半穩(wěn)定線束中奇異纖維的最小個數(shù)

1、wyiT論女第表超贏半穩(wěn)定線束中奇異纖維的最小個數(shù)【摘要】：代數(shù)簇的纖維化是代數(shù)幾何中的重要研究對象，一方面，它將 高維的問題降為低維的問題，這里反映的是局部整體的關(guān)系，即通過纖維了解全空間代數(shù)簇的性質(zhì)；另一方面，它給數(shù)論提供了幾何類比，即 數(shù)域和函數(shù)域之間的類比。本文主要目的是研究有理曲線上的代數(shù)曲 面半穩(wěn)定纖維化的奇異纖維的最小個數(shù)問題，即 Szpiro 問題。1980年,Beauville 首先在該問題上取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。這個問題本質(zhì)上和Arakelov 不等式有密切聯(lián)系。Szpiro 希望了解半穩(wěn)定線束 f:S 宀 P1 中臨界點(diǎn)的最小個數(shù) s27。Beauville 證明了 s4 并

2、對任意的虧格 g 構(gòu)造了s=6 的例子。他猜想 g22 寸,s 56談勝利利用典范類不等式 證明了Beauville 的猜想28。我們將證明除去一個可能的例外，當(dāng)g 18 寸 s這個可能的例外是 Cxp1 的一個簡單二次覆蓋。曲面 S 的復(fù)雜性也影響著臨界點(diǎn)的個數(shù)。文29中證明了如果 S 的 Kodaira 維數(shù)非負(fù)，那么 s6 并猜想 S 是一般型時(shí),s 我們將在 g51 時(shí)證實(shí)此 猜想。Arakelov不等式等號成立蘊(yùn)含著一定的數(shù)論性質(zhì)。g=1,s=4 的半穩(wěn)定線束可分成 6 族橢圓曲線模簇7。我們將利用第二章關(guān)于纖 維的伴隨線性系的一些結(jié)果說明僅有5 個臨界點(diǎn)的半穩(wěn)定線束，且其Neron

3、Model 只有 4 個奇異纖維時(shí)，它必定是虧格為 2 的線束。我們的 方法是通過分析線形系|K_S+F|的基點(diǎn)和非常豐富性，這里 K_S 是曲面 的典范除子,F 是一條纖維。眾所周知，Reider 方法可以有效地分析線 形系|K_S+L|,得到了關(guān)于正定線叢 L 的伴隨線性系的著名定理25,從yiT論女為表站家而極大的簡化了 Bombieri 多典范映射的工作。Men desLops 在 Fran cia 工作的基礎(chǔ)上研究了 L 半正定且 1-連通的情形2112。在半穩(wěn)定纖 維化上應(yīng)用這些結(jié)果，我們將證明|K_S+F|的奇異基點(diǎn)正好是纖維中的 可分離二重點(diǎn)。利用典范映射，Horikawa 給

4、出 Noether 直線 K_S2=2P_g-4上的一般性曲面的分類15:結(jié)合 Miyaoka-Yau 不等 式,Beauville 對典范映射作出了更深刻的研究 5。Kitagawa 與 Konno 利用映射|K_S+F|研究有理曲面的纖維化，以此來得到 Mordell-Weil 格 的一些性質(zhì)18。類似地，通過分析|K_S+F|定義的映射，我們將對有理 曲面上的具有小相對不變量的纖維化進(jìn)行分類。有限性定理與非臨界點(diǎn)區(qū)域的雙曲性緊密相連。由 Miyaoka-Yau 不等式或 Schwarz-Yau 引 理導(dǎo)出的典范類不等式控制著曲線?？臻g彎曲程度31,由 Hodge 結(jié)構(gòu)的形變導(dǎo)出的最強(qiáng)的

5、Arakelov 不等式控制著阿貝爾簇的?？臻g的 彎曲程度32。我們還將通過一個初等的方法得出相對解析歐拉示性 數(shù)的計(jì)算公式，從而得到 Arakelov 不等式的一個新證明。【關(guān)鍵詞】： 纖維化纖維的伴隨線性系 Szpiro 問題奇異纖維半穩(wěn)定線束【學(xué)位授予單位】：華東師范大學(xué)【學(xué)位級別】：博士【學(xué)位授予年份】：2010【分類號】：0187.2yiT論女為表&?！灸夸洝浚赫?6-8Abstract8-12 第一章緒論 12-151.1 研究背景 12-131.2基本的記號 13-15 第二章纖維的伴隨線性系與有理曲面的纖維化15-292.1 纖維的伴隨線性系 15-202.1.1Re

6、ider 定理 15-162.1.2 線束的 伴隨線性系 16-172.1.3MendesLopes 的定理 17-192.1.4 纖維的伴隨線 性系19-202.2 有理曲面的纖維化 20-292.2.1 曲面上的線性系20-212.2.2 有理曲面的纖維化 21-29 第三章半穩(wěn)定線束中奇異纖維的最小個數(shù) 29-453.1Szpiro 問題 29-363.1.1 一些不等式及 K_f2 的估計(jì)30-323.1.2 僅有 5 根奇異纖維的半穩(wěn)定線束 32-353.1.3 一般型曲面上半穩(wěn)定線束奇異纖維的最小數(shù)目 35-363.2 半穩(wěn)定線束的Neronmodel36-453.2.1Arakelov 不等式的初等證明 3