普通高等教育十一五國家級規(guī)劃教材

1、普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材大學(xué)數(shù)學(xué)系列線 性 代 數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)(A、B)吉林大學(xué)數(shù)學(xué)中心2012.9學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 一 章 作 業(yè)（矩陣的運算與初等變換）1、計算題（1）；（2）；（3）；（4）.2、計算下列方陣的冪：（1）已知=（1，2，3），=（1，-1，2），A=T，求A4;（2）已知，求n;3、通過初等行變換把下列矩陣化為行最簡形矩陣：（1）（2）.4、用初等變換把下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：（1）；（2）.5、利用初等矩陣計算：（1）；（2）已知AX=B，其中 求X. 6、設(shè)若矩陣A與B可交換，求a、b的值. 7、設(shè)A、B均為n階對稱矩陣，證明AB+BA是n階對稱矩

2、陣.學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 二 章 作 業(yè) （方陣的行列式）1、填空題（1）排列52341的逆序數(shù)是_,它是_排列；（2）排列54321的逆序數(shù)是_,它是_排列；（3）19這九數(shù)的排列1274i56j9為偶排列，則i_， j_；（4）4階行列式中含有因子a11a23的項為_；（5）一個n階行列式D中的各行元素之和為零，則D =_.2、計算行列式 展開式中x4與x3的系數(shù).3、計算下列各行列式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.4、設(shè)4階行列式的第2列元素依次為2、m、k、1，第2列元素的余子式依次為1、-1、1、-1，第4列元素的代數(shù)余子式依次為3、1、4、5，且行列式的值為2，

3、求m、k的值.5、設(shè)3階矩陣，其中， ， 1， 2均為3維行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 三 章 作 業(yè) （可逆矩陣）1、 填空題（1）設(shè)A，A為A的伴隨矩陣，則(A)= ；（2）設(shè)A為4階數(shù)量矩陣，且|A|=16，則A ， ，A ；（3）設(shè)A，則A ，A ；（4）設(shè)實矩陣A0，且，（為的代數(shù)余子式），則A ；（5）設(shè)A為2階方陣，B為3階方陣，且A，則 .2、選擇題（1）設(shè)同階方陣A、B、C、E滿足關(guān)系式ABC=E，則必有（ ）.（A）ACB=E； （B） CBA=E； （C） BAC=E； （D） BCA=E.（2）若A，B為同階方陣，且滿足A

4、B0，則有（）.（A）AO或BO； （B）|A|0或|B|0；（C）(AB)AB；（D）A與B均可逆.（3）若對任意方陣B，C，由AB=AC（A，B，C為同階方陣）能推出B=C，則A滿足（）.（A）AO； （B）AO；（C）|A|0； （D）|AB|0.（4）已知A為n階非零方陣，若有n階方陣B使ABBAA，則（）.（A）B為單位矩陣；（B）B為零方陣；（C）BA；（D）不一定.（5）若A，B，(B+A)為同階可逆方陣，則(B+A)（）. （A）B+A； （B）BA； （C）(B+A)； （D）B(B+A)A.3、求下列矩陣的逆矩陣：（1）求的逆矩陣；（2）求的逆矩陣.4、已知，求解下列矩陣方

5、程：（1）AX=X+C ; (2) AXB=C.5、設(shè)A為n階可逆矩陣，將A的第i行和第 j行對換后得矩陣B，試證： （1）B可逆；（2）求AB-1.6、設(shè)，求矩陣A的秩.7、設(shè)矩陣且滿足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.8、設(shè)A為矩陣，B為矩陣，且mn，試證|AB|0.學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 四 章 作 業(yè) （線性方程組與向量組的線性相關(guān)性）1、填空題（1）設(shè)=（3，- 4）， 1=（1，2）， 2=（-1，3），則表成1，2的線性組合為 ；（2）設(shè)向量組1=（1，1，0），2=（1，3，-1），3=（5，3，t）線性相關(guān)，則t= ；（3）設(shè)向量組1=（1，1，0），2=（

