2.示范公開課教案(1.2用二分法求方程的近似解)

1、3.1.2用二分法求方程的近似解整體設(shè)計教學分析求方程的解是常見的數(shù)學問題，這之前我們學過解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精確解較難.本節(jié)從另一個角度來求方程的近似解，這是一種嶄新的思維方式，在現(xiàn)實生活 中也有著廣泛的應(yīng)用 用二分法求方程近似解的特點是：運算量大，且重復相同的步驟，因 此適合用計算器或計算機進行運算.在教學過程中要讓學生體會到人類在方程求解中的不斷進步.三維目標1 .讓學生學會用二分法求方程的近似解，知道二分法是科學的數(shù)學方法2 .了解用二分法求方程的近似解特點，學會用計算器或計算機求方程的近似解，初步了解算 法思想.3 .回憶解方程的歷史，了解人類解方程的進步歷程，激發(fā)

2、學習的熱情和學習的興趣重點難點用二分法求方程的近似解.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.（情景導入）師：（手拿一款手機）如果讓你來猜這件商品的價格，你如何猜？生1:先初步估算一個價格，如果高了再每隔10元降低報價.生2:這樣太慢了，先初步估算一個價格，如果高了每隔100元降低報價.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔 20元降低報價；如果低了，每隔 10元上升報價生3:先初步估算一個價格， 如果高了，再報一個價格；如果低了，就報兩個價格和的一半； 如果高了，再把報的低價與一半價相加再求其半， 報出價格；如果低了，就把剛剛報出的價 格與前面的價格結(jié)合起來取其和的半價 師：在現(xiàn)實生活中我們

3、也常常利用這種方法.譬如，一天，我們?nèi)A莊校區(qū)與錫南校區(qū)的線路出了故障，（相距大約3 500米）電工是怎樣檢測的呢？是按照生1那樣每隔10米或者按照生2那樣每隔100米來檢測，還是按照生3那樣來檢測呢？生：（齊答）按照生3那樣來檢測.師：生3的回答，我們可以用一個動態(tài)過程來展示一下（展示多媒體課件，區(qū)間逼近法 ）.思路2.（事例導入）有12個小球，質(zhì)量均勻，只有一個球是比別的球重，你用天平稱幾次可以找出這個球，要求次數(shù)越少越好.（讓同學們自由發(fā)言，找出最好的辦法）解：第一次，兩端各放六個球，低的那一端一定有重球第二次，兩端各放三個球，低的那一端一定有重球第三次，兩端各放一個球，如果平衡，剩下的就

4、是重球，否則，低的就是重球其實這就是一種二分法的思想，那什么叫二分法呢？推進新課新知探究提出問題解方程2x-16=0.解方程x2-x-2=0.解方程 x3-2x2-x+2=0.解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.我們知道，函數(shù) f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點進一步的問題是，如何找出這個零點的近似值？取中點”后，怎樣判斷所在零點的區(qū)間？什么叫二分法？試求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2, 3)內(nèi)零點的近似值.總結(jié)用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟.思考用二分法求函數(shù)零點近似值的特點.討論結(jié)果： x=8. x=-1,x=2. x=-1,x=1,x=2.x= - -

5、2 ,x= . 2 ,x=1,x=2.如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值.為了方便，我們通過取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.取中點” 丁般地，a b我們把x=9-b稱為區(qū)間(a,b)的中點 2比如取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)<0,因為f(2.5) f(3)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,3) 內(nèi).對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a) f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)的零點所在 的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).因為

6、函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 ,用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的對應(yīng)值表.x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知，f(2)<0,f(3)>0,則f(2) f(3)<0,這說明f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點x°,取區(qū)間(2, 3)的中點 Xi=2.5,用計算器算得 f(2.5) -0.084,因為 f(2.5) f(3)<0 ,所以 x。1(2.5,3).同理,可得表(下表)與圖象(如圖3-1-2-1).區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2,3)12.

