2018版高考數(shù)學一輪復(fù)習第九章解析幾何9.7拋物線理

1、第九章解析幾何 9.7 拋物線理基礎(chǔ)知識自主學習基礎(chǔ)知識自主學習ET知識梳理-i .拋物線的概念平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線1(1不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線I叫做拋物線的準線.2 .拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y=2px(p0)y=-2px(p0)x=2py(p0)x=-2py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線1的距離圖形11(一KYfyy177ppn頂點00,0)對稱軸y=0 x= 0焦占八 、八、F(2,0)Fl-p，IF。，2)Ho,-號離心率e=1準線方程xPx- 2x-x- 2y =-py 2y y 2范圍x0,y Rx0,x Ryw

2、0,xR開口方向向右向左向上向下【知識拓展】弦長|AB| =Xi+X2+p=2( a 為弦AB的傾斜角).sin a以弦AB為直徑的圓與準線相切.(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于 2p,通徑是過焦點最短的弦.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“X”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線.(X)2a方程y=ax(az0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是(4, 0)，準線I2方程是x=；(X)4(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.(X)22PPAB為拋物線y= 2px(p0)的過焦點F(；0)的弦，若A(xi

3、,yi),B(X2,y2)，則XiX2=”,2yiy2=p,弦長 |AB=xi+X2+p.(V)考點自測1. (2016 四川)拋物線y2= 4x的焦點坐標是()A. (0,2)B. (0,1)C. (2,0)D. (1,0)答案 D解析對于拋物線y2=ax,其焦點坐標為 :，0 !,對于y2= 4x，焦點坐標為(1,0).2.(2016 甘肅張掖一診)過拋物線y2= 4x的焦點的直線l交拋物線于P(X1, y” , QX2,帕兩點，如果X1+X2= 6，則 IPQ等于( )A. 9 B . 8 C . 7 D . 6答案 B解析 拋物線y2= 4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x= 1.根

4、據(jù)題意可得，|PQ= |PF+ |QF=X1+ 1 +X2+ 1 =X1+X2+ 2= 8.3.設(shè)拋物線y2= 8x的準線與x軸交于點Q若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線 的斜率的取值范圍是()A. 2,D. 4,4答案 CB. 2,2C. 1,13解析Q( 2,0)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+ 2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2+(4k28)x+ 4k2= 0,22222由=(4k 8) 4k4k= 64(1 k) 0,解得Kkw1.4.(教材改編)已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點P( 2, 4)，則該拋物線的標準方程為_ .答案y2= 8x或x2=y解析設(shè)

5、拋物線方程為y2= 2px(pM0)或x2= 2py(pM0).將P( 2, 4)代入，分別得方程為y2= 8x或x2=y.2 2 25.(2017 合肥調(diào)研)已知拋物線y= 2px(p0)的準線與圓x+y 6x 7 = 0 相切，則p的值為_ .答案 2解析 拋物線y2= 2px(p0)的準線為x= p,2 2 2 2圓x+y 6x 7= 0,即(x 3) +y= 16,則圓心為(3,0)，半徑為 4.又因為拋物線y2= 2px(p0)的準線與圓x2+y2 6x 7 = 0 相切，所以 3+號=4,解得p= 2.題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一拋物線的定義及應(yīng)用例 1 設(shè)P是拋物線y2

6、= 4x上的一個動點，若B(3,2)，則 IPB+ IPF的最小值為 _答案 4解析如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q交拋物線于點P, 則 |PQ= |P1F|.則有 |PB+ |PF| |PB+ |PQ=|BQ= 4. 即|PB+ |PF的最小值為 4.引申探究41 若將本例中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB+ | PFj 的最小值.解 由題意可知點(3,4)在拋物線的外部.| PB+ |PF|的最小值即為B, F兩點間的距離，丨PB+IPF1BFj42T22=飛/16+ 4 = 2 ?5,即|PB+ |PF的最小值為 2 寸 5.2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2= 4x，直

