可化為一元二次方程的分式方程

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載“可化為一元二次方程的分式方程”的 教學(xué)設(shè)計及設(shè)計理念課 題：可化為一元二次方程的分式方程（一）課 型：新授課數(shù)學(xué)目的：1、掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，會用去分母 或換元法求分式方程的解；2、知道解分式方程可能產(chǎn)生增根，并會檢驗；3、通過把某些分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的過程，使學(xué)生 認識到事物的變化及其聯(lián)系，以及把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的 方法；進一步認識轉(zhuǎn)化的思想方法，并提高學(xué)生的分析問題和解 決問題的能力；4、引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功 的體驗。教學(xué)重點：掌握由分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的基本方法。教學(xué)難點：解分式方程中的檢驗及轉(zhuǎn)化的

2、思想方法。教學(xué)方法：激思導(dǎo)探合作教學(xué)法教學(xué)過程：設(shè)疑引入1、問題：一同學(xué)到郵局買了兩種信封，共 30個，其中買A 種信封用了 1元5角，買B種信封用了 1元2角，B種信封每個 比A種信封便宜2分，兩種信封的單價各是多少？分析：要解決這個問題，不如設(shè) B種信封每個x分，那么A*本教案為作者所上示范課的課例設(shè)計。種信封每個許2）分,a種信封買了詈2個,b種信封買了早個,學(xué)習(xí)好資料歡迎下載兩個信封一共買30個，由此，得-150-+ 120=30.x 2 x2、提問：這是個什么方程？生：分式方程師：什么是分式方程生：答師：板書分式方程的定義3、回味舊知：解下列方程：（學(xué)生板演）x2-3x+2=0;（x

3、+-=3,）xx2 1、x2-2x-1=0;（=2;）x 1小 263.x +3x-4=0;(= 1 ；)(x 1)(x -1) x -3 x2-9x+18=0;, 2x -51(二二x 3x 2 4六舌-白二。.注意：一一要預(yù)留出二行？供以下解分式方程之用議論趨勢教師點評習(xí)題一一，重點研究第 5題，并小結(jié)解這類方 程的步驟（學(xué)生口述，教師補充完整，并出示投影）。去分母（方程兩邊都乘以最簡公分母），化為一元一次方程;解一元二次方程；檢驗（代入最簡公分母），舍去增根，得到原分式方程的根。引導(dǎo)探索學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1、師：你會解下列方程嗎？試試看。解方程：'f2-=1x 2 x -4 x-

4、2注意：把該題目寫在“回味舊知”解方程x2-3x+2=0的正上方，并預(yù)留一行。生：將方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)整理，得 x2-3x+2=0.注意：檢驗過程 11 4x 2,2、讓學(xué)生注意觀察兩個分式方程 ,+ -4 = 1與x 2 x - 4 x-21 4x 2 1 一一'學(xué) =0解法的比較，論這兩個題目和解題過程 x 2 x2 -4 x -2的相同點和不同點。生：相同點它們都是分式方程；解題的基本思想都是方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；它們都有可能產(chǎn)生增根，因此必須驗根。不同點：化為整式方程一個是一元一次方程，另

5、一個是一元二次方程。師：這就是我們今天要和同學(xué)們研究的內(nèi)容一一可化為一元二次方程的分式方程(出示課題)。3、你會解下列分式方程嗎？看誰解得又對又快。x21Dx1x 1=2,"x"/!'1；2x - 53)-x2 3x 2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載注意：把一一分別寫在“回味舊知”的一一的正方 上，并預(yù)留一行。4、小結(jié)：通過上述題組練習(xí)，讓學(xué)生體驗并小結(jié)，掌握解分式方程的 兩個關(guān)鍵步驟：正確找出最簡公分母；檢驗。5、討論：解分式方程時，為什么要檢驗？為什么要檢驗？這是因為用同一個含有未知數(shù)的整式(各分式的最簡公分母)去求方程的兩邊，約去分母，化為整式方程， 這樣得到的整式方程的

6、解有時與原方程的解相同，(當(dāng)最簡公分母 不為0時)，但也有時與原方程的解不同(當(dāng)最簡公分母為零時)， 這樣就擴大了未知數(shù)的取值，因而要檢驗。檢驗的方法：一是直接將求得的解代入原方程中去，看是否是原方程的根， 這種方法不但可以檢驗出增根，而是還可以發(fā)現(xiàn)在解題過程中是 否發(fā)生計算和變形等錯誤。二是把求得的根代入到原分式方程的最簡公分母，或去分母 的最簡公因式，當(dāng)其值為零時，即為增根，不為零時，即為原方 程的根，但這種檢驗法不能發(fā)現(xiàn)解題過程中的計算或變形等錯誤。6、換元法：例題：解方程2(X2 1)咚口 = 7. x 1 x 1(學(xué)生觀察思考討論，教師點撥引導(dǎo))分析：去分母，方程兩邊同乘以最簡公分母