7、5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001圖 3-1-2-1由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零點所在的范圍確實越來越小了.如果重復上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小(見上表).這樣，在一定的精確度下，我們可以在有限次重

8、復相同 步驟后，將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任意一點作為函數(shù)零點的近似值.特別地，可以將區(qū)間端點作為函數(shù)零點的近似值.例如，當精確度為0.01時，由于 |2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01 , 所以，我們可以將 x=2.53-1-2-5 作為函數(shù) f(x)=lnx+2x-6 零點的近似值.給定精度e,用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下：1 °確定區(qū)間a,b,驗證f(a) f(b)<0 ,給定精度 £ .2°求區(qū)間(a,b)的中點c.3 °計算 f(c):a.若f(c)=0 ,則c就是函數(shù)的零點;b.

9、若 f(a) f(c)<0 ,則令 b=c此時零點 xoC (a,c);c.若 f(c) f(b)<0 ,則令 a=c此時零點 xoC (c,b).4。判斷是否達到精度g即若|a-b|<產(chǎn)則得到零點值 a(或b);否則重復步驟 24。.由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解.由于計算量較大，而且是重復相同的步驟，因此，我們可以通過設(shè)計一定的計算程序，借助計算器或計算機完成計算. 應(yīng)用示例思路1例1借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度為0.1).活動：師生共同探討交流，引出借助函數(shù)f(x)=2x+3x-7的圖象，能夠縮小根所在區(qū)間

10、，并根據(jù)f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在區(qū)間(1,2);引發(fā)學生思考，如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間；共同探討各種方法，引導學生探尋出通過不斷對分區(qū)間，有助于問題的解決；用圖例演示根所在區(qū)間不斷被縮小的過程，加深學生對上述方法的理解；引發(fā)學生思考在有效縮小根所在區(qū)間時，到什么時候才能達到所要求的精確度學生簡述上述求方程近似解的過程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用計算器或計算機做出函數(shù)f(x)=2 x+3x-7的對應(yīng)值表與圖象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273圖 3-1-2-2觀察圖表可知f(

11、1) f(2)<0,說明這個函數(shù)在區(qū)間(1, 2)內(nèi)有零點xo.取區(qū)間(1, 2)的中點x=1.5,用計算器算得f(1.5) 0.33.因為 f(1) f(1.5)<0,所以 XoC (1,1.5).再取區(qū)間(1, 1.5)的中點x=1.25,用計算器算得f(1.25) -0.87.因為 f(1為5) f(1.5)<0,所以 X0C (1.25,1.5).同理,可得，x°e (1.375,1.5) , Xo C (1.375,1.4375).由于 |1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取為1.4375.例2利用計算器，求方

12、程x2-2x-1=0的一個近似解(精確度0.1).活動：教師幫助學生分析：畫出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象，如圖3-1-2-3所示.從圖象上可以發(fā)現(xiàn)，方程x2-2x-1=0的一個根x1在區(qū)間(2, 3)內(nèi)，另一個根x2在區(qū)間(-1, 0)內(nèi).根據(jù)圖象，我們發(fā)現(xiàn)f(2)=-1<0 , f(3)=2>0 ,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2, 3)上穿過x軸一次, 即方程f(x)=0在區(qū)間(2, 3)上有唯一解.圖 3-1-2-32 3 1計算得f(-)= ->0,發(fā)現(xiàn)xC(2, 2.5)(如圖3-1-2-3),這樣可以進一步縮小x1所在的區(qū)間.解：設(shè)f(x)=x 2-2x-1 ,

13、先畫出函數(shù)圖象的簡圖，如圖 3-1-2-3.因為 f(2)=-1<0 , f=2>0 ,所以在區(qū)間(2, 3)內(nèi)，方程x2-2x-1=0有一解，記為x1.取2與3的平均數(shù) 2.5,因為f(2.5)=0.25>0 ,所以 2<x1<2.5.再取2與2.5的平均數(shù) 2.25,因為f(2.25)=與.437 5<0 ,所以 2.25<x1<2.5.如此繼續(xù)下去，得 f(2)<0, f(3)>0= x1 (2,3),f(2)<0,f(2.5)>0 = x1 C (2,2.5),f(2.25)<0 , f(2.5)>0

