有限元強(qiáng)度折減法

1、實(shí)用文檔有限元強(qiáng)度折減法1背景1974年，Smith & Hobbs1使用有限元方法分析了 m=0條件下的邊坡穩(wěn)定性 并與Taylar2的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到了很好的一致性；1975年，Zienkiewicz等網(wǎng) 考慮c'、小進(jìn)行有限元邊坡穩(wěn)定性分析，其結(jié)果與圓弧滑面解有較好吻合；1980年Griffiths4驗(yàn)證了一系列具有不同材料特性和形狀的邊坡穩(wěn)定性并通過(guò)與 Bishop& Morgenstern5的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比確定了數(shù)據(jù)的可靠性；此后也有研究證 實(shí)了利用有限元方法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析的可靠性6,7,8,9;在文獻(xiàn)9中，引入一些 案例證明了有限元強(qiáng)度折減法的準(zhǔn)確性，

2、并證明了有限元強(qiáng)度折減法在分析非均 質(zhì)邊坡時(shí)相對(duì)于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性。2001年，鄭穎人等10把有限元強(qiáng)度折減法 引入國(guó)內(nèi)，并對(duì)此進(jìn)行了后續(xù)研究11,12,13,14。相較于一些傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定型分析方法，有限元強(qiáng)度折減法有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)9:(1)不必假設(shè)滑面的位置和形狀，當(dāng)土體自身強(qiáng)度不足以抵抗剪應(yīng)力時(shí)土體 失穩(wěn)會(huì)自然發(fā)生。(2)由于有限元強(qiáng)度折減法中沒(méi)有條分的概念，因此也不必假設(shè)條問(wèn)力，在 整體失穩(wěn)之前土體都處于整體穩(wěn)定狀態(tài)。(3)使用有限元方法能夠查看破壞過(guò)程。2有限元強(qiáng)度系數(shù)折減法1 .模型參數(shù)邊坡模型主要包括六個(gè)參數(shù)，分別是：膨脹角 巾、內(nèi)摩擦角腔黏聚力c'、 彈性模量E'

3、、泊松比u、重度丫。膨脹角影響土體屈服后的體積變形，若巾0則土體屈服后體積減小，若少0 則體積增大，巾=0則體積不變。少=小的情況被稱之為關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，但是此時(shí) 也 值通常高于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值，特別是在側(cè)限條件下會(huì)提高土的承載力預(yù)測(cè)值。邊坡穩(wěn)定型問(wèn)題通常是處于無(wú)側(cè)限條件下， 此時(shí)膨脹角的選取不再重要9,因此文獻(xiàn)9 選取巾=0條件下的非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，并且通過(guò)案例分析可以得出此膨脹角的選 取可以得出準(zhǔn)確的安全系數(shù)以及滑動(dòng)面。c和小指Mohr-Coulomb準(zhǔn)則中邊坡土體的有效黏聚力和內(nèi)摩擦角；E'和u'是土體材料的彈性參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)土體穩(wěn)定性分析的影響較??；丫是土體的重度。應(yīng)用有限元

4、方法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析中最重要的三個(gè)參數(shù)是c'、6 和2 .屈服條件(1)Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則Mohr-Coulomb準(zhǔn)則用大小主應(yīng)力表示如式(1)所示：(1)其中，、分別指土中一點(diǎn)的大小主應(yīng)力。在主應(yīng)力空間中，如果不考慮、 之間的大小關(guān)系，屈服面是一個(gè)不等角六棱錐，在冗平面上是一個(gè)等邊不等角六邊形。(2)D-P準(zhǔn)則標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔D-P準(zhǔn)則可以寫成式(2)形式：一(2)其中Ii為第一應(yīng)力不變量、&為第二偏應(yīng)力不變量，B和kf為試驗(yàn)常數(shù)。在 主應(yīng)力空間中其屈服面為一個(gè)圓錐，在冗平面上是一個(gè)圓形。3)D-P準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換為Mohr-Coulomb準(zhǔn)則首先引入?yún)?shù)b,如式(3)

