量子力學(xué)講義第七章講義

1、第七章 量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換§1 態(tài)的表象一、什么叫表象量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式二、研究表象的意義根據(jù)不同問(wèn)題選擇不同表象，還可以進(jìn)行表象變換。§7.1 量子態(tài)的不同表象一、坐標(biāo)表象波函數(shù)y(x,t) 1、y(x,t)2、表示體系處在y(x,t)所描述的態(tài)中，在x®x+dx范圍內(nèi)找到粒子的幾率，也就是說(shuō)，當(dāng)體系處在y(x,t)所描述的態(tài)中，測(cè)量坐標(biāo)x這個(gè)力學(xué)量所得值在x®x+dx這個(gè)范圍內(nèi)的幾率。3、4、動(dòng)量為的自由粒子的本征函數(shù) 5、x在坐標(biāo)表象中對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)，即，二、動(dòng)量表象波函數(shù)動(dòng)量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)y可按其

2、展開(kāi) (1)展開(kāi)系數(shù) (2)y(x,t)與c(p,t)互為Fourier（付里葉）變換，一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所不同的是變量不同。認(rèn)為c(p,t)和y(x,t)描述同一個(gè)狀態(tài)。y(x,t)是這個(gè)狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)，c(p,t)是同一個(gè)狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù)。1、 狀態(tài)波函數(shù)2、表示體系處在c(p,t)所描述的態(tài)中測(cè)量動(dòng)量這個(gè)力學(xué)量p所得結(jié)果為p®p+dp范圍內(nèi)的幾率。3、命題：假設(shè)y(x,t)是歸一化波函數(shù)，則c(p,t)也是歸一。(在第一章中已經(jīng)證明)4、的本征函數(shù)（具有確定動(dòng)量的自由粒子的態(tài)）若y(x,t)描寫(xiě)的態(tài)是具有確定動(dòng)量 p'的自由粒子態(tài)，即：則相應(yīng)動(dòng)量表象中的波

3、函數(shù)： 所以，在動(dòng)量表象中，具有確定動(dòng)量p' 的粒子的波函數(shù)是以動(dòng)量p為變量的d函數(shù)。換言之，動(dòng)量本征函數(shù)在自身表象中是一個(gè)d函數(shù)。三、力學(xué)量表象問(wèn)題：那末，在任一力學(xué)量F表象中，y(x,t)所描寫(xiě)的態(tài)又如何表示呢？1、分立譜的情況 設(shè)算符的本征值為： F1, F 2, ., F n,.， 相應(yīng)本征函數(shù)為：y1(x), y 2(x),., yn(x),.。將y(x,t)按的本征函數(shù)展開(kāi)： 若y(x,t), u n(x)都是歸一化的，則an(t)也是歸一化的。(在第三章中已經(jīng)證明)由此可知，| an| 2 表示在y(x,t)所描述的狀態(tài)中測(cè)量F得Fn的幾率。 展開(kāi)系數(shù)組成的數(shù)列與y(x,

4、t)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系， an(t)與y(x,t)描述體系的同一個(gè)態(tài)，y(x,t)是這一狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示，而數(shù)列an(t)是這同一狀態(tài)在F表象中的表示。我們可以把數(shù)列an(t)寫(xiě)成列矩陣的形式，用yF標(biāo)記：(1)、體系態(tài) 列矩陣為y(x,t)所描寫(xiě)的態(tài)在F表象中的表示并把矩陣yF稱(chēng)為y(x,t)所描寫(xiě)的狀態(tài)在F表象中的波函數(shù)。yF的共軛矩陣是一個(gè)行矩陣，用y+F標(biāo)記 (2)、| an| 2 表示在y(x,t)所描述的狀態(tài)中測(cè)量F得Fn的幾率。(3)、若y(x,t)已歸一化，則有。若用矩陣表示(4)、本征值為的本征函數(shù)。 （ 第為1，其余為零）2、連續(xù)譜的情況 f 連續(xù)矩陣（一般用表示即可）(

5、1) (2) 在所描述的態(tài)中，測(cè)量力學(xué)量f，所得結(jié)果為f®f+df的幾率 (3) 綜上所述，量子力學(xué)中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學(xué)量表象中的波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)。所取表象不同，波函數(shù)的形式也不同。我們可以根據(jù)處理問(wèn)題的需要選用適當(dāng)?shù)谋硐笠苑奖闱蠼?。下面舉個(gè)例子說(shuō)明。例：分別在坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象中寫(xiě)出一維無(wú)限深勢(shì)阱中基態(tài)粒子的波函數(shù)。四、Hilbert（希耳伯特）空間：態(tài)矢量所在的無(wú)限維空間 同一個(gè)態(tài)在不同表象中有不同的表述方式 量子力學(xué)中，態(tài)的表象這一概念與幾何學(xué)中選取不同的坐標(biāo)系來(lái)表示同一矢量的概念十分相似。在量子力學(xué)中，我們可以建立一個(gè)n維（n可以是無(wú)窮大）空間，把波函數(shù)y看成