7、線I的方程為xy+ 5= 0,在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為di,至U直線I的距離為d2,求di+d2的最小值.解 由題意知，拋物線的焦點為F(1,0).點P到y(tǒng)軸的距離di=|PF 1,所以 d+d2=d2+ |PF 1.易知d2+ |PF的最小值為點F到直線I的距離，故cb+ |PF|的最小值為丁2卩+5|2= 3 頁,pi +1所以 di+d2的最小值為 3 2 1.思維升華與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度.“看到準線想焦點，看到焦點 想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.嘰切如 設(shè)

8、P是拋物線y2= 4x上的一個動點，貝驚P到點A 1,1)的距離與點P到直線x= 1 的距離之和的最小值為 _.答案 5解析如圖,由拋物線的定義知：點P到直線x= 1 的距離等于點P到F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P,使點P到點A( 1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小, 顯然，連接AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點， 此時最小值為:1 一1 -2+一12=5.題型二拋物線的標準方程和幾何性質(zhì) 命題點 1 求拋物線的標準方程易知拋物線的焦點為F(1,0)52 2x y2例 2 已知雙曲線C:孑一|2= 1(a0,b0)的離心率為 2.若拋物線C2：x2= 2py(p0

9、)的焦點px2y2x= 2py(p0)的焦點坐標為 j0, 2 ,孑一|2= 1 的漸近線方程為y=|x,即y= 3x.由題p2意得-廠=2 ,p= 8.故C2的方程為1+0)的焦點為F,A(xi,yi),B(x2,y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證:+為定值;|AF十|BF為定值以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.p證明(i)由已知得拋物線焦點坐標為(2, 0).由題意可設(shè)直線方程為x=my+p代入y2= 2px,得y2= 2pjmy+ p j,即y2 2pmp2= 0.(*)則y1,y2是方程(*)的兩個實數(shù)根，所以y1y2=p2.因為y2= 2px1,y2= 2px2, 所以y2

10、y2= 4p2X1X2,2 242y1y2pp2=2=4p4p411 _ 1 1商+両=品+品Xl+X2+p-.到雙曲線C的漸近線的距離為 2,則拋物線C2的方程為(A28 3 A.x=hB.216 3x=TyC. x2=8yD.x2= 16y答案解析2 2孑一|2= 1 的離心率為 2,ca=2,2 2 2 2即$ =屮=4,越=3,-.3.(1)2y1y2=p,X1X2=2x= 16y.例 3 已知拋物所以X1X2=6X1X2+PX1+X2+P2P因為X1X2=,Xi+X2= |AB| p,代入上式,得爲+儲=叮。詈異=+2ABP+(3)設(shè)AB的中點為Mxo,yo)，分別過A,B作準線的垂

11、線，垂足為C, D,過M作準線的垂1 1 1線，垂足為N,則 IMN= 2(lAC+ IBD) = 2(lAF+ IBF)=冃AB.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.yi丁 -5-思維升華(1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此.壓冷 (1)(2016 全國乙卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點，交C的準線于 D,E兩點已

12、知|AB= 4.2, |DE= 2 ,瓦貝U C的焦點到準線的距離為()A. 2 B 4 C 6 D 8(2)(2016 昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)拋物線y2= 2px(p0)的焦點為F,已知點A、B為拋物 線上的兩個動點，且滿足/AFB=120 .過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN垂足為N則的最大值為()丨ABA.P B 1 C.2 3D 233答案(1)B(2)A解析不妨設(shè)拋物線C：y2= 2px(p0)，則圓的方程可設(shè)為X2+y2=r2(r0)，如圖，y3O丿*EP(定值)-7又可設(shè)A(xo,2 2),點A(xo,2 2)在拋物線y2= 2px上，二 8= 2pxo，點A(xo22)在

13、圓x2+y2=r2上，二x：+ 8=r2，點Dp,5在圓x2+y2=r2上，5+2=r2,2聯(lián)立，解得p= 4,即C的焦點到準線的距離為p= 4,故選 B.設(shè)|AF| =a, |BF=b,分別過A、B作準線的垂線，垂足分別為Q P,由拋物線的定義知，|AF= |AQ, |BF= |BR,在梯形ABPQ中, 2|MN= |AQ+ |BFf =a+b.2 2 2 2 2 2|AB=a+b 2abcos 120 =a+b+ab= (a+b) ab.1322 I272所以(a+b) ab(a+b) 4(a+b) = 4(a+b),即豐的最大值為丨AB 3題型三直線與拋物線的綜合問題命題點 1 直線與拋