7、 (x+1)(x2+1),約 去分母，得 2(x2-1)(x2+1)+6(x+1)(x+1)(x2+1)=7(x+1)(x2+1),在這個 方程中，有關(guān)于x2的四次項、三次項，目前解這個方程有困難。2,2,若把x二整個看作一個未知數(shù)，即設(shè)=y,則好=工，x 1x 1x2 1 y學(xué)習(xí)好資料歡迎下載這樣就可以把原方程化為一個較簡單的關(guān)于 y的整式方程。解這24個關(guān)于y的方程，求出y的值，再通過=y,求出x的值。x 12解：設(shè)x1=y,那么與于是方程變形為x 1x 1 y2y+ 6 =7.y方程兩邊同乘以y,約去分母，得2y2-7y+6=03 解這個方程，得 yi=2, y2=-.當(dāng)y=2時，M3

8、=2,去分母，整理得x 1x2-2x-1=02-8 . x= = 1 二、22c2當(dāng)y=3時，=3,去分母，整理得2 x 122x2-3x-1=0 x=檢驗：把x=1±V2, x= 017分別代入原方程的分母，各4分母都不等于0,所以它們都是原方程的根。原方程的根是：.、匚.匚x1=1 +、2 , x2=1 一 , 2學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載X3 =3 -.174x4=3 - . 174+x2x2 -1新方程 y2-5y-6=0.y+ 1 =-2y設(shè) x2+4x=y*4y- 二 2y 1或設(shè) x2+4x+1=y*y- 4 =3y師：通過本例可引導(dǎo)學(xué)生討論，并歸納用換元法解分式方程的教師小

9、結(jié)：在解分式方程時，首先應(yīng)從整體上去觀察、分析方程的特點, 然后確定解題的方案。如果是一個較復(fù)雜的方程，而方程中的分 式又有一定特點，那么就可以用設(shè)輔助元的方法，把它轉(zhuǎn)化為一 個簡單的方程，再解這個方程，這種方法在以前已學(xué)過，稱為換 元法。換元法是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它具有化難為易，化繁 為簡之效。練習(xí)：通過題組練習(xí)，深化換元思想方法。*）2 -令-6皿=一2;公24x +4x-二 2 .x 4x 1（學(xué)生口答，教師板書）解：設(shè)元轉(zhuǎn)化設(shè)旦二y x -1、2x2 -1設(shè)1 二 y步驟.觀察、分析方程的特點，探索換元的途徑;學(xué)習(xí)好資料歡迎下載設(shè)輔助未知數(shù)；用輔助未知數(shù)的代數(shù)式表示原方程中含有未知

10、數(shù)的式子， 把原方程化為只含有輔助未知數(shù)的方程；解含有輔助未知數(shù)的方程，求出輔助未知數(shù)的值；把輔助未知數(shù)的值代入原設(shè)輔助未知數(shù)的方程，求出原未 知數(shù)的值；驗根，并作答。師：小結(jié)在用換元法時，應(yīng)根據(jù)給出的方程特點，設(shè)輔助元。有關(guān)換 元的應(yīng)用，在下節(jié)課和后面學(xué)習(xí)中還要進步深入研究。歸納結(jié)論本課主要研究如何解可化為一元二次方程的分式方程。1、解分式方程的實質(zhì)是一個轉(zhuǎn)化過程，體現(xiàn)了化未知為已知 的數(shù)學(xué)思想方法。(1) 一般的分式方程可以直接通過去分母轉(zhuǎn)化成一元一次方 程或一元二次方程(出示投影)(2)某些較復(fù)雜的并有一定特點的分式方程可以利用換元法 先轉(zhuǎn)化成一個較為簡單的方程，再解方程(出示投影)學(xué)習(xí)

11、好資料 歡迎下載整式方程（3）有理方程，元一次方程 元二次方程 轉(zhuǎn)化元高次方程轉(zhuǎn)去分母化（2）換元2、轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵：一是求出分式方程中各分母的最簡公分母, 化分式方程為整式方程；二是根據(jù)分式方程自身的“式結(jié)構(gòu)”特 點巧妙換元，實施轉(zhuǎn)化策略。3、由分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，可能產(chǎn)生增根，故必須檢驗, 注意檢驗的方法?？傊瑪?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是一個不斷地把尚待解決的問題轉(zhuǎn) 化為已經(jīng)解決的問題，把一個復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為一個比較簡單 的問題，從而使所要研究的問題得到解決。練習(xí)反饋1、回歸“情境引入”，對“問題”作出完整的解答，為下節(jié) 課“可化為一元二次方程的分式方程（二）“打下伏筆”。2、學(xué)生板演：課本P4