14、= xi C (2.25,2.5),f(2.375)<0 , f(2.5)>0 = xi C (2.375,2.5),f(2.375)<0 , f(2.437 5)>0 口 xi C (2.375,2.437 5).因為2.375與2.437 5精確到0.1的近似值都為2.4,所以此方程的近似解為x1 = 2.4.點評：利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個近似解 思路2例1利用計算器，求方程lgx=3-x的近似解(精確度0.1).活動：學生先思考或討論后再回答，教師點撥、提示并及時評價學生分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖 3124所示.在兩個函數(shù)圖象的交點處

15、，函數(shù)值相等 因此，這個點的橫坐標就是方程lgx=3-x的解.由函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=3-x有唯一解，記為xi,并且這個解在區(qū)間(2, 3)內(nèi).圖 3-1-2-4解：設(shè)f(x)=lgx+x-3 ,設(shè)x1為函數(shù)的零點即方程lgx=3-x的解.用計算器計算，得f(2)<0 , f(3)>0 = xi C (2,3),f(2.5)<0 , f(3)>0 = xi C (2.5,3),f(2.5)<0 , f(2.75)>0 = xi C (2.5,2.75),f(2.5)<0 , f(2.625)>0 = xi C (2

16、.5,2.625),f(2.562 5)<0 , f(2.625)>0 = xi C (2.562 5,2.625).因為2.562 5與2.625精確到0.i的近似值都為2.6,所以原方程的近似解為x1 " 2.6.例2求方程lnx-2x+3=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根(精確度0.1).解：設(shè)f(x)=lnx-2x+3,則原方程的根為函數(shù)f(x)的零點.設(shè)x1為函數(shù)的零點即方程lnx-2x+3=0的解.如圖 3-1-2-5，因為 f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,所以f(1)f(2)<0,即函數(shù)f(x)在1,2內(nèi)有一個零點.根據(jù)二分法，用計算器得出以

17、下表格:xy1i2-0.3068528193-1.9013877114-3.6137056395-5.3905620886-7.2082405317-9.0540898518-10.92055846(步長為1)xy1i1.550.4054651082-0.3068528192.5-1.0837092683-1.9013877113.5-2.74723703243.6137056394.5-4.495922603（步長為0.5）xy111.250.7231435511.50.4054651081.750.0596157872-0.3068528192.25-0.6890697832.5-1.08

18、37092682.75-1.488399088（步長為0.25）xy111.1250.8677830351.250.7231435511.3750.5684537311.50.4054651081.6250.2355078151.750.0596157871.875-0.12139134（步長為0.125）xy1.50.4054651081.56250.3-2-1-2871021.6250.2355078151.68750.1482481431.750.0596157871.8125-0.0302928921.875-0.121391341.9375-0.213601 517（步長為0.062

19、 5）由上述表格可以得到下表與圖象3-1-2-5:區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(1,2)1.50.405465108(1.5,2)1.750.059615787(1.75,2)1.875-0.12139134(1.75,1.875)1.8125-0.030292892圖 3-1-2-5因為 f(1.75)=0.059 615 787>0,f(1.812 5)=-0.030 292 892<0,所以 xi (1.75,1.812 5).由于 |1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,所以區(qū)間(1.75,1.812 5)內(nèi)的每一個實數(shù)都可以作為方程lnx-2x+3=0在

20、區(qū)間1,2內(nèi)的根.點評：先設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，初步確定解所在的區(qū)間，再用二分法求方程近似解.二分法，即逐漸逼近的方法.計算量較大，而且是重復相同的步驟，借助計算器或計算機完成計算比較容易知能訓練1.根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程eX-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為()x-10123x e0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)2.用二分法判斷方程2x=x2的根的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案：1.C.設(shè) f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即 f(1)f(2)<0, .

