二項分布數(shù)學期望與方差專題復習word有詳解重點中學用

1、第十講二項分布及應(yīng)用隨機變量的均值與方差知識要點1. 事件的相互獨立性(概率的乘法公式)設(shè)A B為兩個事件，如果 RAB = RA)RB)，則稱事件 A與事件B相互獨立.2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A+ B) = P(A)+ P(B).3. 對立事件的概率：若事件 A與事件B互為對立事件，則 P(A)= 1 RB).4. 條件概率的加法公式：若B C是兩個互斥事件，則 R BU q A) = P(B| A) + RCA)5. 獨立重復試驗：在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，即若用A(i = 1,2，n)表示第i次試驗結(jié)果，則 RAAAA) = P

2、(A)RA)P(A)P(A).注：判斷某事件發(fā)生是否是獨立重復試驗，關(guān)鍵有兩點(1) 在同樣的條件下重復，相互獨立進行；(2)試驗結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生.6. 二項分布：在 n次獨立重復試驗中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為 X,在每次試驗中事件 A發(fā)生的概率為p, 那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X= k) = Cipk(1 p)nk(k= 0,1,2，n), 此時稱隨機變量 X服從二項分布，記作 XB(n, p)，并稱p為成功概率.注：判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點(1) 是否為n次獨立重復試驗.(2)隨機變量是否為在這 n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù).7

3、. 離散型隨機變量的均值與方差及其性質(zhì)定義：若離散型隨機變量 X的分布列為 R E = Xi) = pi, i = 1,2，n.(1) 均值：稱E(X) = X1P1 + X2P2+ + Xipi+ Xnpn為隨機變量 X的均值或數(shù)學期望.n(2) 方差：口為=E ( Xi 日X)2p為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根 D X 為隨機變量X的標準差.i = 12(3) 均值與方差的性質(zhì)：(1)E(aX+ b)= aE：X)+ b；(2)D(aX+ b)= a D(X).(a,b 為常數(shù))8. 兩點分布與二項分布的均值、方差變量 X服從兩點分布：E(X)= p ,D(X)= p(1 p);XB(n

4、,p) :E(X) = np ,D(X =叩(1 p)典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦3名男生，2名女生，B中學推薦了 3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取 3人，女生中隨機抽取 3人組成代表隊(1) 求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.(2) 某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取 4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學期望.當K正常工作且 A、A至少有一個正常工作時,例2 如圖，用K、A、A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).系統(tǒng)正常工作.已知K、A、A

5、正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為()A. 0.960 B . 0.864 C . 0.720 D . 0.576例3.(2013 山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是2外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是2，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.(1) 分別求甲隊以3 : 0,3 : 1,3 : 2勝利的概率.(2) 若比賽結(jié)果為3 : 0或3 : 1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3 : 2,則勝利方得 2分，對方得1分求乙隊得分 X的分布列及數(shù)學期望.例4.為貫徹“激情工作， 快樂生活”的理念，

6、 某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對 3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對 3題者直接進入決賽，答錯 3題者則被2淘汰，已知選手甲答題的正確率為3.(1) 求選手甲答題次數(shù)不超過 4次可進入決賽的概率；(2) 設(shè)選手甲在初賽 中答題的個數(shù) E，試寫出E的分布列，并求 E的數(shù)學期望.5 / 130.39.037 -*-GJ幸福度73 0S666677889997 6 5 516人中隨機選取3人，至多有1人是(人數(shù)很多)任選3人，記E表示抽例5. (2014 福建高考

7、改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵，規(guī)定:每位顧客從一個裝有 4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1) 若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為 60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望.(2) 商場對獎勵總額的預算是 60 000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客 所獲的獎勵額相對均衡下面給出兩種方案：方案1 : 4個球中所標面值分別為 10元，10元，50元，50元；方案2: 4個球中所標面值分別為 20元，20元，40元，4

8、0元.如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案？例6. (13分)如圖所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.(1) 求直方圖中x的值；(2) 若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在 3至4噸的居民數(shù)X的分布列、 數(shù)學期望與方差.例7. (12分)某網(wǎng)站用“ 10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn) 從調(diào)查人群中隨機抽取 16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分 數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2) 若幸福度不低于9，則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這“極幸?！钡?/p>

9、概率；(3) 以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū) 到“極幸?！钡娜藬?shù)，求 E的分布列及數(shù)學期望.例8.【2015高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎 都從裝有 4個紅球、 6個白球的甲箱和裝有 5個紅球、 5 個白球的乙箱中，各隨機摸出 1 個球，在摸出的 2 個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有 1 個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎 .（1）求顧客抽獎 1 次能獲獎的概率；2）若某顧客有 3次抽獎機會， 記該顧客在 3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學期望例9. （2016河北張家口市 三模21