12、9,練習(xí)1, 2;課本P50, A組1,；評價小結(jié)1、評價：解分式方程的思想；解分式方程為什么會產(chǎn)生增根。2、延伸：m為何值時,用去分母的方法解關(guān)于x的方程 4 = 工 -xx 1 x 1會產(chǎn)生增根?學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載解：將方程兩邊同乘以(x+1),得m=15-x(x+1)由于解方程產(chǎn)生增根,而且增根必定使x+1=0,所以增根就是x=-1由于增根是由方程解得的，所以增根 x=-1應(yīng)滿足方程 把x=-1代入方程，得 m=15.當(dāng)m=15時，原方程會產(chǎn)生增根.說明：解分式方程如果產(chǎn)生增根，這個增根一定使各分式的最簡 公分母為0;當(dāng)m=15時，解本例中方程會產(chǎn)生增根 x=-1,但同時，本 例中方程

13、也有一個根為 x=0,因此，分式方程有增根并不能說明 分式方程沒有實數(shù)根.布置作業(yè)：課本P50題A組：2、3本教案設(shè)計理念：讓學(xué)生積極參與和有效參與教學(xué)活動參與有兩個難度：積極參與和有效參與。積極參與是個情感 問題，有效參與是個認知問題。教學(xué)過程既是認知過程，又是情 感過程，在這個過程中，認知與情感相伴相隨，相輔相成。因此 說，積極參與和有效參與二者缺一不可。一、積極參與是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的前提積極參與是在培養(yǎng)學(xué)生良好的情感，態(tài)度與人際關(guān)系智力。學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)生從情感上愿意不愿意參與數(shù)學(xué)，可以說是衡量自主學(xué)習(xí)的標(biāo) 準(zhǔn)。從情感上愿意學(xué)習(xí)就是積極學(xué)習(xí)，積極的情緒狀態(tài)下學(xué)習(xí)效 果最佳。因此，積極參

14、與是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的前提。積極參與有三 種表現(xiàn)：1、情緒飽滿 學(xué)生的參與應(yīng)該是積極的、活躍的，主動的, 而不是被迫的參與。學(xué)生在課堂教學(xué)中的這種積極的情緒狀態(tài)主 要表現(xiàn)為濃厚的學(xué)習(xí)興趣與高昂的學(xué)習(xí)熱情。本課例的問題引入 中給出學(xué)生最為熟悉的生活事實，讓學(xué)生用原有的知識去探求解 決，學(xué)生主動參與成為可能。在復(fù)習(xí)舊知的題組中，給出了 “可 化為一元一次方程的分式方程”和“一元二次方程”的解法，后 面緊接著提供了 “可化為一元二次方程的分式方程”的解決，設(shè) 計成“轉(zhuǎn)化”與“解決” 一脈相承，引發(fā)了學(xué)生探求新知的欲望， 使學(xué)生的主動、積極的參與成為現(xiàn)實。教師又引導(dǎo)學(xué)生探求“可 化為一元一次方程的分式方程

15、”與“可化為一元二次方程的分式 方程”的解法又何異同，這樣的設(shè)計使學(xué)生的自主性得到充分的 發(fā)揮，整個的學(xué)習(xí)過程是學(xué)生在情緒論飽滿的狀態(tài)下，自我確定 目標(biāo)，自已尋找方法，主動學(xué)習(xí)的過程。因此使學(xué)生情緒飽滿的 學(xué)習(xí)是保證自主學(xué)習(xí)很重要的一個因素。2、交往互動要讓學(xué)生積極參與，就應(yīng)該為學(xué)生提供更廣闊的交往空間，使學(xué)生在主動的交往中獲得知識和體驗，這種交 往應(yīng)該是多向式、交互式的，既有師生的交往，又是生生的交往。 這種師生與生生間的多向交往既能滿足學(xué)生的求知欲，又能發(fā)揮 學(xué)生的主觀能動性，還能提高學(xué)生的智力活動水平。這些理念正 是“激思導(dǎo)探合作教學(xué)法”所要提倡的使學(xué)生在合作與交往的氛 圍中發(fā)展自已，成

