(北師大版)初中數(shù)學(xué)《平行線的證明》專題專練

1、第七章平行線的證明專題專練專題一定義與命題一、知識要點(diǎn)1 .定義：對術(shù)語和名稱的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們 的定義.如“兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離的 定義.2 .命題：判斷一件事情的句子叫做命題，每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分 組成，條件是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).命題一般寫成“如 果 那么”的形式，“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié) 論.3.真命題、假命題與反例真命題：正確的命題稱為真命題.假命題：不正確的命題稱為假命題.反例：要說明一個(gè)命題是假命題，通?？梢耘e出一二例子，使之具有命題的 條件，而不具有命題的結(jié)論

2、，這個(gè)例子稱為反例.4.公理、定理、證明公理：人們公認(rèn)的真命題稱為公理.定理：經(jīng)過證明了的真命題稱為定理.證明：推理的過程稱為證明.二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要涉及命題的概念和命題的結(jié)構(gòu)形式、判斷命題的 真假等.多以選擇題的形式出現(xiàn)，以判斷真假命題類型題為主要考點(diǎn).三、復(fù)習(xí)策略：應(yīng)結(jié)合具體實(shí)例來理解命題的定義，體會尋找命題的題設(shè)和結(jié)論的常用方法-將命題改寫成“如果那么”的形式，能舉反例說明一個(gè)命題是假命題，能利用推理的方法證明一個(gè)命題是真命題等.四、典例分析例1判斷下列語句是不是命題，如果是命題，是真命題還是假命題？（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；（2）作線段AB=CD； （3）你今天上數(shù)學(xué)課了嗎？ （

3、4）熊貓沒有翅膀；（5）對于角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三 角形.解析：判斷一個(gè)句子是否為命題需抓住兩點(diǎn)：（1）命題必須是一個(gè)完整的語 句，且是陳述句，不是疑問句、祈使句；（2）要對事情作出判斷.根據(jù)這兩條可 知（2）、（3）不是命題，（1）、（4）、（5）是命題，且都是真命題.例2寫出下列命題的條件和結(jié)論.（1）如果一個(gè)三角形中有兩條邊相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.（2）對頂角相等.解析：（1）命題一般寫成“如果A,那么B”的形式，A部分為條件，B部分 為結(jié)論，所以（1）中的條件“一個(gè)三角形中有兩條邊相等“，結(jié)論為“這個(gè)三角形 是等腰三角形（2）對于命題本身不含“如果”，“那

4、么”詞語，此時(shí)需將其改寫成“如果, 那么”的形式，再找條件和結(jié)論，便不易錯(cuò)，所以（2）中可改成“如果兩個(gè) 角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”，故條件為“兩個(gè)角是對頂角”，結(jié)論為“這兩個(gè) 角相等”.專題練習(xí)一1 .把“垂線段最短”改寫成“如果，那么”的形式是.2 .下列語句中，不是命題的是（）A.直角都相等 B.如果ab=O,那么a=0C.不是對頂角的兩個(gè)角相等 D.連接兩點(diǎn)A、B3 .下列命題中，是真命題是是（）A.互補(bǔ)的兩角若相等，則此兩角都是直角B.直線是平角C.不相交的兩條直線叫平行線D.和為180。的兩個(gè)角叫鄰補(bǔ)角4 .下列命題中，是真命題的是（）（1）所有菱形都相似；（2）任意兩個(gè)等邊三

5、角形都相似；（3）任意兩個(gè)等腰三角形都相似；（4）有一個(gè)角相等的兩個(gè)直角三角形相似；（5）同位角相等.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5 .判斷下列命題的真假，若是假命題，請舉出反例：（1）若lal=lbl,則 a=b；（2）兩個(gè)銳角之和一定是鈍角；（3）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).專題二平行線的判定和性質(zhì)一、知識要點(diǎn)1 .平行線的判定公理：同位角相等，兩直線平行.2 .平行線的判定定理1：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.3 .平行線的判定定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.平行線的性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等.4 .平行線的性質(zhì)定理1：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.平行線的性質(zhì)定理2：兩直線平行，同

6、旁內(nèi)角互補(bǔ).注意：對于平行線的判定與性質(zhì)，一定不要混淆它們的條件和結(jié)論，平行線 的條件是由角的數(shù)量關(guān)系來確定直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行線的位 置關(guān)系來確定角的數(shù)量關(guān)系.對平行線的判定而言，“兩直線平行”是結(jié)論，對平 行線的性質(zhì)而言，“兩直線平行”是條件.因此，不能隨便說“同位角相等”“同旁內(nèi) 角互補(bǔ)二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要涉及：（1）與兩直線平行條件有關(guān)的開放題、探 究題等；（2）運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或說理，解決生活中的一些實(shí)際問題等. 在中考中多以填空題或選擇題形式出現(xiàn)難度不大，但非常重要，在大題中，經(jīng)常 用到三、復(fù)習(xí)策略：應(yīng)理解并熟記兩直線平行的判定和性質(zhì)，注意平行線的判定

