高中數(shù)學：第一章解三角形3正弦定理和余弦定理(強化練)

1、ruize正弦定理和余弦定理（強化練）a9-AA 29,24、選擇題1.已知 ABC 中，a=4, b=4 辱 A= 30° ,則 B 等于（）A. 30°B. 30° 或 150°C. 60°D. 60° 或 120°解析：選 D.由一 = 3,得 sin B=bsLA, sin A sin Ba將 a = 4, b=4，3, A=30° , 代入得 sin B=443sin 30。=3,又 a<b, 0° <B<180°所以B = 60°或120°2.在

2、 ABC中，已知角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且 a = 3, c= 8, B = 60 ,則ABC的周長是（）A. 17B. 19C. 16D. 18解析：選 D.由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B,有 b2= 9+ 6424,即 b = 7,則 a+b +c=18.故選 D.3.在銳角三角形 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,若b=2asin B,則角A等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D, 75°解析：選A.因為b=2asin B,所以利用正弦定理的變式得sin B= 2sin

3、Asin B.因為 sin Bw0, / A 為銳角, 所以 sin A = 2,所以 ZA=30° .4.在 ABC中，已知a=17, b=24, A=45° ,則此三角形解的情況為（）A.無解C. 一解D.解的個數(shù)不確定解析：選B.由正弦定理得sin B = bsin A=吟F<1 ,即sin B<1,因為A = 45° ,所以Ba 17有兩解，即三角形有兩解.15. 4ABC的兩邊長分別為2, 3,其夾角的余弦值為",則其外接圓的半徑 R為（）B.ruizeCUC. 8解析：選 C.不妨設(shè) c=2, b=3,則 cos A=；, sin

4、 A = 232.因為 a2= b2+c22bccos A,所以 a2= 32+ 222X 3X 2X1=9,所以 a= 3.因為一a= 2R,所以 R= a=一=羋 3sin A2sin A 2 282r6.在ABC中，角A, B,C所對的邊分別為a, b, c, A=2，a=®,則黑B=（） 3sin cB. 2A. 1C. 3D. 4解析：選A.由余弦定理，得cos A=b2+c2a2 b2+c23c22bc2bc1 ,-2,故 b=c或 b=- 2c(舍去），所以b=1，由正弦定理，得黑=b=1，故選A.A b+ c7 .在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b,

5、c,且cos22 =,則ABC是（）A.直角三角形8 .銳角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解析：選A.在ABC中，因為cos2A =噤，所以此詈=小2，所以cos A= b.由余弦定理,知 得更=3所以b2+c2-a2=2b2，即a2+b2=c2,所以4ABC是直角三角形.8. (2018安徽師大附中期中)在4ABC中，內(nèi)角-b2= V3bc, sin C=2>/3sin B,則 A=()A, B,C的對邊分別是a, b, c,若a2A. 30°B.60°C. 120°D.150°解析：選A.因為sin C=2*sin B,所以c= 243

6、b.因為a2 b2=V3bc,所以 a2 b2 c2= /3bcc2,所以 b2+ c2 a2 = c2 >/3bc,所以 cos A =b2+ c2 a2 c23bc c22bc2bc 2bc冬映手邛,所以A= 30。.9.在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中，AB = 3, BC = 4, CD=5, AD = 6,則 cos A =()1A.61B.12ruize1 C.191D.2i解析：選 C.在4ABD 中，BD2= AB2+AD2 2AB ADcos A,在 CBD 中，BD2= BC2 +CD22BC CDcos C.因為 cos C=- cos A,所以 AB2+AD2-2AB

7、 ADcos A= BC2+CD2 +2BC CDcos A.代入數(shù)值可得cos A=±. 1910. (2017高考全國卷 I)4ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為 a、b、c.已知sin B + sinA(sin C cos C)=0, a= 2, c= "y2,貝U C=()兀B.6兀C.4兀D.3解析：選 B.因為 sin B+sin A(sin C cos C)= 0,所以 sin(A+ C)+ sin A sin C sin A cosC=0,所以 sin Acos C + cos Asin C+sin Asin C sin Acos C = 0,整理得 sin

