13.4課題學(xué)習(xí)--最短路徑問題-教學(xué)設(shè)計(jì)

1、13.4 課題學(xué)習(xí)最短路徑問題教學(xué)內(nèi)容解析：本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問題， 最短路徑問題在現(xiàn) 實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短” “三角形兩邊之 和大于第三邊”為知識(shí)基礎(chǔ)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移變換進(jìn)行研究。本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典故事 “將軍飲馬問題”為載體開展對(duì) “最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題， 再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”的問題。 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：1、能利用軸對(duì)稱解決簡單的最短路徑問題2、在談最短路徑的過程中，體會(huì)“軸對(duì)稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué) 思想。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重

2、點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間、線段最短”問題。 難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。學(xué)生學(xué)情分析：1、八年級(jí)學(xué)生的觀察、操作、猜想能力較強(qiáng)，但演繹推理、歸納和運(yùn)用數(shù) 學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱， 自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步引 導(dǎo)。此年齡段的學(xué)生具有一定的探究精神和合作意識(shí)， 能在一定的親身經(jīng)歷和體 驗(yàn)中獲取一定的數(shù)學(xué)新知識(shí)， 但在數(shù)學(xué)的說理上還不規(guī)范， 集合演繹推理能力有 待加強(qiáng)。2、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過 “兩點(diǎn)之間，線段最短。”以及“垂線段最短”。以及 剛剛學(xué)習(xí)的軸對(duì)稱和垂直平分線的性質(zhì)作為本節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)。 教學(xué)策略分析：最短路徑問題從本質(zhì)上說是最

3、值問題， 作為八年級(jí)學(xué)生， 在此前很少涉及最 值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足， 特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的最值 問題，更會(huì)感到陌生，無從下手。解答“當(dāng)點(diǎn) A、B 在直線 l 的同側(cè)時(shí)，如何在 l 上找到點(diǎn) C，使 AC與 BC的 和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線 l 異側(cè)的兩點(diǎn)，與直線 l 上的點(diǎn)的線段的和最 小”的問題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會(huì)存在 理解上和操作上的困難。在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求做的點(diǎn)不重合） ，證明 所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到。教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線 l 異側(cè)的兩點(diǎn)，與

4、直線 l 上的點(diǎn)的 和最小”為學(xué)生搭建橋梁，在證明最短時(shí)，教師要適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)任 意的作用。教學(xué)條件分析 :在初次解決問題時(shí)， 學(xué)生出現(xiàn)了多種方法，通過測(cè)量，發(fā)現(xiàn)利用軸對(duì)稱將同 側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn)求得的線段和比較短；進(jìn)而利用幾何畫板通過動(dòng)畫演示， 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的一般性；最后通過邏輯推理證明。 教具準(zhǔn)備：直尺、幾何畫板， ppt教學(xué)過程：環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù) 習(xí) 引 入1. 【問題】：看到圖片，回憶如 何用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這個(gè) 問題？2. 這樣的問題，我們稱為“最 短路徑”問題。1、兩點(diǎn)之間，線段最短。2、兩邊之和大于第三邊。從學(xué)生已經(jīng)學(xué) 過的知識(shí)入 手，為進(jìn)一步 豐富

5、、完善知 識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪 墊。探究1. 探究一： 【故事引入】：唐朝詩人李頎在 古從軍行中寫道：“白日登 山望峰火，黃昏飲馬傍交河 ” 詩中就隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)認(rèn)真讀題，仔細(xì)思考。從異側(cè)問題入 手，由簡到難， 逐步深入。將實(shí)際問題中的“地點(diǎn)” “河”抽象為數(shù)學(xué)中的 “點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問題 抽象線段和最小問題。問題，古時(shí)候有位將軍，每天 新 從軍營回家，都要經(jīng)過一條筆 直的小河。而將軍的馬每天要 知 到河邊喝水，那么問題來了， 問題：怎樣走才能使總路程最短呢？2. 探究二： 【變換情境】：后來將軍把家搬 到了河的對(duì)面，若還是要帶馬 先到河邊喝水，然后再回家， 應(yīng)該怎樣走，才能使總路程最 短呢？探

6、究 新 知（1）【轉(zhuǎn)化】：你能將實(shí)際問題 抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（2）【展示】： 讓學(xué)生猜想，并畫出圖形。 巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法（盡 可能多），分別展示各小組的作 法。【回答】：學(xué)生思考并回 答，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化 為數(shù)學(xué)問題。 已知：直線 L 和同側(cè)兩點(diǎn) A、B 求作：直線 L 上一點(diǎn) C， 使 C 滿足 AC+BC的值最 小?！緦W(xué)生展示】： 作法 1：學(xué)生主動(dòng)探 索，充分發(fā)揮 學(xué)生的主動(dòng) 性。展示多種方 法，產(chǎn)生思維 沖突，引發(fā)學(xué) 生進(jìn)一步探究 的學(xué)習(xí)欲望。給予學(xué)生一定的提示。作法 2：作法 3：（3）【度量】：如何才能判斷哪 種猜想是正確的呢？（測(cè)量一 下）在幾何畫板中分別度量出 AC,B

7、C的長度，并計(jì)算 AC+BC。 讓學(xué)生觀察數(shù)值如何變化。并 反思各自的作法是否正確?！緦W(xué)生反思】：第 1 種作 法是利用“垂線段最短”， 得到 AC最短，利用“兩 點(diǎn)之間線段最短” ，得到 BC 最短 ，但 不能 確定 AC+BC是最短的。第 2 種作法只能說明在河 l 上取一點(diǎn)，到 A、B兩地 的距離相等，也就是 AC BC。不能說明 AC+BC最 短第 3 種作法應(yīng)該是正確 的。探究 新 知3. 解決問題【追問】用第 3 種作法的同學(xué)， 你們是怎樣想到作點(diǎn) B 關(guān)于直 線 L 的對(duì)稱點(diǎn)的？為什么要作 對(duì)稱點(diǎn)？如果做點(diǎn) B關(guān)于直線 L 的 對(duì)稱點(diǎn)，就是把點(diǎn) B 移到 了另一側(cè)，而且滿足了 B