7、和性質(zhì)的區(qū)別，同時(shí)也可進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶骄啃詥栴}的訓(xùn)練.例1如圖1,在 AFD和 BEC中，點(diǎn)A, E, F, C在同一直線上，有下 面4個(gè)論斷：®AD=CB：BE二DF； ®ZB=ZD；ADBC.請用其中三個(gè)作為 條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題，并證明.解：如，已知：BE=DF, 求證：AD/BC.A UZB=ZD, AD=CB.B _分析：本題是一道開放性問題，在寫命題時(shí).,要根據(jù)題意找一個(gè)比較簡單的, 這樣解答起來也較容易.證明：因?yàn)?AD=CB, NB=ND, BE=DF,所以 ADFACBE.所以NA=NC,所以AD/BC點(diǎn)評：證明兩條直線平行，主要根據(jù)圖形找同

8、位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁 內(nèi)角互補(bǔ).E例 2 如圖 2, AB/CD, EF 分別交 AB, CD 于 M, N, ZEMB=50°,A_m/_BMG 平分NBMF, MG 交 CD 于 Gc/_l_D7n求：Z1的度數(shù).F 圖2分析：由ABCD,得N1 = N2,所以要求N1的度數(shù)，可求N2的度數(shù).由條件知而NBMF 與NEMB 是鄰補(bǔ)角，所以NBMF=18（）o-50o=130。.2于是可求得N2的度數(shù)，進(jìn)而得出N1的度數(shù).解：因?yàn)锳BCD,所以N1 = N2.乂因?yàn)?NEMB=50°,所以 ZBMF= 180°-50°= 130°.因?yàn)?/p>

9、 MG 平分NBNF,所以N2 = ,ABMF =-xl30° = 65°.所以N1 =65。. 22點(diǎn)評：根據(jù)平行條件求角的度數(shù)，一般借助平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）解決問題.專題練習(xí)二1 .如圖 3, ABC 中，ZABC=90°, ZA=50°, BD/AC,則NCBD 的度數(shù)是.2 .如圖2,直線則NA的度數(shù)是（）A. 28B. 31C. 39D. 42°CE 平分NACB, ZDBF=ZF.3 .如圖 5, NABC=NACB, BD 平分NABC, 求證：EC/DF.4 .如圖 6, AB/EF,

10、求證：ZBCF=ZB+ZF.圖5BAND應(yīng)滿足什么條件?5 .如圖7,若要能使得ABED, ZB. NC、專題三三角形內(nèi)角和定理一、知識要點(diǎn)1 .探究三角形內(nèi)角和定理時(shí)，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“湊”在一起，拼成一個(gè)平 角，從而得到三角形的內(nèi)角和等于180。，這里體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化思想.三角形內(nèi)角和定理的證明方法較多，除了轉(zhuǎn)化為平角證明外，還可以 利用“構(gòu)造周角”的方法以及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的方法解析證明.二 考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要是利用三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)或判斷三 角形的形狀,單獨(dú)命題時(shí)以填空、選擇題為主，但大多出現(xiàn)在綜合題中.三、溫馨提示：復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理解并熟記三角形內(nèi)

11、角和定理.四、典例分析例 1 在 ABC 中，ZB-ZC=40°, ZA=80°,求NA、NB、NC 的度數(shù),并判斷 ABC的形狀?分析：利用隱含條件：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180。.構(gòu)造方程求解.解：因?yàn)镹A+NB+NC=180。，ZA=80°,所以NB+NC=100。，乂NB-NC=40。，所以NB=70。，ZC=30°,所以 ABC為銳角三角形.點(diǎn)評：在證明或計(jì)算三角形的角度的大小關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意“三角形的三個(gè)內(nèi) 角和等于180?！钡碾[含條件，合理地構(gòu)造方程（組），特別是在求解有關(guān)三角形角 的度數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，善于使用方程思想，以便

12、于問題的正 確求解.例 2 如圖 1, NB=42。，ZA+10°=Zl, ZACD=64°,求證：AB/CD.分析：要證明ABCD,根據(jù)圖形可知，只需證明NA=64。，利用內(nèi) 錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證明.或證明NDCB+NB=180。，利用同旁內(nèi) 角互補(bǔ)，兩直線平行也可證明.為此需利用三角形內(nèi)角和定理求出NA或 Z1的度數(shù).證明：在 ABC 中，Zl + ZA+ZB=180°,又NB=42。，ZA+10°=Zl,所以（NA+10。）+ZA+42°=180°.即 2NA+52o=180。，所以NA=64。.乂因?yàn)镹DCA=64。，所

