復(fù)變寒假小論文

1、柯西積分公式及其推廣摘要：學(xué)復(fù)變以來，一直比較困惑于柯西積分定理、柯西積分公式及留數(shù)定理等三個(gè)問題的界線，同時(shí)也對于積分何時(shí)為零何時(shí)不為零的條件很模糊。本文主要是歸納了有關(guān)這三個(gè)問題之間的一些關(guān)系及推導(dǎo)過程。同時(shí)也得柯西積分公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并舉例其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：柯西積分定理，柯西積分公式，留數(shù)定理，柯西積分公式的推廣目錄論文封面1摘要2對柯西積分的認(rèn)識(shí)4一 柯西積分定理與柯西積分公式5二 留數(shù)定理及其與柯西積分公式的關(guān)系71.留數(shù)定理72.留數(shù)的求法83.留數(shù)定理與柯西積分公式的關(guān)系9三 柯西積分公式的推廣101.高階導(dǎo)數(shù)102.處的柯西積分公式103.復(fù)連通區(qū)域中的柯西公式114.z在積分路

2、徑C上的柯西積分公式11四 柯西積分公式的計(jì)算應(yīng)用12五 參考文獻(xiàn)16對柯西積分公式的認(rèn)識(shí)柯西積分公式是一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式，也可以說是解析函數(shù)的積分表達(dá)式，柯西積分定理和柯西積分公式復(fù)變函數(shù)的基本定理和基本公式，因而成為了研究解析函數(shù)各種局部性質(zhì)的重要工具。首先，柯西積分定理與復(fù)交函數(shù)的積分有著密切的聯(lián)系，為了能更好的對柯西積分公式應(yīng)用和推廣，通過留數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)的積分之間的關(guān)系，有以下的結(jié)論：柯西積分定理實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)為解析函數(shù)的留數(shù)定理；柯西積分公式實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有一階極點(diǎn)的留數(shù)定理；高階導(dǎo)數(shù)公式實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有n+l階點(diǎn)的

3、留數(shù)定理。本文歸簡單給出柯西積分定理與柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理之間的推導(dǎo)關(guān)系。其次，從復(fù)積分求解出發(fā)，柯西積分定理只回答了解析函數(shù)沿閉域內(nèi)任意一周線的積分值為零的問題，并由此導(dǎo)出了著名的柯西積分公式，即解析函數(shù)在C所圍的區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)z的函數(shù)值均可由在C上的積分值完全確定，這也只給出了求解光滑周線域內(nèi)有一個(gè)(或有限個(gè))奇點(diǎn)的復(fù)積分方法，而復(fù)積分的范圍很大，有很多問題都超出了柯西積分定理的條件，因此本文對柯西積分的推廣作了一個(gè)歸納。一 柯西積定理與柯西積分公式1.柯西積分定理我們知道，積分值與路徑有關(guān)或無關(guān)的問題，實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)沿區(qū)域任何閉曲線的積分值是否為零的問題1825年，柯西肯定

4、地回答了上述問題，得到了著名的柯西積分定理1. 柯西積分定理是解析函數(shù)中最重要的基礎(chǔ)定理,解析函數(shù)的很多重要性質(zhì),都是由這個(gè)定理派生出來的.在本文我們只需要知道相關(guān)的兩個(gè)定理： 定理1.（柯西積分定理）設(shè)函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域上解析，為內(nèi)任一條周線，則定理2. （復(fù)周線的柯西積分定理） 設(shè)是復(fù)周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則.或?qū)懗?或?qū)懗?.1. 柯西積分公式 定理3（柯西積分公式） 設(shè)區(qū)域的邊界是周線（或復(fù)周線），函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有 .此式反映了解析函數(shù)值之間很強(qiáng)的內(nèi)在聯(lián)系：在曲線內(nèi)任一點(diǎn)的值可以由在邊界曲線上的值來決定，而實(shí)函數(shù)卻不具有此性質(zhì).證明：復(fù)周線

5、柯西積分定理又可寫成 圖一任意固定，作為的函數(shù)在內(nèi)除點(diǎn)外均解析以點(diǎn)為心，充分小的（即為圖一的）為半徑做圓周，使及其內(nèi)部均含于，對于復(fù)周線及函數(shù)應(yīng)用復(fù)周線柯西積分定理得：而前面我們已經(jīng)知道因此 又根據(jù)的連續(xù)性知對，只要時(shí)，就有 于是由的任意性即知，有 （） 故有 二 留數(shù)定理及其與柯西積分的關(guān)系1. 留數(shù)定理 留數(shù)理論是柯西積分理論的繼續(xù),留數(shù)定理把計(jì)算周線積分的整體問題，化為計(jì)算各孤立奇處留數(shù)的局部問題。留數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)以有限點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，即在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)解析，則稱積分 （，）為在點(diǎn)的留數(shù)，記為.定理4（留數(shù)定理） 在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則（“大范圍”