14、物線的交點問題例 4 已知拋物線C: y2= 8x與點M 2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點.若MA-MB= 0，則k=_答案 2解析 拋物線C的焦點為F(2,0)，則直線方程為y=k(x 2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y2 222化簡得k x (4k+ 8)x+ 4k= 0.設(shè)點A(X1, y ,B(x2,y2).又ab(a+b)所以|MNv2所以兩2a+bJ3a+b8則X1+X2= 4 + 食,kX1X2= 4.92yiy2=kX1X2 2(X1+X2) + 4 =- 16.因為 MAMB=(X1+ 2,y1 2) (X2+ 2,y 2) = (X1+ 2)(X2+ 2)

15、 + (y1 2)(y2 2) =X1X2+ 2(x1+X2) + yy 2(y1+y2) + 8 = 0, 將上面各個量代入，化簡得k2 4k+ 4 = 0，所以k= 2.命題點 2 與拋物線弦的中點有關(guān)的問題 例 5 (2016 全國丙卷)已知拋物線 C:y2= 2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線I1,I2分別交C于A, B兩點，交C的準線于P, Q兩點.(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點，證明：AR/ FQ若厶PQF勺面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.F2, 0，設(shè)l1:y=a,I2:y=b,則ab0,a+bF .| ab|SAPQF=2當AB與X軸不垂直時，由kAB

16、=kDE可得一+b=七a+b x 1當AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標為(1,0),所以，所求軌跡方程為y2=x1(XM1) 思維升華(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點， 可(1)證明由題意知,記過AB兩點的直線為I，貝 UI的方程為 2x (a+b)y+ab= 0.由于F在線段AB上，故1 +ab= 0.ab ab1ab記AR的斜率為總,FQ的斜率為炬則“右=一=一一 $b 0b=k2.1 122所以AR/ FQ(2)解 設(shè)過AB的直線為l，設(shè)l與

17、x軸的交點為QX1,O),則SAABF=1|ba|1FD= |ba|X171由題意可得|ba|X1號，所以X1= 1,X1= 0(舍去)設(shè)滿足條件的AB的中點為日x,y) ,所以y2=x 1(x豐1) 10直接使用公式|AB=Xi+X2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.宀金:啊 3(2017 北京東城區(qū)質(zhì)檢)已知拋物線C: y2= 2px(p0)的焦點為F,直線5與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且|QF= 4IPQ(1) 求C的方程

18、；過F的直線I與C相交于A B兩點，若AB的垂直平分線I與C相交于M N兩點,M B N四點在同一圓上，求I的方程.28解(1)設(shè)Qxo,4)，代入y= 2px，得Xo=-.p所以 |PQ= , |QFf = +Xo= +-.p22pp858由題設(shè)得 2+p=4xp,解得p= 2(舍去)或p= 2.所以C的方程為y2= 4x.(2) 依題意知l與坐標軸不垂直，故可設(shè)l的方程為x=my1( m 0).代入y2= 4x，得y2 4my-4 = 0.設(shè)A(X1,y,B(X2,y2), 則1+y2= 4m,yy= 4.故AB的中點為D(2m+ 1,2,IAB= . m+ 1| yy2| = 4(m+1

19、).12又I的斜率為一m所以I的方程為x= my+ 2m+ 3.2242將上式代入y= 4x,并整理得y+my 4(2m+ 3) = 0.設(shè)MX3,y3) ,N(X4,y4),42則y3+y4= 扁y3y4= 4(2m+ 3).222故MN的中點為E(m+ 2m+ 3, m，y= 4|MN=1+miy3y4i =11由于MNB直平分AB故A M B, N四點在同一圓上等價于|AE= |BE=弓MN,1212 212從而 4IAB2+|DEE2= 4IMN,222222即 4(m+ 1) + (2rnm) +(m+ 2)m+2= m化簡得m 1 = 0,解得m= 1 或m=- 1.所求直線I的方