10、）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f x = ex1 x ax2.（i）若a=0 ,求fx的單調(diào)區(qū)間；（n）若當x 0時，fx 0，求a的取值范圍.參考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦3名男生，2名女生,B中學推薦了 3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取 3人，女生中隨機抽取 3人組成代表隊（1）求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率（2）某場比賽前，從代表隊的 6名隊員中隨機抽取 和數(shù)學期望【答案】（1）A中學至少1名學生入選的概率為 p4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求 X得

11、分布列99100.（2）X的分布列為：X123P131555X的期望為E（X） 2.【解析】（1）由題意，參加集訓的男女生各有6名.參賽學生全從B中抽?。ǖ葍r于 A中沒有學生入選代表隊）的概率為C3C4 c；c；1100因此，A中學至少1名學生入選的概率為1110099100（2）根據(jù)題意，X的可能取值為1, 2，3.P(X 1) CCC3 5，P(X 2)g3 5P(X 3)c；c3 1C 5，A . 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576所以X的分布列為:X123P131555131因此，X的期望為E（X） 1232.555例2.如圖10 8- 1，用K、A1、A2三類

12、不同的元件連接成一個系統(tǒng).當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常 工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為【答案】BA、A2至少有一個正常工作的概率為 P 1 (1 0.8)2 0.96，則系統(tǒng)正常工作的概率為PK P 0.9 0.960.864例3.(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨1 2即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是1外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是彳，假設(shè)各局比 賽結(jié)果相互獨立.(1) 分別求甲隊以3 : 0,3 : 1,3 ： 2勝利的概率.(2) 若比賽結(jié)果為3 : 0

13、或3 ： 1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3 : 2, 則勝利方得2分，對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望.【嘗試解答】記“甲隊以3：0勝利”為事件A1, “甲隊以3：1勝利”為事件A2,“甲隊以3：2勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，丄2 382222282 222214故p(a”= 3 = 27，p(A2)= C33 13 x3=27，p(A3)= C4 1二可.84所以甲隊以3： 0勝利，以3：1勝利的概率都為27,以3 ：2勝利的概率為27.(2)設(shè)“乙隊以3 ：2勝利”為事件A4,由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，2 2 2 2 214所以 p(A4) =

14、 c2 1 32 5 2x 12 = 27.由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得1644p(x=0)= p(A1+A2)=p(A1)+ p(A2)=刃.又 p(x= 1) = p(A3)=27, p(x= 2)= p(A4)=云3P(X= 3)= 1 P(X= 0) P(X= 1) P(X= 2) = 27，故X的分布列為X0123P1644327272727164437所以 ex= 0x27+1 x27+2x27+ 3x27=9.例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽

15、采用選手選一題答一題的方式進行，6 / 13每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對 3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答2對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為 2(1) 求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率；.827-3(2) 設(shè)選手甲在初賽 中答題的個數(shù)E,試寫出E的分布列，并求E的數(shù)學期望.【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進入決賽的概率為2 12 8選手甲答4道題進入決賽的概率為C2 - 32 3 3_27,選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率8 8 16P_27 + 27_ 27；13 / 132 3 1 3 1(2)依題意，E的可取取值為3

16、、4、5,則有P(E_3)_ 3 3+ 3 3_3,P( _ 4)_ C3 - 22 3 2+c2 - 122 1 103 3_ 27,P(E_ 5)_ C4 - 2 2+ C|21 | 1_ _833_ 27,因此，有345P110_8327271108107 _3X 3+ 4X 27+ 5X 27_ 1J.規(guī)律方法2求離散型隨機變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機變量的分布列，然 后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機變量XB(n, p),則可直接使用公式E(X)_np, D(X) _ np(1- p)求解.例5.(2014福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1 0

17、00位顧客進行 獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有 4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出 2個球，球上 所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1) 若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望.(2) 商場對獎勵總額的預算是60 000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算 且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡下面給出兩種方案：方案1: 4個球中所標面值分別為10元，10元，50元，50元；方案2： 4個球中所標面值分別為20元，20元，40元，40元.如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案？【解答】(1

18、)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.C-jC111 依題意，得p(x=60)=_c2二2,即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為耳C211 依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X= 20)= C2 = 2，P(X= 60)=勺,即X的分布列為X2060P11221 1所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為 E(X) = 20X 2+ 60X1 = 40(元).(2)對于方案1:設(shè)每位顧客獲得的獎勵額為X1元，則隨機變量X1的分布列為方差D(X1)=20-6062-+ 2x (60- 60)2 +2100 601 6006=3對于方案2:設(shè)顧客獲得的獎勵額為 X2元，則X2的分布列為X12060100121