6、積分） 證明：在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫圓周（），使這些圓周及其內(nèi)部均含于，并且彼此互相隔離，應(yīng)用復(fù)周線柯西積分定理得圖二 .由留數(shù)的定義，有 .代入上式，即有 故由柯西積分定理可以推得留數(shù)定理.2.留數(shù)的求法 為了應(yīng)用留數(shù)定理求周線積分,首先應(yīng)該掌握求留數(shù)的方法.而計(jì)算在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)時(shí)我們只關(guān)心其洛朗展式中的這 一項(xiàng)的系數(shù),所以應(yīng)用洛朗展式求留數(shù)是一般方法.定理5 設(shè)為的一階極點(diǎn)（只要及在點(diǎn)解析，且，），則.定理6 設(shè)為的階極點(diǎn)，其中在點(diǎn)解析，則這里代表且有3.留數(shù)定理與柯西積分的關(guān)系由留數(shù)定理可以推出柯西積分定理、柯西積分公式、

7、高階導(dǎo)數(shù)公式，過程如下：若被積函數(shù)在積分回路內(nèi)為解析函數(shù)，則在內(nèi)無奇點(diǎn)，故被積函數(shù)的留數(shù)為零.由留數(shù)定理，有 此式即為復(fù)變函數(shù)積分的柯西定理：單通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)閉路的積分為零.若被積函數(shù)在積分回路內(nèi)有一階極點(diǎn)，考察積分,其中為積分回路的內(nèi)點(diǎn)，則是被積函數(shù)的一階極點(diǎn).由留數(shù)定理以及一階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式，有 所以 此式即是復(fù)變函數(shù)積分的柯西公式.若被積函數(shù)在積分回路內(nèi)有階極點(diǎn)，考察積分,其中為積分回路的內(nèi)點(diǎn)，則是被積函數(shù)的階極點(diǎn).由留數(shù)定理以及階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式，有 所以三柯西積分公式的推廣1.高階導(dǎo)數(shù)公式由柯西積分公式在積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù),可推測并能證明下面的高階導(dǎo)數(shù)公式.定理7. 設(shè)區(qū)域的

8、邊界是周線（或復(fù)周線），函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有 .這是一個(gè)用解析函數(shù)的邊界值表示其各階導(dǎo)數(shù)內(nèi)部值的積分公式.說明： （1）解析函數(shù)在其解析的區(qū)域內(nèi)可以求導(dǎo)任意多次,（即任意階導(dǎo)數(shù)都存在），并且它們都在D內(nèi)解析，這是解析函數(shù)的又一重要特點(diǎn)。（2）對復(fù)連通區(qū)域，高階導(dǎo)數(shù)公式依然成立（積分沿內(nèi)、外邊界線的正方向進(jìn)行）。（3）高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不在于通過積分來求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來求積分。（求導(dǎo)運(yùn)算比積分運(yùn)算要簡單的多）。2.處的柯西積分公式定理8. 如果函數(shù)在簡單閉曲線的外區(qū)域內(nèi)及上每一點(diǎn)解析，并且，那么 ， 這里的積分是按照反時(shí)針方向選取的.圖三說明：（1）在閉合

9、曲線C的外部解析；（2）當(dāng)時(shí)一致地趨于零；（3）是閉合曲線C的外部的任意一點(diǎn)；（4）積分應(yīng)沿閉曲線C的順時(shí)鐘方向進(jìn)行（相對于閉曲線C外部的區(qū)域而言，依然為沿區(qū)域邊界線的正方向進(jìn)行積分）.3.復(fù)連通區(qū)域中的柯西公式 設(shè)函數(shù)在閉復(fù)連通區(qū)域中解析，的邊界由外邊界線和內(nèi)邊界線，組成。 則函數(shù)在閉復(fù)連通區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)z的函數(shù)值可以用它在邊界上的值表示出來： 圖四說明：在上述積分公式中積分路徑包括復(fù)連通區(qū)域的全部邊界，C=C0+C1-+C2-+Cn-，全部積分均沿所有邊界線的正方向進(jìn)行。（對外邊界線，其正方向?yàn)檠啬鏁r(shí)鐘方向；對內(nèi)邊界線，其正方向?yàn)檠仨槙r(shí)鐘方向.）4.在積分路徑上的柯西積分公式 我們一般討論