16、長自已。教者在激發(fā)學(xué)生每用一種方法去解分 式方程時，都要求學(xué)生反思解題的方法步驟，反思解題思想策略， 在這些過程中，首先是引導(dǎo)學(xué)生組內(nèi)交流，然后是同桌交流，以學(xué)習(xí)好資料歡迎下載及不定向交流，給學(xué)生提供了自主的空間，營造了交往互動的氛 圍，培養(yǎng)了在合作之中求競爭的意識。3、參與面廣 絕大多數(shù)學(xué)生都能參與數(shù)學(xué)，而不是少數(shù)學(xué) 生，這一點非常重要。素質(zhì)教育強調(diào)面向全體，如果課堂上只有 少數(shù)學(xué)生參與，那就不是素質(zhì)教育。本課例在復(fù)習(xí)舊知中要求學(xué) 生解的5個方程，都是學(xué)生熟悉的，現(xiàn)有能力能夠達到的。因此, 學(xué)生的參與是全面的；在探求分式方程的解法時，教者事先設(shè)計 出了四個分式方程，經(jīng)轉(zhuǎn)化后都可以變?yōu)椤皬?fù)習(xí)舊

17、知”的四個一 元二次方程，靈活而巧妙，獨具匠心，別有一番風(fēng)味，學(xué)生在探 求分式方程的解法的過程中，明顯地感到“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程往往就 是不斷地把一個尚待解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，把一個 復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個比較簡單的問題，從而使所要研究的問題 得到解決?！边@樣的過程，每個學(xué)生都能探索轉(zhuǎn)化，都有發(fā)表自已 “見解”的機會，相互間又有交流自已“見解”的機會。因此，學(xué)生參與教學(xué)活動的面較廣。二、有效參與是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的保證有效參與是在開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實踐能力。 有效參與首先是思維的參與，思維活動是認知的核心，思維的真正參與，就能開發(fā)智力，創(chuàng)新能力也能培養(yǎng)出來，離開學(xué)生 的參與，不可能

18、有真正的學(xué)習(xí)效果。因此說，有效參與是學(xué)生自 主學(xué)習(xí)的保證。1、擁有更多的獨立學(xué)習(xí)時間 獨立學(xué)習(xí)的時間就是學(xué)生自由 支配的時間，這種可由學(xué)生自由支配的時間，對學(xué)生的發(fā)展是非 常重要的。自由支配的時間是學(xué)生主體參與的必要條件，也是個 性發(fā)展的必要條件。在課堂學(xué)習(xí)中，教師要千方百計地讓每一個 學(xué)生有更多的時間，把自由支配的時間還給學(xué)生，本課例要求學(xué)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載生體驗”在解分式方程中為何要突出“檢驗”這一解題環(huán)節(jié)？這個問題中，教者給予學(xué)生的時間是 3分鐘，就是讓學(xué)生有足夠 的時間去反思解題過程中出現(xiàn)“增根”的環(huán)節(jié)，為學(xué)生的有效參 與提供了時間保證。2、思維活躍起來 這是學(xué)生有效參與的關(guān)鍵所在。在

19、學(xué)習(xí)中 能夠動腦思考，積極探求，深入鉆研，思維才能得到啟迪，智力 才能得到開發(fā)，能力才能得到提高和培養(yǎng)。否則學(xué)生的學(xué)習(xí)不會 有真正的收獲。本課例中“換元法”教學(xué)的設(shè)計，先讓學(xué)生用“去 分母”去求解，學(xué)生思維受阻，那么就必須調(diào)整思維方式和角度， 使學(xué)生的思維更加活躍，情緒處于亢奮狀態(tài)。從這里可以看出， 有效參與是教學(xué)的關(guān)鍵，只有學(xué)生有效參與時，學(xué)生的思維才能 活躍起來，自主學(xué)習(xí)才能實現(xiàn)。3、獲得學(xué)習(xí)策略 學(xué)習(xí)策略的獲得是有效參與的重要方面， 學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)策略就是學(xué)會學(xué)習(xí)。本課例教師通過引導(dǎo)探索， 讓學(xué)生會用去分母法和換元法解分式方程，這個過程就是學(xué)習(xí)策 略中的類比、分析、綜合等思維策略的綜合運用。4、表現(xiàn)機會充分 表現(xiàn)是社會人發(fā)展的途徑之一。學(xué)生在校 學(xué)習(xí)的過程實際上是個體社會化的過程，而表現(xiàn)則是個人實現(xiàn)社 會化臺階。課堂不應(yīng)該僅僅是教師展現(xiàn)個人才華的舞臺，更重要 的應(yīng)該是學(xué)生表現(xiàn)的空間，教師要把“精彩”讓給學(xué)生。本課例 中解分式方程的兩種方法的探求，不是教師把結(jié)論拋給學(xué)生，而 是師生探求，得到兩解法，讓學(xué)生有感受到發(fā)現(xiàn)知識的成功喜悅， 也充分表現(xiàn)了學(xué)生的主體參與。5、創(chuàng)新素質(zhì)得到培養(yǎng) 素質(zhì)教育要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和 實踐能力為重點，有效參與要求在每節(jié)