5、所示：(3)則， 和 一分別可轉(zhuǎn)化為式(4):(4)其中將其帶入(2),得式(5):：2：-2(5)與式(1)對(duì)比可知兩個(gè)準(zhǔn)則之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(6)所示：(6)因此，當(dāng)b=0時(shí)，即外角點(diǎn)外接DP圓的兩個(gè)試驗(yàn)常數(shù)分別如式(7)所示，當(dāng) b=1時(shí)，即內(nèi)角點(diǎn)外接DP圓的兩個(gè)試驗(yàn)常數(shù)分別如式(8)所示。， (7)， (8)廿a內(nèi)角點(diǎn)外接Db1a f> 03QXDiOi. 01外角點(diǎn)外接D(T Q3.安全系數(shù)的定義(l)Mohr-Coulomb準(zhǔn)則中的安全系數(shù)1955年，Bishop”首先在邊坡穩(wěn)定性分析中提出了抗剪強(qiáng)度折減的概念，在有限元強(qiáng)度折減法中通過(guò)將坡體的強(qiáng)度參數(shù)：黏聚力c和內(nèi)摩擦角小同

6、時(shí)除一個(gè)折減系數(shù)Ft,得到一組新的c'和小值，作為一個(gè)新的強(qiáng)度參數(shù)輸入進(jìn)行試算，標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔當(dāng)計(jì)算不收斂時(shí)，對(duì)應(yīng)的 Ft即為所求的安全系數(shù)，此時(shí)坡體達(dá)到極限狀態(tài)，發(fā) 生剪切破壞。c' =c/Fd ' =arctan(tant)小 /F(2)D-P(Drucker-Prager濰則中的安全系數(shù)取Ft為D-P準(zhǔn)則中的強(qiáng)度折減系數(shù)，則 D-P準(zhǔn)則可以表示為式(9), 一 (9)(3)不同屈服條件下安全系數(shù)轉(zhuǎn)換13首先引入Mohr-Coulomb等面積圓屈服準(zhǔn)則，在 冗平面上，其屈服面是一個(gè) 圓，并且面積與 Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的不等角六邊形相等，Mohr-Coul

7、omb等面 積圓屈服準(zhǔn)則中的試驗(yàn)參數(shù)如式(10)所示：(10)式中簡(jiǎn)稱外接圓屈服準(zhǔn)則為DP1準(zhǔn)則，其試驗(yàn)常數(shù)分別為 例，kf1; Mohr-Coulomb 等面積圓屈服準(zhǔn)則為DP2準(zhǔn)則，其試驗(yàn)常數(shù)分別為 皮，kf2。把DP1準(zhǔn)則表示為一,DP2準(zhǔn)則可表示為 一。令=1B =kf1kf2=f(耙)，所以一。由此可知，刀是小的函數(shù)，當(dāng) 小取不同值時(shí)可以得到不同的 刀值如表1 所列：表1不同內(nèi)摩擦角時(shí)的刀值勺心】0203()40可1. 100L 1651.2331. 301L367中/e)5060708090可】.4281.4801.5211, 5461.5554.失穩(wěn)判據(jù)目前兩個(gè)比較主流的失穩(wěn)判據(jù)

8、分別是有限元計(jì)算中力不平衡和位移的不收 斂以及廣義塑性應(yīng)變或者等效塑性應(yīng)變從坡腳到坡頂貫通。Griffiths 9和鄭穎人11,12,13,14 用計(jì)算不收斂作為失穩(wěn)判據(jù)。Griffiths9提出，當(dāng)在用戶定義的最大迭代數(shù)目下計(jì)算仍不收斂時(shí)，則沒(méi)有 任何一種應(yīng)力分布方式可以同時(shí)滿足 Mohr-Coulomb準(zhǔn)則以及整體穩(wěn)定，這種情 況可看做邊坡失穩(wěn)判據(jù)。邊坡失穩(wěn)與數(shù)值計(jì)算不收斂同時(shí)發(fā)生，并伴隨著極大的節(jié)點(diǎn)位移，并以1000作為最大的迭代步數(shù)。鄭穎人14提出，有限元的計(jì)算迭代過(guò)程就是尋找外力和內(nèi)力達(dá)到平衡狀態(tài) 的過(guò)程，整個(gè)迭代過(guò)程直到一個(gè)合適的收斂標(biāo)準(zhǔn)得到滿足才停止。可見(jiàn)，如果邊坡失穩(wěn)破壞，滑面

