為半徑，在圓上不斷截取，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點。歷史最早的十七邊形畫法創(chuàng)造人為追迎高斯(17771855 年)，德國數(shù)學家、物理學家和天文學家。在童年時代就表現(xiàn)出非凡的數(shù)學天才。三歲學會算術，八歲因發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式而深得老師和同學的欽佩。1799年以代數(shù)基本定理的四個漂亮證明獲得博士學位。高斯的數(shù)學成就遍及各個領域，其中許多都有著劃時代的意義。同時，高斯在天文學、大地測量學和磁學的研究中也都有杰出的貢獻。1801年，高斯證明：如果 k是質數(shù)的費馬數(shù)，那么就可以用直尺和圓規(guī)將圓周k等分。高斯本人就是根據(jù)這個定理作出了正十七邊形，解決了兩千年來懸而未決的難題。道理當時，如果高斯的老師告訴了高斯這是道2000多年沒人解答出來的題目，高斯就不會畫出這個正十七邊形。這說明了你不怕困難，困難就會被攻克，當你懼怕困難，你就不會勝利。正十七邊形的證明方法正十七邊形的 尺規(guī)作圖 存在之證明