21、 .xC (1,2).2.C.設(shè)f(x)=2x-x2(下表)，畫出函數(shù)y=2x與y=x2的圖象(圖3-1-2-6).x-1012345f(x)-0.5112-107-.I一 二 T2-圖 3-1-2-6由圖與表，知有三個根.拓展提升從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡 快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查接點的個數(shù)為多少？(此例既體現(xiàn)了二分法的應(yīng)用價值，也有利于發(fā)展學生的應(yīng)用意識)答案：至少需要檢查接點的個數(shù)為4.課堂小結(jié)活動：學生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價 .引導方法：從基本知識基本技能和思想方法兩方面來總結(jié)掌握用二分法求方程的近

22、似解，及二分法的其他應(yīng)用思想方法：函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.作業(yè)課本P92習題3.1A組 1、3.設(shè)計感想猜價格”的游戲深受人們的喜歡，它是二分法的具體應(yīng)用，用它引入拉近了數(shù)學與生活的距離 二分法是科學的數(shù)學方法，它在求方程的近似解和現(xiàn)實生活中都有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)設(shè)計緊緊圍繞這兩個中心展開，充分借助現(xiàn)代教學手段，用多種角度處理問題，使學生充分體會數(shù)學思想方法的科學性與完美性.習題詳解(課本第88頁練習)1 .(1)令f(x)=-x2+3x+5，作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-127(1),它與x軸有兩個交點,所以方程 -x2+3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.(2)2x(x-2)=-3 可化

23、為 2x2-4x+3=0 ,令 f(x)=2x 2-4x+3，作出函數(shù) f(x)的圖象(圖 3-1-2-7(2),它與 x軸沒有交點，所以方程2x(x-2)=-3無實數(shù)根.(3)x2=4x-4 可化為 x2-4x+4=0,令 f(x)=x 2-4x+4，作出函數(shù) f(x)的圖象(圖 3-127(3),它與 x 軸 只有一個交點(相切)，所以方程x2=4x-4有兩個相等的實數(shù)根.(4)5x2+2x=3x 2+5 可化為 2x2+2x-5=0,令 f(x)=2x 2+2x-5，作出函數(shù) f(x)的圖象(圖 3-1-2-7(4),它 與x軸有兩個交點，所以方程5x2+2x=3x 2+5有兩個不相等的

24、實數(shù)根.圖 3-1-2-72 .(1)作出函數(shù)圖象(圖 3-1-2-8(1)，因為 f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以 f(x)=-x 3-3x+5 在區(qū)間 (1,1.5)上有一個零點.又因為f(x)是(-8,+ oojt的減函數(shù)，所以f(x)=-x 3-3x+5在區(qū)間(1,1.5)上有且只有一個零點.(2)作出函數(shù)圖象(圖 3-1-2-8(2),因為 f(3)<0,f(4)>0,所以 f(x)=2x ln(x-2)-3 在區(qū)間(3,4)上有一個 令點.又因為f(x)=2x ln(x-2)-3在(2,+ 8上是增函數(shù)，所以f(x)在(3,4)上有且僅

25、有一個零點.(3)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(3),因為f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在區(qū)間(0,1)上有一個零耳 八、.又因為f(x)=ex-1+4x-4在(-oo,+沖是增函數(shù)，所以f(x)在(0,1)上有且僅有一個零點.(4)作出函數(shù)圖象(圖 3-1-2-8(4),因為 f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0, 所以 f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一個零點.叫(4)圖 3-1-2-8(課本第91頁練習)1 .由

26、題設(shè)可知 f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是 f(0) f(1)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, 1)內(nèi)有一個零點xo.下面用二分法求函數(shù)f(x)=x 3+1.1x2+0.9x-1.4在區(qū)間(0, 1)內(nèi)的零點.取區(qū)間(0, 1)的中點x=0.5，用計算器可算得f(0.5)=-0.55.因為 f(0.5) f(1)<0,所以 x°e (0.5,1).再取區(qū)間(0.5, 1)的中點x2=0.75，用計算器可算得f(0.75)=0.32.因為 f(0.5) f(0.75)<0,所以 xoC (0.5,0.75).同理，可得 xoC (0.6