8、 C(sin A+cos A)一一 一一 3 兀=0,因為 sin Cw 0,所以 sin A+ cos A = 0,所以 tan A= 1,因為 A (0,兀)，所以 A=,i A V2x乎由正弦定理得 sin C = -=：,又 0<C<所以 C=.故選 B.a2246二、填空題11. ABC 中,如-a + b + cA=60 , a=3，則 $所 A + sin B+ sin C解析：由題知,設(shè) ABC外接圓半徑為R,貝 U 2R=sin A sin B sina+ b+ c= 2R= 2 3.2R ( sin A+ sin B+ sin C)sin A+ sin B +

9、sin C sin A+ sin B+sin C答案: 2事12.在4ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a, b, c,若(a2 + c2 b2)tan B=43ac.則角B的值為a2+c2-b2斛析：因為cos B= 2ac '所以 a2+c2 b2 = 2accos B,所以由題意可得 2accos B - tan B = y3ac, 所以sin B = g所以Bj或3兀.答案: K兀 3313. 4ABC 的三個內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c, asin Asin B+bcos2A =42a, 貝盧=.a解析：由正弦定理 sin2Asin B+sin

10、 B - cos2A =42sin A,即 sin B (sin2A+cos2A) = J2sin A.所以 sin B = J2sin A,所以 b= sn-B= J2.a sin A ,答案:艱14. E, F是等腰直角三角形 ABC斜邊AB上的三等分點，則tan/ECF=.解析：不妨設(shè) AB = 6 , AC = BC = 3 J2 ,由余弦定理得 CE = CF = <AE2+AC2-2AE ACcos 45° =y10,再由余弦定理得 cos/ ECF =今 所以 sin/ECF = 5， 所以 tan/ ECF =34.答案: 34三、解答題15.在4ABC中，a2

11、 + b2-mc2=0（m為常數(shù)），且整+ =舞,求m的值解：由余弦定理c2 = a2+ b2- 2abcos C,得 a2+ b2= c2+ 2abcos C,由 a2+ b2mc2= 0,得 c2+2abcos C= mc2,即 2abcos C=(m 1)c2.cos Csin C'結(jié)合正弦定理，得 2sin Asin Bcos C= (m1)sin2C,又由cos A, cos B-_r+ _o sin A sin Bcos Asin B+ cos Bsin Asin Asin B_sin (A+B) cos C sin Asin B sin C '即 sin Asin

12、 Bcos C= sin2C,得 m 1 = 2,故 m= 3.4.316.已知在 ABC 中，BC=15, AB ： AC=7： 8, sin B=,求 BC 邊上的局 AD 的 長.解：在4ABC 中，設(shè) AB=7x,則 AC = 8x,由正弦定理，得7x 8xsin C sin B則 sin C =7xsin B 7)(4“3.38x =87=2,所以C=60°或C = 120° (舍去).再由余弦定理，得(7x)2=(8x)2+1522X8xX 15X cos 60° ,所以 AB = 21 或 AB=35.在4ABD 中，AD = ABsin B = 4

13、3AB,所以 AD = 12服或 AD= 20/3.17. (2018康杰中學期中檢測)已知在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別是a, b, c,a c3cos A sin C.求A的大?。?2)若a=6,求b+c的取值范圍.解：(1)由正弦定理，得 一a-=-a-,3cos A sin A整理得 sin A=U3cos A,即 tan A = J3.兀又0<A<兀，所以A =. 3(2)因為sin B sin C6-=4/3,所以 b=4/sin B, c= 4/sin C,則 b+c= 473sin Bsin I+ 45sin C=4/sin B+sin / B = 12

14、sin b+ .因為 0<B<2jL, 31兀兀所以2<sin B+ W1(當且僅當B=3時，等號成立),得 6<b+c< 12,于是b+c的取值范圍是(6, 12.18.在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 a2(bc)2= (2 J3)bc, sinAsin B= cos2j, BC邊上的中線AM的長為"(1)求角A和角B的大?。?2)求 ABC的周長.解：(1)由 a2-(b-c)2= (2-V3)bc,得 a2-b2-c2=-V3bc,1.；3所以cos A=b2+ c2 a22bc兀又0<A<兀,所以A =.C 11 + cos C由 sin Asin B=cos2-,得 2si