19、DP6361 2 1數(shù)學期望 E(X1)= 20X 6 + 60X 3+ 100X6 = 60,根據(jù)預算，每個顧客的平均獎勵額為60元，且E(X1) = E(X2) = 60, D(X1)D(X2).因此，根據(jù)商場的設(shè)想，應(yīng)選擇方案 2.例6.如圖10-9-4所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量 (單位：噸)的頻率 分布直方圖.月均用水量/噸圖 10-9-4(1) 求直方圖中x的值；(2) 若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學期望與方差.【解】(1)依題意及頻率分布直方圖知，0. 02+ 0.1+ x+ 0

20、.37+ 0.39= 1,解得x= 0.12.由題意知，XB(3,0.1).因此 P(X= 0)= C3x 0.93= 0.729,P(X= 1)= CsX 0.1 x 0.92= 0.243, P(X = 2)= CsX 0.12x 0.9= 0.027，P(X= 3)= C3X 0.13= 0.001.故隨機變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學期望為E(X) = 3X 0.1 = 0.3.X 的方差為 D(X) = 3X 0.1X (1- 0.1) = 0.27.例7.某網(wǎng)站用“ 10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖

21、葉圖10- 9-3記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：幸福度3 066667788997 6 5 5圖 10-9-3(1) 指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2) 若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；(3) 以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人， 記E表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求 E的分布列及數(shù)學期望.【解】眾數(shù)：8,6;中位數(shù)：8.75(2)由莖葉圖可知，幸福度為“極幸?！钡娜擞?人.121140設(shè)Ai表示所取3人中有i個人是“極幸?！?，至多有1人

22、是“極幸?！庇洖槭录嗀，P(A)二 P(Ao) + P(A1)二 C36+ CC2二41(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蕿?6= 4故依題1意可知，從該社區(qū)中任選1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蕄=4E的可能取值為0,1,2,33 3 2711 3 2 27p(=)= 43二64； p( = 1=c14 4 2=64P(= 2)= C3=24 4= 64；所以E的分布列為0123P2727_964646464272791EE= ox 27+ 1x 27+64+ 3X 64=陽5另解由題可知EB3, 4，所以e片3X 1= 0.75.例8.【2015高考湖南，理18

23、】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有 5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2） 若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為 X，求X的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）7 ；（ 2 ）詳見解析.10【解析】試題分析：（1）記事件a 從甲箱中摸出的1個球是紅球，a2 從乙箱中摸出的1個球是 紅球B1顧客抽獎1次獲一等獎 ，B2 顧客抽獎1次獲二等獎, C顧客抽獎1次能獲獎,則可知

24、A 與 A 相互獨立，AA2 與A| A2 互斥，B1 與 B2 互斥，且 B1AjA?， B2A1A2A A2， CB1B2，再利用概率的加法公式即可求解；（2 ）分析題意可知X : B（3,丄），分別求得5p（xo）c（1）o（4）3 覆，p（x 1）c3（1）1（4）2 125，p（x 2 c2G）2Q1 12，P（X 3） C：（1）3（4）01 ，即可知X的概率分布及其期望.55125試題解析：（1）記事件 A 從甲箱中摸出的1個球是紅球 ，A從乙箱中摸出的1個球是紅球R 顧客抽獎1次獲一等獎 , B2 顧客抽獎1次獲二等獎 , C顧客抽獎1次能獲獎，由題意,A與A相互獨立,AA2與

25、AA2互斥，B1與B2互斥，且B1 小,B2A1A2AA2，CB1B2 ,- P(A)P(B2)2d105，P(A2)P(AA2A1A2)1、-2、 1J (1J小4 25110 22 1 1, P(B) P(AA) P(A)P(A0 匚；-,5 25P(AA0 P(AA2) P(A1)(1 P(A2) (1 P(A)P(A2)-，故所求概率為 P(C) P(B B2) P(B0 P(B2)-25 2710 ；客抽獎卅獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的槪率癥wegn于是砂=0)=喘嶺=爲心“=對由($=器此用=刀=公莎令】=爲 、512二?125 512;.14 A 1PCY=i)=c(：-n-丁二一.故疋的分布列為3312TCi:P6448121125125125125疋的數(shù)學期望再( = 3x1 = 455【考點定位】1概率的加法公式；2離散型隨機變量的概率分布與期望 .【名師點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實際應(yīng)用，這一 直都是高考命題的熱點，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實生活中的熱點問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計 的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識綜合的試題逐漸增多，在復習時應(yīng)予以 關(guān)注例9.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)f(x