9、上將產(chǎn)生沒(méi)有限制的塑性變形，有限元程序無(wú)法從有限元方程 組中找到一個(gè)既能滿足靜力平衡又能滿足應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和強(qiáng)度準(zhǔn)則的解，此時(shí) 不管是從力的收斂標(biāo)準(zhǔn)，還是從位移的收斂標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷有限元計(jì)算都不收斂。標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔3案例分析例一，不含地基的均質(zhì)邊坡9該邊坡如圖1所示，有限元程序采用Mohr-Coulomb失效準(zhǔn)則，建立平面應(yīng)變條件下八節(jié)點(diǎn)四邊形單元減縮積分計(jì)算模型，其強(qiáng)度參數(shù)為 曠二20C' /Yh=d05邊坡坡度為26.57(2:1),坡底水平，其邊界條件為坡底約束豎直方向位移與水平 方向位移，左側(cè)約束水平方向位移，其余面為自由面。施加重力荷載后使安全系 數(shù)從0.8到1.4逐步變化直至

10、計(jì)算不收斂Fixed圖1不含地基的均質(zhì)邊坡每一個(gè)安全系數(shù)對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)如表2所列，當(dāng)真正的安全系數(shù)接近時(shí)需要更多的迭代次數(shù)。表2例一計(jì)算結(jié)果FOSIterations0-800-37921 00101-200-422201 300453411-350 5447921 4014761000當(dāng)安全系數(shù)為1.4時(shí)，無(wú)量綱位移E' max/丫2突變，并且此時(shí)計(jì)算無(wú)法收斂， 在此情況下有限元計(jì)算結(jié)果與Bishop & Morgenster5給出的結(jié)果吻合良好，如圖2所小。Bishop & Morgenstem (19G0)FOS = 1 380F-m 'nlIIiOB11

11、-21416ros圖2安全系數(shù)與無(wú)量綱位移標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔邊坡失穩(wěn)時(shí)(FOS=1.4)節(jié)點(diǎn)位移矢量和網(wǎng)格變形如圖 3(a)和圖3(b)所示，由此 可得到邊坡的潛在滑動(dòng)面。圖3安全系數(shù)為1.4計(jì)算不收斂時(shí)邊坡變形 (a)節(jié)點(diǎn)位移矢量(b)網(wǎng)格變形 例二，有軟弱層的不排水黏性土邊坡在本案例中，使用Tresca準(zhǔn)則(依0)進(jìn)行總應(yīng)力分析。邊坡幾何形狀如圖4所示，地基厚度與邊坡高度相同，該邊坡有一個(gè)軟弱層，在有限元計(jì)算中，令其 抗剪強(qiáng)度(Cu2)在一定范圍內(nèi)變化但其周圍土體抗剪強(qiáng)度保持Cui/ 丫 H=0.2不變。利用有限元方法計(jì)算該邊坡的安全系數(shù)結(jié)果如圖5所示，對(duì)于均質(zhì)邊坡情況，Cu2/Cui=1,