6、是這個(gè)空間中的一個(gè)矢量，稱(chēng)為態(tài)矢量。選取一個(gè)特定力學(xué)量F表象，相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是以力學(xué)量F的本征函數(shù)系為基矢，態(tài)矢量在各基矢上的分量則為展開(kāi)系數(shù)，在F表象中態(tài)矢量可用這組分量來(lái)表示。 F表象的基矢有無(wú)限多個(gè)，所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)無(wú)限維的抽象的函數(shù)空間，稱(chēng)為Hilbert空間。§7.2 力學(xué)量(算符)的矩陣表示一、矩陣簡(jiǎn)介1、 定義 方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣。2、兩矩陣相等 （行列數(shù)相等）3、兩矩陣相加 （行列數(shù)相等）4、兩矩陣相乘 （ 一個(gè)l列的矩陣A與一個(gè)l行的矩陣B相乘） A B C(1) 稱(chēng)A、B矩陣相互不對(duì)易； 稱(chēng)A、B矩陣相互對(duì)易（2）(3) (4)

7、 ，但B=C不一定成立 (5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立 (6) A2=0，但A=0不一定成立5、對(duì)角矩陣 除對(duì)角元外其余為零6、單位矩陣 即 單位矩陣與任何矩陣A的乘積仍為A：IA=A，并且與任何矩陣都是可對(duì)易的：IA=AI7、轉(zhuǎn)置矩陣：把矩陣A的行和列互相調(diào)換，所得出的新矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣。 m列n行n列m行 共軛矩陣： m列n行n列m行轉(zhuǎn)成共軛復(fù)數(shù)8、厄密矩陣： 如果，則稱(chēng)A矩陣為厄密矩陣（如果一個(gè)矩陣A和它的共軛矩陣相等）例如，則 二、F表象中的算符表示 設(shè)量子態(tài)y經(jīng)過(guò)算符運(yùn)算后變成另一個(gè)態(tài)f A、分立譜的情況在以力學(xué)量完全集F的本征態(tài)yk為基矢的表象（F表象）中，上式表

8、成 (1)以左乘上式兩邊并對(duì)x積分，積分范圍是x變化的整個(gè)區(qū)域得 (2)式中將(2)表成矩陣的形式則為 (3)式(3)即式(1)在F表象中的矩陣表示，左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù)f和波函數(shù)y在F表象中的矩陣表示，而矩陣即算符在F表象中的表示。它的第n列元素 用表示這個(gè)矩陣，表示左邊的一列矩陣，表示右邊的列矩陣，則(3)為 討論：F表象中力學(xué)量算符的性質(zhì)1、力學(xué)量算符在自身表象中的形式 若，則 結(jié)論：算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣，對(duì)角元素就是算符的本征值。（要會(huì)證明）2、力學(xué)量算符用厄密矩陣表示 即L矩陣的第m列第n行的矩陣元等于第n列第m行矩陣元的共軛復(fù)數(shù)，這就是厄密矩陣。用L+

9、表示矩陣L的共軛矩陣其對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)。所以厄米算符的的矩陣表示是一厄米矩陣。B、連續(xù)譜的情況（1）只有連續(xù)本征值如果F只有連續(xù)本征值f，上面的討論仍然適用，只需將u, a, b的角標(biāo)從可數(shù)的 n, m 換成連續(xù)變化的f，求和換成積分，見(jiàn)下表。分立譜 連續(xù)譜un* um uf* u,f an bm af bf 算符L在F表象仍是一個(gè)矩陣，矩陣元由下式確定： 矩陣元中的第一個(gè)角標(biāo)f表示矩陣的行數(shù)，第二個(gè)角標(biāo)表示矩陣的列數(shù)。但是，由于本征值和f可連續(xù)取值，所以由組成的矩陣是行列不再可數(shù)的連續(xù)矩陣，可以標(biāo)記為 三、舉例例1、 求一維線(xiàn)性諧振子的坐標(biāo)算符、動(dòng)量算符及哈密頓算符在能量表象中的矩陣表示&#