8、C BC'。其實(shí)直線 L 上所 有點(diǎn)到 B 和 B'的距離都 相等。也可是根據(jù)垂直平分線 的性質(zhì)，L 就是線段 BB' 的垂直平分線， 而垂直平 分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè) 端點(diǎn)的距離相等。 利用軸對(duì)稱將同側(cè)線段 和最短 轉(zhuǎn)化 為異側(cè)線段 和最短問題。借助軸對(duì) 稱，把折線轉(zhuǎn)化為線段的 長來求解。讓學(xué)生進(jìn)一步 體會(huì)做法的正 確性，提高邏 輯思維能力。讓學(xué)生在反思 的過程中，體 會(huì)軸對(duì)稱的作 用，感悟轉(zhuǎn)化 思想，豐富數(shù) 學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（ 4）【推理論證】 ：如何證明 AC+BC最短呢？認(rèn)真觀察，思考，要想確 認(rèn) AC+BC最短，可以在直 線 l 上任取一點(diǎn) C'（不與 點(diǎn)

9、C 重合）【提示】：沒有比較就不會(huì)產(chǎn)生 大小。通常我們要在直線上任 另取一點(diǎn) C（與點(diǎn) C 不重合）， 只要證明 AC+BCAC+BC即 可。1. 獨(dú)立糾錯(cuò)2. 兵教兵讓學(xué)生進(jìn)一步 體會(huì)作法的正 確性，提高邏 輯思維能力。（3）【幾何畫板】下面我們可 以借助數(shù)學(xué)工具幾何畫板來 進(jìn)一步驗(yàn)證一般性。老師動(dòng)手操作，驗(yàn)證結(jié)論的 正確性。通過動(dòng)畫演 示，從特殊到 一般地驗(yàn)證了 前面的結(jié)論。（1）學(xué)生自主證明，教師糾錯(cuò)。（2）師生共同分析，學(xué)生說明 證明過程，教師版書。 （3）共同完成證明過程。發(fā) 散 思 維除了作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱 點(diǎn)以外，還有沒有別的作法？還可以作點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱

10、點(diǎn)。發(fā)散思維，培 養(yǎng)學(xué)生一題多 解的能力。四得 出 結(jié) 論【問題】：我們是如何解決將軍飲馬問題的？先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù) 學(xué)問題。然后作其中一個(gè) 點(diǎn)關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)， 連接對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)與 直線的交點(diǎn)就是滿足最 短距離的點(diǎn)的位置。讓學(xué)生反思剛 才的探究過 程。培養(yǎng)數(shù)學(xué) 思維，和及時(shí) 總結(jié)所學(xué)的知 識(shí)的好習(xí)慣。10五范 例 分 析1. 【問題】：如圖，一個(gè)旅游船 從大橋 AB的 P 處前往山腳下的 Q處接游客，然后將游客送往河 岸 BC上，再回到 P 處，請(qǐng)畫出 旅游船的最短路徑。在具體問題中 實(shí)踐已有模 型，固化已有 模型。為進(jìn)一 步豐富、完善 知識(shí)結(jié)構(gòu)做鋪1.六 鞏 固 練 習(xí)2.【題目

11、】：如圖，直線 l 是 一條河， P、 Q 為河同側(cè)的 兩地，欲在 l 上某處修建一 個(gè)水泵站 M，分別向 P、 Q 兩地供水，四種方案中鋪設(shè) 管道最短的是（ ）【題目】：如圖，在直角三 角形 ABC中，角 A30 度， 角 C 為直角，且 BC=1，MN 為 AC 的垂直平分線，設(shè) P 為直線 MN上任一點(diǎn)， 的最小值為將軍飲馬模型的直接應(yīng) 用。3.如圖，正方形 ABCD邊長為 8，M 在 BC 上， BM 2， N 為 AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則 BN+M 的最小值為1. 【問題】：本節(jié)課研究問題的 基本過程是什么？七課 堂 小 結(jié)當(dāng)我們遇到一個(gè)實(shí)際問題，首 先，我們要將實(shí)際問題變成一 個(gè)數(shù)學(xué)問題

12、（群答），也就是抽 象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，這樣可以 幫助我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察，進(jìn)而 運(yùn)用合情推理得到一個(gè)猜想， 然后我們可以通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?證明，驗(yàn)證猜想，從而得出結(jié) 論，最后再將結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際 問題里。我們要先將實(shí)際問題變 成一個(gè)數(shù)學(xué)問題， 然后觀 察實(shí)驗(yàn)，提出猜想，之后 通過證明，驗(yàn)證猜想，從 而得出結(jié)論， 最后再將結(jié) 論運(yùn)用到實(shí)際問題里。習(xí)題難度，由 易到難，逐步 深入。讓學(xué)生 進(jìn)一步鞏固解 決最短路徑問 題的基本策略 和基本方法。培養(yǎng)學(xué)生總結(jié) 在課題學(xué)習(xí)的 基本思路。轉(zhuǎn)化作用2. 【問題】：軸對(duì)稱在所研究問 題中起什么作用？ 利用軸對(duì)稱主要是進(jìn)行問題的 轉(zhuǎn)化，它其實(shí)是起到了一個(gè)橋 梁的作用，同時(shí)也體現(xiàn)了我們 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化思想。目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)：題目 1、（課后練習(xí)）課本 93 頁，第 15 題 設(shè)計(jì)