考研數(shù)學線性代數(shù)強化資料-特征值與特征向量

1、 點這里，看更多數(shù)學資料 2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復習資料。中公考研輔導老師為考生準備了【線性代數(shù)-特征值與特征向量知識點講解和習題】，希望可以助考生一臂之力。同時中公考研特為廣大學子推出考研集訓營、專業(yè)課輔導、精品網(wǎng)課、vip1對1等課程，針對每一個科目要點進行深入的指導分析，歡迎各位考生了解咨詢。模塊八 特征值與特征向量 教學規(guī)劃【教學目標】1、全面掌握特征值與特征向量的概念，性質2、熟練掌握數(shù)值型矩陣的特征值與特征向量的求解方法3、熟練掌握各類抽象型矩陣的特征值與特征向量的求解方法4、系統(tǒng)梳理“矩陣，向量，方程組”與特征值與特征向量之間的聯(lián)系【主要內

2、容】1、特征值與特征向量的概念與性質2、數(shù)值型矩陣特征值與特征向量的計算方法3、抽象型矩陣特征值與特征向量的計算方法4、特征值重數(shù)與無關特征向量的關系【重難點】1、理解掌握矩陣乘法運算與特征向量的聯(lián)系2、抽象矩陣行列式的計算3、特征值重數(shù)與無關特征向量的關系 知識點回顧一基本概念設為階矩陣，是一個數(shù)，若存在一個維的非零列向量使得關系式成立，則稱是矩陣的特征值，是屬于特征值的特征向量.設為階單位矩陣，則行列式稱為矩陣的特征多項式.二公式定理定理1：設都是矩陣屬于特征值的特征向量，則對任意常數(shù)，當時，也是矩陣屬于特征值的特征向量.定理2：矩陣屬于不同特征值的特征向量必線性無關.推論：假設分別為矩陣

3、屬于兩個不同特征值的特征向量，則不為矩陣的特征向量.定理3：設，則對任意的多項式，當矩陣可逆時，還有.定理4：設為任意多項式，如果矩陣滿足，則的任一特征值都滿足.定理5：設矩陣所有的特征值為（其中可以有一樣的，也可以有虛數(shù)），則有，.定理6：矩陣的重特征值至多有個線性無關的特征向量. 考點精講一數(shù)值型矩陣的特征值與特征向量【例1】求矩陣的特征值與特征向量.【答案】：特征值-2，1，1；-2的特征向量，其中；1的特征向量其中。小結：求特征值主要是求行列式；特征值的所有特征向量就是齊次線性方程組的所有非零解. 需要注意的是特征向量一定是非零的.【例2】求矩陣的特征值與特征向量.【答案】：特征值7（

4、二重） 其特征向量 ，其中不全為0 特征值-2 其特征向量，其中【例3】求矩陣的特征值與特征向量.【答案】：特征值0（二重），特征向量，其中不全為0 特征值16，特征向量，其中【例4】設階矩陣的元素全為，則的個特征值是 【答案】： (n-1重根)【例5】設矩陣，試計算.【答案】： 【例6】設矩陣，其行列式，又A的伴隨矩陣有一個特征值. 屬于的一個特征向量為，求和的值.【答案】： 小結：當題目中出現(xiàn)了特征向量時，一般直接代入定義式.二抽象型矩陣的特征值與特征向量【例7】設是階實對稱矩陣，是階可逆矩陣. 已知維列向量是的屬于特征值的特征向量，則矩陣屬于特征值的特征向量是（ ）（A） （B） （C）

5、 （D） 【答案】：B【例8】設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量. ，則的非零特征值為.【答案】：1【例9】設為階可逆矩陣，那么下列矩陣中與具有相同特征值的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：A【例10】設為階矩陣，為階可逆矩陣，為矩陣屬于特征值的特征向量，則下列矩陣中 肯定是其特征向量的有（ ）個.（A） （B） （C） （D）【答案】：B小結：要注意，公式中哪些特征值發(fā)生了變化，哪些特征向量發(fā)生了變化.【例11】 設為階矩陣，已知，矩陣不可逆，線性方程組有非零解，試求.【答案】：42【例12】設階矩陣滿足，且，試求.【答案】：【例13】設階矩陣的伴隨矩陣為，的特征值為，則下列矩陣中可逆的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】：D三綜合討論【例14】設的特征值，的對應于的特征向量，則（ ）（A）當時，對應分量必成比例（B）當時，對應分量不成比例（C）當時，對應分量必成比例（D）當時，對應分量必不成比例【答案】：D【例15】設階矩陣滿足，證明：矩陣可逆.【例16】設階矩陣的秩，試討論矩陣的可逆性.【例17】設均為階矩陣，證明：如果為的特征值，則也必為的特征值. 測試成績在緊張的復