10、167;7.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示一、Schrödinger方程 (1)在F表象中，y(t)表示為 (2)按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開(kāi)。把式(2)代入式(1)，得 左乘yj，（取標(biāo)積），得左乘yj*對(duì)x整個(gè)空間積分 或表示為 此即F表象中的Schrödinger方程。二、平均值公式在量子態(tài)y下，力學(xué)量L的平均值為 此即平均值的矩陣形式。特例：若，則（對(duì)角矩陣），則在y態(tài)下， 假定y已歸一化，即，則表示在y態(tài)下測(cè)量L得到Lk值的概率。三、本征值方程算符的本征方程為 用代入， 左乘yj，（取標(biāo)積），得左乘yj*對(duì)x整個(gè)空間積分 (3)此即的本征方程在F表象中的矩陣形式。 它

11、是ak（k=0,1,2,¼）滿(mǎn)足的線(xiàn)性齊次方程組，有非平庸解的條件為（此方程組有非零解的條件是其系數(shù)行列式等于零，即） 明顯寫(xiě)出， (4)(4)式稱(chēng)為久期方程。設(shè)表象空間維數(shù)為N，則上式是的N次冪代數(shù)方程。對(duì)于可觀測(cè)量，Ljk為厄米矩陣，可以證明，上列方程必有N個(gè)實(shí)根，記為，(j=0,1,2,¼,N)。分別用代入式(3)，可求出相應(yīng)的解(k=0,1,2,¼,N)，表成列矢 它就是與本征值相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示。給定算符如何求本征值與本征函數(shù) （1）先求用矩陣表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函數(shù)。四、 舉例： 例

12、1、已知體系的哈密頓算符與某一力學(xué)量算符在能量表象中的矩陣形式為： ，其中w和b為實(shí)常數(shù)，問(wèn)(1)、H和B是否是厄密矩陣；(2)、H和B是否對(duì)易；(3)、求算符的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù)；(4)、算符的本征函數(shù)是否也是的本征函數(shù)。§4 Dirac符號(hào)量子力學(xué)可以不涉及具體表象來(lái)討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以該方法所使用的符號(hào)稱(chēng)為Dirac符號(hào)。1、右矢空間量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間?？臻g中的一個(gè)矢量（方向）一般為復(fù)量，用以標(biāo)記一個(gè)量子態(tài)。在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個(gè)矢量 | >與量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，該矢量稱(chēng)為

13、右矢。若要標(biāo)志某個(gè)特殊的態(tài)，則在右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)。因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡(jiǎn)稱(chēng)基矢）。右矢空間的任一矢量 |y> 可按該空間的某一完備基矢展開(kāi)。 例如：2、左矢空間右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的左矢量，記為 < |。左矢< |表示共軛空間中與| >相應(yīng)的一個(gè)抽象態(tài)矢。例如：是的共軛態(tài)矢，是的共軛態(tài)矢等。3、標(biāo)積 態(tài)矢與的標(biāo)積記為， 而記為 若，則稱(chēng)與正交；若，則稱(chēng)為歸一化態(tài)矢。 設(shè)力學(xué)量完全集F的本征態(tài)（離散）記為|k>，它們的正交歸一性表

14、示為 連續(xù)譜的本征態(tài)的正交“歸一性”，則表成d函數(shù)形式。例如動(dòng)量本征態(tài)，坐標(biāo)本征態(tài)，等。 在一個(gè)具體表象中如何計(jì)算標(biāo)積，需要用到態(tài)矢在具體表象中的表示。4、態(tài)矢在具體表象中的表示 在F表象中（基矢記為|k>），態(tài)矢|y>可用|k>展開(kāi)，即 (1)展開(kāi)系數(shù)記為 (2)是態(tài)矢|y>在基矢|k>上的投影（分量）。當(dāng)所有ak都給定時(shí)，就確定了一個(gè)態(tài)。所以這一組數(shù)就是態(tài)|y>在F表象中的表示，常寫(xiě)成列矢形式 把式(2)代入式(1)，得 (3)式中是一個(gè)投影算符， Pk對(duì)任何態(tài)矢|y>運(yùn)算后，就得到態(tài)矢|y>在基矢|k>方向上的分量矢量， 或者說(shuō)Pk的作用是把任何態(tài)矢在|k>方向的分量挑選出來(lái)。式(3)中|y>是任意的，因此 （單位算符） (4)這正是這一組基矢|k>的完備性的表現(xiàn)。本征矢|k>的封閉性。在連續(xù)譜的情況， (5)左乘， 代入式(5)，得 (6)式(6)中是任意的，因此 式(4)中求和應(yīng)換為積分。例如，對(duì)于和分別有 ，這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性。由于 ，所以它們也稱(chēng)為單位算符，在運(yùn)算中可插入（乘到）公式任何地方而不改變?cè)降?/p>