20、程為xy 1 = 0 或x+y 1 = 0.答題模板系列7 直線與圓錐曲線問題的求解策略典例 (12 分)已知拋物線 C：y=mX(n0)，焦點為F，直線 2xy+ 2 = 0 交拋物線C于 A,B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q(1)求拋物線C的焦點坐標；若拋物線C上有一點R(XR,2)到焦點F的距離為 3，求此時m的值；是否存在實數(shù)m使厶ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不 存在，請說明理由.思維點撥(3)中證明SASB=0.解(1) 拋物線 C:X2= 1y,.它的焦點F(0 , 4mm 2 分11 1RF=yR+ 4m-2+ 4m= 3

21、,得m=4M 分y=mX,存在，聯(lián)立方程2Xy+ 2 = 0,消去y得mX2X 2= 0,依題意，有 = ( 2)2 4X mx( 2)0?m 2.6 分2X1+X2=:m設(shè)心，mX),B(X2,mX)，則 0 時參數(shù)范圍（或指出直線過曲線內(nèi)一點）；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于X1X2,X1+X2（或yy, 丫計y2）的關(guān)系式，求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況.課時作業(yè)課時作業(yè)1 . (2017 昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點是原點Q焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過F的直 線與拋物線C交于A B兩點，如果OA-0B= 12,那么拋物線C的方程為()22A.x= 8yB. x= 4y2

22、2C. y= 8xD. y= 4x答案 C解析 由題意，設(shè)拋物線方程為y2= 2px(p0)，直線方程為x=myp,r- 2八y= 2px,聯(lián)立p消去X得y2 2pmy- p2= 0,x=my+2,k22設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2), 貝U y1+y2=2pm y1y2=p,m23得SA-SB=X1X2+yy=(my+號)(my+2)+yy2=+pm(y1+y2)+號+yy= ：p2=12_A得dA=(xi-帛若存在實數(shù)m1 即(xim?p= 4,15即拋物線C的方程為y2=8X.2.已知拋物線y2= 2px(p0)，過其焦點且斜率為 1 的直線交拋物線于A B兩點，若線段AB的中點的

23、縱坐標為 2,則該拋物線的準線方程為()A.x= 1 B .x=- 1 C .x= 2 D .x=- 2答案 B解析Ty2= 2px(p0)的焦點坐標為(號，0),過焦點且斜率為 1 的直線方程為y=x2,即x=y+p將其代入y2= 2px，得y2= 2py+p2,22即y 2pyp= 0.設(shè)A(X1,y,B(X2,y2),“y1+y2則y1+y2= 2p,. 一 2 =p= 2,拋物線的方程為y2= 4x,其準線方程為x= 1.3.(2016 上饒四校聯(lián)考)設(shè)拋物線C:y2= 3px(p0)的焦點為F,點M在C上, |Mff= 5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為()A.

24、y2= 4x或y2= 8xB. y2=2x或y2= 8xC.y2= 4x或y2= 16xD. y2=2x或y2= 16x答案 C解析拋物線 C:y2= 3px(p0)的焦點為 尺乎，0),根據(jù)拋物線的定義，得直線A0切以MF為直徑的圓于點A,以MF為直徑的圓過點(0,2),設(shè)A(0,2),連接AF, AM可得AF丄AM在 RtAOF中，|AF sin /OAF=IOF|AF|/ OAF=Z AMF可得在 RtAMF中 , sin /AMF=IAFIMF3p43p4丨MF=16整理得 4+ 9|2=字，解得p= 3 或p=普,C的方程為y2= 4x或y2= 16x.4.已知拋物線y2= 2px(

25、p0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(xi,yi) ,B(x2,y),則yy的X1X2值一定等于()2 2A. - 4 B . 4 C .pD . -p答案 A解析若焦點弦ABL x軸，2“pp則Xi=X2= 2, XiX2= 4；2yi=p,y2=-p,.yiy2=-p,若焦點弦AB不垂直于x軸,可設(shè)AB的直線方程為y=k(x 2),2 2 2 2聯(lián)立y= 2px，得k x- (k p+ 2p)x+2rrp貝yXiX2=:4yiy2 p2.故業(yè)一 4.XiX25.如圖，過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B,交其準線I于點C,若|BQ= 2|BF，且|AF= 3,則此