6、1，3，-1），3=（5，3，t）的秩為3，則參數(shù)t應(yīng)滿足的條件是 ； （4）n元線性方程組Ax=0有非零解時，它的每一個基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)均為 ；（5）設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且R(A)=n-1，則方程組Ax=0的通解為 .（6）設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A，且存在3階非零矩陣B使得，則 .2、選擇題（1）設(shè)，1，2線性相關(guān)，2，3線性無關(guān)，則正確的結(jié)論是（ ）.（A）1，2，3線性相關(guān)； （B）1，2，3線性無關(guān)；（C）1可由，2，3線性表示； （D）可由1，2線性表示.（2）設(shè)1，2，3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）.（A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，

7、1+3；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1.（3）設(shè)n元線性方程組Ax=0，且R(A)=n-3，且1，2，3為線性方程組Ax=0的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為（ ）.（A）1+2，2+3，3+1； （B）2 -1，3 -2，1 -3；（C）22 -1，3 -2，1 -3； （D）1+2+3，3-2，-1-23.（4）設(shè)1，2是n元線性方程組Ax=0的兩個不同的解向量，且R（A）=n-1，k為任意常數(shù)，則方程組Ax=0的通解為（ ）.（A）k1； （B）k2； （C）k(1-2)； （D）k(1+2).（5）設(shè)向量組1，2是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系

8、，1，2是方程組Ax=b的兩個解向量，k1，k2是任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解為（ ）. （A）; （B）（C） （D）（6）設(shè)非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組為Ax=0，則下面結(jié)論中正確的是（ ）.（A）若Ax=0有唯一解，則Ax=b必有唯一解；（B）若Ax=0有唯一解，則Ax=b必?zé)o解；（C）若Ax=0有無窮多個解，則Ax=b也有無窮多個解；（D）若Ax=b有無窮多個解，則Ax=0也有無窮多個解.3、設(shè)1，2，3是4元非齊次線性方程組Ax=b的三個解向量，且R（A）=3，其中求Ax=b的通解.4、求解齊次線性方程組 5、求解非齊次線性方程組6、設(shè)向量組試問（1）當(dāng)a、b為

9、何值時，能由1，2，3，4唯一線性表示？ （2）當(dāng)a、b為何值時，不能由1，2，3，4線性表示？（3）當(dāng)a、b為何值時，能由1，2，3，4線性表示，但表示法不唯一，并寫出表示式.7、已知4階方陣A=（1，2，3，4），其中1，2，3，4均為4維的列向量，且2，3，4線性無關(guān)，1 = 22 - 3， 如果 = 1 + 2 + 4，求線性方程組Ax=的通解.8、求向量組的秩，并求出它的一個極大無關(guān)組.9、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為1，2，n-r，且*為Ax=b的一個特解，試證1，2，n-r，*線性無關(guān).學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 五 章 作 業(yè) （方陣的特

10、征值、特征向量與相似化簡）1、填空題（1）A為冪零矩陣(AkO，k為正整數(shù))，則A的特征值 ；（2）設(shè)A是n階方陣，|A|5，則方陣 BAA*的特征值是 ，特征向量是 ；（3）設(shè)4階方陣A相似B，且A的特征值為，則|B-1-E|= ；（4）若是n階方陣A的特征方程的單根，則R(AE) ；（5）若n階可逆矩陣A的每行元素之和均為a，則2A-1+E的一個特征值為 .2、選擇題（1） 設(shè)三階方陣A有特征值0，1，1，其對應(yīng)的特征向量為P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，則P1AP（ ）.(A) ；(B) ；(C) ；(D) .（2）與矩陣相似的矩陣是（ ）.（3）矩陣A與B相似，則（ ）.