13、以NDCA二NA.所以 AB/CD.點(diǎn)評：證明兩直線平行，借助于內(nèi)錯(cuò)角相等，在推導(dǎo)內(nèi)錯(cuò)角相等時(shí)，用到了三角形的內(nèi)角和定理.專題練習(xí)三1 .在 ABC中，已知NA:NB:NC=1:2:3,則這個(gè)三角形是一個(gè) 三角形.2 .小華到工廠去進(jìn)行社會實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖2所示 的零件，工人師傅告訴他：AB/CD, ZBAE=35°, NAEC=80。，小華馬上運(yùn)用 所學(xué)的數(shù)學(xué)知識得出了 NECD的度數(shù)，聰明的你一定知道NECD=.3 .若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80。，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是.4 .如圖3,在 ABC中，ZC=ZABC=2ZA, BD是AC邊上的高，求NDBC

14、的度數(shù).5.如圖 4,已知 ABDE,求證：ZB+ZC+ZE=360°.專題四關(guān)注三角形的外角一、知識要點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論是：推論1三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論2三角形的一個(gè)外角等于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.關(guān)于三角形外角的重要結(jié)論是三角形內(nèi)角和定理的推論.第一個(gè)推論反映了 一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)的相等關(guān)系，應(yīng)用在證明或計(jì)算內(nèi)角與外角的大小問 題中；第二個(gè)推論反映了一個(gè)外角與它不相鄰的內(nèi)角的不等關(guān)系，用于證明和三角形有關(guān)的角的不等關(guān)系問題中.二、考點(diǎn)分析：該考點(diǎn)主要涉及：（1）利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和“求角的度數(shù)；（2）利用“三

15、角形的一個(gè)外角大于任何與它不相鄰 的內(nèi)角”來證明兩角的不等關(guān)系.在中考中可以單獨(dú)命題，但大多數(shù)出現(xiàn)在綜合題 中.三、復(fù)習(xí)策略：應(yīng)理解并熟記三角形的內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論，并多練習(xí)利用它們解決有關(guān)的證明問題或計(jì)算問題的題目.四、典例分析例 1 如圖 1,已知Nl=100。，Z2=140°,那么N3=.g分析：觀察圖形可知，欲求N3的度數(shù)，可先求N4的度數(shù)，這只要利 / 3/圖1 用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可.解：因?yàn)镹 1=100°,所以N4= 1800。-/1=70°.又 N2=N3+N4.所以 N 3= N 2- N4= 140°-70

16、°=70°.點(diǎn)評：求角的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，因此，只要知道了其中的兩個(gè)角的度數(shù)，就可以求出另一 個(gè)角的度數(shù).例2如圖2,點(diǎn)P是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接BP、CP.求證：ZBPC>ZBAC.分析：要求證明NBPONBAC,通常有兩種方法：一是找到第三個(gè)角，利用不等式的傳遞性得證；二是將NBPC和NBAC都分成兩個(gè)角，利用同向不等 式的和所得不等式仍然成立來證明.證法一：如圖2 (1)所示，延長BP交AC于點(diǎn)D.由于NBPC是 DPC的外角，所以NBPC>NCDP.由于NCDP是 ABD的外角，所以NCDP>

17、NBAC所以NBPC>BAC.A證法二：如圖2 (2)所示，連接AP并延長AP.因?yàn)镹1是 ABP的外角，所以N1>N3.因?yàn)镹2是 APC的外角，所以N2>N4.所以 N1+N2>N3+N4.乂因?yàn)镹1+N2=NBPC, Z3+Z4=ZBAC,所以 NBPANBAC.點(diǎn)評：要證角的不等關(guān)系，一般地將大角轉(zhuǎn)化為某三角形的外角，將小角轉(zhuǎn)化為某三角形的內(nèi)角.解決本題的關(guān)鍵是通過添加輔助線以達(dá)到此目的.專題練習(xí)四1 .如圖3,已知 ABC中，ZA=40°,剪去NA后成四邊形，則N1 + /2 =2,下列語句中，正確的是()A.三角形的外角大于它的內(nèi)角B.三角形的一個(gè)

18、外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角的和C三角形的一個(gè)內(nèi)角小于和它不相鄰的外角D.三角形的外角和等于180°3 .已知如圖4所示，AD是4ABC的外角NCAE的平分線，ZB=40°,ZDAE=70°,則 NACD=()4 .如圖5, ABC中，ZA=40S BP、CP是 ABC的外角平分線，則NP的度數(shù)為()A.50°B.60°C.70°D.80°5 .A ABC中，一個(gè)內(nèi)角的大小是50°, ZA=ZB,那么NC的外角是多少度?參考答案專題練習(xí)一1.如果一條線段是垂線段，那么這條線段最短；2.D 3.C 4.C 5.(1)假 命題.反例：如121=1-21,但2盧2； (2)假命題.反例：如兩個(gè)銳角分別為20。、30。, 但它們的和50。是銳角；(3)是真命題.專題練習(xí)二1.40°； 2.C；3 .因?yàn)?BD