26、拋物線的方程為()A.y2= 9xB.y2= 6x3p4yiy2XiX2=-4.2 2pk4+器517C.y2= 3xD. y2= . 3x18答案 C解析如圖,分別過A B作AA丄I于A,BB丄I于B,由拋物線的定義知：|AF= |AAi| , IBF= IBB| ,| BQ =2|BF ,|Bq = 2|BB| ,/BCB=30,./AFx= 60，連接AF,則厶AAF為等邊三角形，過F作FFi丄AA于Fi,貝UF為AA的中點，設(shè)I交x軸于K,則|KF= |AiFi| = g|AA| =弓AF，即32p=，拋物線方程為y= 3x.故選 C.P(x,y)為該拋物線上的動點，若點A 1,0)，

27、則TPA-的| PA最小值是()A.1B. # C. # D竽答案 B如圖,當罟=罟最小時，sin /PAN最小，即/PAN最小，即/PAF最大，此時，PA為拋物線的切線，設(shè)PA的方程為y=k(x+ 1),y= k x+ 1,2 222聯(lián)立2得k x+ (2k 4)x+k= 0,ly= 4x,6 .拋物線y2= 4x的焦點為F,點解析拋物線y2= 4x的準線方程為x= 1,過P作PN垂直直線x= 1 于N,由拋物線的定義可知在 RtPAN中, sin|PF= |PN|，連接PA/PAN=冊,19224所以 = (2k 4) 4k= 0,解得k= 1,所以/PAF=ZNPA=45,IPFIPN/

28、 “ 農(nóng)+宀 fPAT =PPAT=cos/NPA=2，故選 B.7 .設(shè)F為拋物線C：y2= 3x的焦點，過F且傾斜角為 30的直線交C于A,答案 12解析焦點F的坐標為 i3, 0 , 方法一直線AB的斜率為-33,即y=#x手，代入y2= 3x，得gx2+ 屠=0.B(X2,y2)，貝Uxi+X2= 21213所以 |AB=Xi+X2+P=2 + 2= 12.方法二由拋物線焦點弦的性質(zhì)可得2p3|AB=1 =2= 12.sin9sin 308 .已知拋物線C: y2= 2px(p0)的準線為I，過M(1,0)且斜率為.3 的直線與與C的一個交點為B,若AM=MB則p=_ .答案 2解析如

29、圖，由AB的斜率為.3,知/a= 60,又AM=iMB M為AB的中點.過點B作BP垂直準線I于點P,則/ABP=60,./BAP=30所以直線AB的方程為y=-4，B兩點， 貝 U |AB設(shè)A(xi,yi),l相交于點A,201IBP =2| ABp- M為焦點，即 2= 1 ,P= 2.一 19 .已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為2,E的右焦點與拋物線A,B是C的準線與E的兩個交點，貝U|AB =_.答案 6解析 拋物線y2= 8x的焦點為(2,0),準線方程為x=- 2.2 2x y設(shè)橢圓方程為 孑+1(ab0),由題意，c= 2, =3，a22可得a= 4,b= 16-4 = 12

30、.2 2故橢圓方程為X6+卷=1.把x= 2 代入橢圓方程，解得y= 3.從而|AB= 6.*10.設(shè)直線I與拋物線y2= 4x相交于A,B兩點，與圓(X 5)2+y2M為線段AB的中點若這樣的直線I恰有 4 條，則r的取值范圍是答案(2,4)解析如圖,設(shè)A(xi,yi) ,B(x2,y2) ,Mx。，y0),y2= 4x1,y2= 4x2,兩式相減得，(中 +y2)(y1y= 4(x1X2).當I的斜率k不存在時，符合條件的直線I必有兩條.當k存在時，X1X2,則有y1+y22C：y2= 8x的焦點重合,r2(r0)相切于點M且21又yi+y2= 2yo,所以yok= 2.由CMLAB,得kX5=-1,Xo 5即yok= 5 Xo，因此 2 = 5 Xo,Xo= 3,即M必在直線X=3