10、的復(fù)積分，要求被積函數(shù)在積分路徑上有界，并且奇點(diǎn)不在積分路徑上，這類積分可以直接套用柯西積分定理或柯西積分公式可求，如果積分路徑上存在奇點(diǎn)，就不滿足條件了，就不能用柯西積分定理或柯西積分公式了，此時(shí)一般用復(fù)積分概念，利用極限來求解，但比較復(fù)雜，甚至求不出結(jié)果下面結(jié)合條件相關(guān)知識(shí)，對被積函數(shù)分析變形，針對奇點(diǎn)在積分路徑上的復(fù)積分得出一種新的求解公式定理9. 設(shè)區(qū)域的邊界是周線（或復(fù)周線），在內(nèi)解析，在上連續(xù)，且在上滿足條件，即，則有，（）四 柯西積分公式在積分中的應(yīng)用 柯西積分公式較柯西積分定理的高級(jí)之處在于它可以解決積分曲線內(nèi)有被積函數(shù)的奇點(diǎn)且被積函數(shù)不是特殊函數(shù)的積分問題，它提供了一種計(jì)算積

11、分的方法，更重要的是通過柯西積分公式可以把對解析函數(shù)的研究化為對柯西積分的研究下面舉例說明柯西積分公式公式在積分計(jì)算中的應(yīng)用.例1：求，其中為圓周分析：函數(shù)在內(nèi)解析，在內(nèi)有唯一奇點(diǎn). 可以應(yīng)用柯西積分公式求解.解：是奇點(diǎn)，但是只有在圓周內(nèi)，且在內(nèi)解析，所以例2：求積分，其中為圓周：分析：是被積函數(shù)的奇點(diǎn),且都在的內(nèi)部,不能直接套用柯西積分公式，可以分別應(yīng)用因式分解和復(fù)圍線的柯西定理,將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化成在積分曲線內(nèi)部只有唯一奇點(diǎn)的情形,然后再用柯西積分公式進(jìn)行求解.解法1：先將被積函數(shù)分解為部分分式,再應(yīng)用柯西積分公式.解法2：分別以為圓心, 為半徑作小圓,使，互不相交且都在的內(nèi)部.此時(shí),被積函數(shù)

12、 在,內(nèi)都只有1個(gè)奇點(diǎn),應(yīng)用復(fù)圍線的柯西定理有 再由柯西積分公式，得 例3：計(jì)算積分分析：的兩個(gè)奇點(diǎn)，都在內(nèi)，而的分母的次數(shù)大于2次，用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算.解：在內(nèi)作互不相交互不包含的周線,，使分別包含0和2，由柯西積分定理和高階導(dǎo)數(shù)公式，有 例4：計(jì)算積分,其中分析：有50個(gè)奇點(diǎn)，如果用柯西積分公式計(jì)算會(huì)很麻煩，所以用處的柯西積分公式簡便.解：因?yàn)楹瘮?shù)在解析，并且，所以根據(jù)定理3.3.3可以得到：.例5：計(jì)算積分：.分析：此題如果用廣義積分來求解，計(jì)算繁冗，有一定難度，但通過變形，轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)，利用定理3.3.4來求解就簡單多了解：設(shè)，滿足條件，且的奇點(diǎn)在積分路徑上，由定理3.3.4得 由約當(dāng)引

13、理知，所以.例6：計(jì)算積分： 其中是不通過點(diǎn)0，1的周線分析：依題意積分路徑有3中情形，（I）都在的外部；（II）在的內(nèi)部，而在的外部；（III）在的內(nèi)部，而在的外部；（IV）都在的內(nèi)部.面根據(jù)分析的四中情況分別求出其積分值解：（i)若都在的外部，則被積函數(shù)在以為邊界的閉域上解析.由柯西積分定理知 （ii)若在的內(nèi)部，而在的外部，則由復(fù)周線的柯西積分定理知 其中是以為心且包含在內(nèi)部的任意小圓周 (iii)若在的內(nèi)部，而在的外部，同理有 其中是以為心且包含在內(nèi)部的任意小圓周 (iv)若都在的內(nèi)部，則由復(fù)圍線的柯西積分定理知 小結(jié)：柯西積分公式可寫為 柯西積分公式是解析函數(shù)的積分表達(dá)式，在中任意值可由它表示，即用邊界值確定內(nèi)部值 使用柯西積分公式的關(guān)鍵是要在內(nèi)處處解析，且應(yīng)在內(nèi). 若被積函數(shù)在內(nèi)只有個(gè)奇點(diǎn)則可以直接應(yīng)用柯西積分公式；若被積函數(shù)在內(nèi)有個(gè)以上奇點(diǎn)，則可以先將被積函數(shù)分解為部分分式，使每個(gè)積分的被積函數(shù)在內(nèi)只有個(gè)奇點(diǎn)，再應(yīng)