11、(A) |AE| = |BE| ； (B) AE = BE ； (C) A與B與同一對角陣相似； (D) 存在正交陣P，使得P1APB.（4） n階方陣A與某對角矩陣相似，則（ ）. (A) R(A)= n； (B) A有n個不同的特征值； (C) A是實對稱陣； (D) A有n個線性無關(guān)的特征向量.（5）設(shè)矩陣相似A，則R（A-2E）+R（A-E）= （ ）.(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5.3、計算題（1）設(shè)=（a1，a2，an）T，（a10，n1），AT，求A的特征值和特征向量.（2）設(shè)3階方陣A的特征值為1，2，3，矩陣BA22A，求: B的特征值； B是否可對角化

12、，若可以，試寫出其相似對角形矩陣； 求 |B|， |A2E| .（3）在實數(shù)域上，設(shè)4階實方陣A有兩個不同的特征值，且滿足條件AAT=2E，|A|0，求A*的兩個特征值.（4）設(shè)有3階方陣A滿足A3-5A2+6A=O，且trA=5，|A|=0，試求A的特征值，并判定A能否相似于對角矩陣，若能，求出相似的對角矩陣.（5）設(shè)A 與 B 相似， 求a，b； 求一個可逆矩陣C，使C1ACB.（6） 設(shè)三階矩陣A滿足Aiii (i1,2,3)，其中列向量1(1,2,2)T，2(2,2,1)T，3(2,1,2)T，試求矩陣A.（7）設(shè)矩陣相似于,求a；可逆矩陣P和對角矩陣，使P-1AP= .4、證明題（1

13、）設(shè)實方陣A滿足ATA=E，試證明A的實特征向量所對應(yīng)的特征值的絕對值等于1（2）設(shè)A是n階正交矩陣，且|A|1，證明 1是A的一個特征值.學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 六 章 作 業(yè) （二次型與對稱矩陣）1、 填空題 (1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)x12+3x22x32+2x1x2+2x1x33x2x3的矩陣是 ，秩是 .(2)二次型f(x1，x2，x3) 的矩陣為 .(3) 設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得PTAP=B，其中P = . (4) 二次型f(x1，x2，x3)2x12+x22+x322tx1x2+2x1x3 正定時，t應(yīng)滿足的條件是 . (5) 設(shè)A為實對稱矩陣，且|A|0

14、，則把二次型fxTAx化為fyTA1y的線性變換是x y . 2、 選擇題 (1) 實二次型fxTAx為正定的充分必要條件是（ ）. (A) R(A) = n； (B) A的負(fù)慣性指數(shù)為零； (C) |A| > 0 ； (D) A的特征值全大于零. (2)設(shè)則A與B的關(guān)系為（ ）.(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同. （3）設(shè)矩陣正定，則相似的對角矩陣為（ ）.(A)； (B) ； (C) ； (D) .(4) 設(shè)A、B為n階正定矩陣，則（ ）是正定矩陣.(A) k1Ak2B； (B) A*+B*； (C) A1B1 ； (D)

15、 AB.(5) 設(shè)A=（aij）n×n為實對稱矩陣，二次型為正定的充要條件是（ ）.（A）|A|=0； （B）|A|0； （C）|A|0； （D）|A|0.3、計算題(1) 已知二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x22+cx322x1x2+6x1x36x2x3的秩為2，求c.(2) 設(shè)二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32. 求一個正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換； 用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換； 用合同變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換.(3) 求一正交變換，將二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x2

16、2+3x322x1x2+6x1x36x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并指出f(x1，x2，x3)1表示何種二次曲面.(4) 求二次型f(x1，x2，x3)x12+3x322x1x2+4x1x3+2x2x3的正、負(fù)慣性指數(shù)及符號差. (5) 設(shè)n元二次型f(x1，x2，xn)(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2其中ai(i=1,2,n)為實數(shù)，試問當(dāng)a1， a2，an-1， an滿足什么條件時，二次型f(x1，x2，xn)為正定二次型？4、證明題（1）設(shè)f(x1，x2，xn)xTAx 是一實二次型，1，2，n是A的特征值,且12 n.證明對于任一實n

17、維列向量x有1xTxxTAx n xTx. （2）設(shè)A是n階正定矩陣，證明|A2E|>2n.（3）設(shè)Am×n為實矩陣，若R（A）=n，試證ATA為正定矩陣.（4）設(shè)A為m階的正定矩陣，B為m×n實陣，試證BTAB正定的充分必要條件是R（B）=n.學(xué)院 班級 姓名 學(xué)號 第 七 章 作 業(yè) （線性空間與線性變換）1、 下列集合對于給定的運算是否構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間，如果是，找出一個基，并求維數(shù).（1）V0=x=(0,x2,xn)| x2,xnR,對于通常向量的加法和數(shù)乘；（2）V1= x=(1,x2,xn)| x2,xnR,對于通常向量的加法和數(shù)乘；（3）全體n階實