27、25,0.75), xoC (0.625,0.687 5) , x° C (0.656 25,0.687 5).由于 |0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取為0.656 25.2 .原方程可化為x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用計算器可算得f(2) -0.70,f(3)= 0M睫f(2) f(3)<0,所以這個方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有一個解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在區(qū)間(2,3)的近似解.取區(qū)間(2,3)的中點x=2.5，用計算器可算得f(2.5) -(M0.因為f(2.5) f(3)<0

28、,所以x°e (2.5,3).再取區(qū)間(2.5,3)的中點 x2=2.75，用計算器可算得f(2.75)= 0.棧f(2.5) f(2.75)<0,所以 xoC (2.5,2.75).同理，可得 x0C (2.5,2.625),x0C (2.562 5,2.625),x0 C (2.562 5,2.593 75),x0C (2.578 125,2.593 75),x0 C (2.585 937 5,2.59 375).由于 |2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01, 所以原方程的近似解可取為2.593 75.(課本第92頁習題3.1)

29、A組1 .A,C點評：需了解二分法求函數(shù)的近似零點的條件.2 .由 x,f(x)的對應(yīng)值表可得 f(2) f<0,f(3) f(4)<0,f(4) f(5)<0,又根據(jù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a) f(b)<0 ,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.詞知函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(2, 3), (3, 4), (4, 5)內(nèi)有零 與 八、.3 .原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得 f(-1)=-1,f(0)=5.于是 f(-1) f(0)<0,

30、所以這個方程在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有一個解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在區(qū)間(-1, 0)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(-1, 0)的中點x-0.5，用計算器可算得f(-0.5)=3.375.因為 f(-1) f(-0.5)<0,所以 x°e (-1,-0.5).再取(-1, -0.5)的中點x2=-0.75，用計算器可算得f(-0.75) =1.58.因為 f(-1) f(-0.75)<0,所以 xoC (-1,-0.75).同理，可得 x0C (-1,-0.875) , x0C (-0.937 5,-0.875).由于 |(-0.875)-(-0.937

31、 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取為-0.937 5.4 .原方程即 0.8x-1-lnx=0,令 f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)沒有意義，用計算器算得 f(0.5) = 0.59,f(-0=2. 于是 f(0.5) f(1)<0,所以這個方程在區(qū)間(0.5,1)內(nèi)有一個解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在區(qū)間(0, 1)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(0.5, 1)的中點x=0.75，用計算器可算得f(0.75)=0.13.因為 f(0.75) f(1)<0,所以 x0 6(0.75,1).再取(0.75,1)的中點x2=0.875，用計算器可算

32、得f(0.875) -04.因為 f(0.875) f(0.75)<0,所以 x0C (0.75,0.875).同理，可得 x0C (0.812 5,0.875), x0C (0.812 5,0.843 75).由于 |0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取為0.843 75.5 .由題設(shè)有 f(2) -0.31<0,f(3)=0.43>0,于是 f(2) f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有一個零點.下面用二分法求函數(shù)f(x)=lnx -在區(qū)間(2, 3)內(nèi)的近似解.x取區(qū)間(2, 3)的中點x1=2

33、.5，用計算器可算得f(2.5) 0.12.因為 f(2) f(2.5)<0,所以 xqC (2,2.5).再取(2, 2.5)的中點x2=2.25，用計算器可算得f(2.25) -0.08.因為 f(2.25) f(2.5)<0,所以 xqC (2.25,2.5).同理，可得 XoC (2.25,2.375) , x°e (2.312 5,2.375),x°C (2.343 75,2.375),Xo C (2.343 75,2.359 375),x0 C (2.343 75,2.351 562 5),x 0 £ (2.343 75,2.347 656 25).由于 |2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,所以原方程的近似解可取為2.347 656 25.B組-b _ b2 -4ac 3 _(-3)2 - 4 2 (-1)2 3172a所以方程的兩個解分別為x_3+屈 _3歷1 .將系數(shù)代入求根公式 x=，得x= 一= 一一下面用二分法求方程的近似解.取區(qū)間(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令 f(x)=2x 2-3x-1.在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)用計算器可算得 f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.于是 f(1.775) f(1