18、矩陣集合Rn×n，定義 加法：A、BRn×n ABABBA 數(shù)乘：按通常的矩陣數(shù)乘.（4） S a，bR ，對于通常矩陣的加法和數(shù)乘；（5）V= x=(x1,x2,xn)| x1+x2+xn=0；x1, x2,xnR,對于通常向量的加法和數(shù)乘.2、 全體實反對稱矩陣的集合W,對于通常矩陣的加法和數(shù)乘是否構(gòu)成Rn×n 的子空間？為什么？3、求線性空間R4中由向量組所生成的子空間的維數(shù)和一個基.4、求數(shù)域F上三階實對稱矩陣在通常的矩陣的加法和數(shù)乘下構(gòu)成的線性空間的基與維數(shù).5、設(shè)線性空間Rn×n中一組基， ， ， ，求在這組基下的坐標(biāo). 6. 已知1，x，x

19、2，x3是Rx4的一組基：(1) 證明 1，1x，(1x)2，(1x)3也是 Rx4的一組基；(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1x，(1x)2，(1x)3的過渡矩陣；(3) 求由基1，1x，(1x)2，(1x)3到基1，x，x2，x3的過渡矩陣；(4) 求a3x3a2x2a1xa0對于基1，1x，(1x)2，(1x)3的坐標(biāo). 7、設(shè)R3的兩組基分別為 及 求R3中的向量=（a1,a2,a3）T分別在這兩組基下的坐標(biāo). 8、 設(shè)有兩組基 1(0，1，1)T , 2 = (1，0，1)T，3 = (1，1，0)T； 1(1，0，0)T , 2 = (1，1，0)T，3 = (1，1，1)

20、T.求（1）由基1，2 ，3到基1，2 ，3的過渡矩陣C；（2）132 53關(guān)于基1，2 ，3的坐標(biāo)；122 33關(guān)于基1，2 ，3的坐標(biāo).9、驗證為R3的一個基，并求向量在這組基下的坐標(biāo). 10. 設(shè)R3中由基1，2 ，3到基1，2，3的過渡矩陣為. (1) 若基1 = (1，0，0) ，2 = (1，1，0)，3 = (1，1，1) ，試求基1，2 ，3； (2) 若基1 = (0，1，1) ，2 = (1，0，2)，3 = (2，1，0)，試求基1，2 ，3. 11. 在Rx3中有三組基 (1) 1，x，x2； (2) x1，xx2，x2； (3) 1，xx2，xx2.在基(1)下的坐標(biāo)

21、為(1，0，1)T，在基(2)下的坐標(biāo)為(2，1，0)T，在基(3)下的坐標(biāo)為(0，1，1)T，求在基1，x，x2下的坐標(biāo)，并求由基(2)到基(3)的過渡矩陣.12、已知R3中的兩個基分別為 及 ，且由基1，2 ，3到基1，2 ，3的過渡矩陣為，試求a、b、c、x、y、z.線性代數(shù)A模擬試卷一、填空題（每小題3分、共計18分）（1） 設(shè)向量組線性相關(guān)，則t=_.（2） 設(shè)向量，令，則A = _.（3） 設(shè)為正定二次型，則 t的取值范圍是_.（4） 設(shè)A、B均為n階方陣，且|A| = 2，|B| = - 4，則=_.（5）設(shè)A為5階方陣，且滿足A2+A=E，則R(A+E)= .（6） 設(shè)A為n階

22、可逆矩陣，將A的i， j兩行對換后得矩陣B，則|AB-1|= _. 二、單項選擇題（每小題3分，共計18分）（1）設(shè)n階方陣A、B、C滿足ABC=E，則下面的結(jié)論正確的是（ ）.(A) ACB = E； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E.（2）設(shè)向量b 能由1，2，3 線性表示，但不能由1，2線性表示，則下面結(jié)論正確的是（ ）.（A）3不能由1，2線性表示，但能由b，1，2線性表示； （B）3不能由1，2線性表示，也不能由b ，1，2線性表示；（C）3能由1，2線性表示，但不能由b ，1，2線性表示；（D）3能由1，2線性表示，也能由b，1，2線性

23、表示.（3）設(shè)A為n階方陣，且R（A）= n-1， 1，2是Ax = 0的兩個不同的解向量k為任意的常數(shù)，則Ax = 0的通解為（ ）.（A）k1； （B）k2； （C）k（1-2）； （D）k（1+2）.（4）設(shè)有4階方陣A滿足條件 |A+3E| = 0，|A|0, 則（ ）為A*的一個特征值.（A） 4； （B）-3； （C）； （D）.（5）已知矩陣，則B =（ ）.（A）AP1P2； （B）P2P1A； （C）P1P2A； （D）P1A P2.（6）設(shè)4階行列式的第2列元素依次為2、m、k、3，第2列元素的余子式依次為1、-1、1、-1，第3列元素的代數(shù)余子式依次為3、1、4、2，且行

24、列式的值為1，則m、k的值為（ ）.（A）4、2； （B）-4、2； （C）4、-2； （D）-4、-2.三、計算題（每小題6分，共計36分）1、設(shè)三階方陣A、B滿足關(guān)系式且求A.2、驗證為R3的一個基，并將用這個基線性表示.3、已知矩陣 與相似，求x,y. 4、 設(shè)四元線性方程組Ax= b,且R（A）= 3，已知是其三個解向量，其中 ，求Ax= b的通解.5、已知向量組1，2，3線性無關(guān)，若1+22，42+k3，33+21線性相關(guān)，求k. 6、設(shè)矩陣求R(A)及A的列向量組的一個極大無關(guān)組.四、（12分）已知4階方陣A=（a1，a2，a3，a4），其中a1，a2，a3，a4均為4維的列向量，

25、并且a2，a3，a4線性無關(guān)，而3a1= -2a2-a3，若b=a1+a2+a3+a4，求Ax=b 的通解.五、（10分）已知矩陣A有三個線性無關(guān)的特征向量，=2是A的二重特征值，求一個正交矩陣P使P-1AP=.六、（6分）設(shè)有3階實對稱矩陣A滿足A2-2A=0，已知R(A)=2.寫出用正交變換將二次型f =xT(A+E)x化成的標(biāo)準(zhǔn)形（不需求出所用的正交變換）；判斷二次型f =xT(A+E)x的正定性；令B= A+E，試判斷B的列向量組的線性相關(guān)性.線性代數(shù)A模擬試卷一、 填空題（每小題3分、共計18分）（1） 設(shè)向量組線性無關(guān)，則t_.（2） 設(shè)向量，令，則An = _.（3） 設(shè)為正定二

26、次型，則 t的取值范圍是_.（4） 設(shè)A、B均為3階方陣，且|A| = 2，|B| = - 4，則|2A*B-1|=_.（5） 設(shè)A為3階方陣，且滿足A2-A=E，則R（A-E）= _.（6） 設(shè)3階矩陣A可相似于對角矩陣，且A的每行元素之和都等于3，R(A)=1，則a11+a22+a33= _.二、 單項選擇題（每小題3分，共計18分）（1）設(shè)n階方陣A、B、C滿足CAB=E，則下面的結(jié)論正確的是（ ）.(A) ACB = E； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) ABC = E.（2）已知b 可由a1，a2，a3線性表示，而b不能由a1，a2線性表示，則下面結(jié)論正確的是（ ）.（A）a3 能由a1，a2，b 線性表示，也能由a1，a2線性表示； （B）a3 能由a1，a2，b 線性表示，但不能由a1，a2線性表示； （C）a3不能由a1，a2，b 線性表示，也不能由a1，a2線性表示； （D）a3不能由a1，a2，b 線性表示，但能由a1，a2，線性表示.（3）已知正