12、有限元計(jì)算結(jié)果與Taylor2的結(jié)論很接近，隨著軟弱層的強(qiáng)度逐漸減 小，在Cu2/Cu1 = 0.6時(shí)，結(jié)果發(fā)生了明顯的變化。分別假定圓弧滑面和穿過(guò)軟弱 面的三段線滑面并利用Janbu法計(jì)算安全系數(shù)，可見(jiàn)在Cu2/Cui = 0.6fc也發(fā)生了滑 動(dòng)機(jī)制的轉(zhuǎn)換，當(dāng)Cu2/Cui>0.6時(shí)，潛在滑面形狀為圓弧，當(dāng) Cu2/Cui<0.6時(shí)，潛 在滑面為結(jié)構(gòu)軟弱面。圖 6更加清晰的展示了這一現(xiàn)象，圖6(a)為均質(zhì)邊坡(Cu2/Cui=i)時(shí)的潛在滑面，可見(jiàn)此時(shí)的滑面形狀為圓弧滑面，與Taylor2的預(yù)測(cè)相同；圖6為軟弱層強(qiáng)度只有其周圍土體 20%( Cu2/Cui=0.2)時(shí)的潛在滑面

13、，止匕 時(shí)潛在滑面沿軟弱層發(fā)展；圖6(b)為軟弱層強(qiáng)度只有其周圍土體60%( Cu2/Cui=0.6) 時(shí)的潛在滑面，此時(shí)圓弧滑面和沿軟弱層的三段線式滑面都有可能發(fā)展，至少存在兩種明顯的滑動(dòng)機(jī)制。圖4有軟弱層的不排水黏性邊坡標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔00 20 40 6081S O u.圖5不同軟弱層強(qiáng)度時(shí)的安全系數(shù)圖6不同軟弱層強(qiáng)度下的網(wǎng)格變形(a) Cu2心ui=1.0 (b) C u2心ui=0.6C u2心ui=0.2例三，不同坡度邊坡安全系數(shù)計(jì)算13,驗(yàn)證Mohr-Coulomb等面積圓屈服準(zhǔn)則均質(zhì)邊坡，坡高H=20m,土容重丫 =25kN/m,黏聚力c=42kPa,內(nèi)摩擦角 小=17求坡角B

14、分別為30°,35：40；45：50時(shí)邊坡的安全系數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表 3所列。標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔表3安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果玻用B /O安全系數(shù)有限元法L'J 化法(D3。L7S.47】.3M1,46335L621.341,259L3J84()L22L 153L21245L36】.12】.儂L 11550L291.060.992kCBR由1：梁用外按掰Mfll也勖1：力桑明其爾一H也善而積網(wǎng)展網(wǎng)棒曲L從表中計(jì)算結(jié)果可以看出，采用外接圓屈服準(zhǔn)則計(jì)算的安全系數(shù)比傳統(tǒng)的方 法大許多，采用莫爾-庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則計(jì)算的結(jié)果與傳統(tǒng)極限平衡方法 (Spence法)計(jì)算的結(jié)果十分接近，說(shuō)明采用莫爾-

15、庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則來(lái)代替莫 爾-庫(kù)侖不等角六邊形屈服準(zhǔn)則是可行的，這樣使計(jì)算大為方便。而采用外接圓屈 服準(zhǔn)則計(jì)算的安全系數(shù)要比莫爾-庫(kù)侖等面積圓屈服準(zhǔn)則計(jì)算的結(jié)果大刀1.21)倍。例四，存在兩組節(jié)理面的巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析12如圖7所示，巖體中存在兩組方向不同的軟弱結(jié)構(gòu)面，貫通率 100%,第一 組軟弱結(jié)構(gòu)面傾角為30°,平均間距10m；第二組軟弱結(jié)構(gòu)面傾角75°,平均問(wèn) 距10m。巖體重度為25kN/m3,彈性模量1xi010Pa,泊才H匕0.2,黏聚力1MPa, 內(nèi)摩擦角38°,兩組節(jié)理參數(shù)相同，重度為17kN/m3,彈性模量1X107Pa,泊松 比0.3,黏

16、聚力0.12MPa,內(nèi)摩擦角24°。按照二維平面應(yīng)變問(wèn)題建立有限元模型，按照連續(xù)介質(zhì)處理。通過(guò)有限元強(qiáng) 度折減，求得坡體破壞時(shí)的運(yùn)動(dòng)矢量如圖 8所示，滑動(dòng)面如圖9(a)所示，它是最 先貫通的塑性區(qū)，塑性區(qū)貫通并不等于破壞，當(dāng)塑性區(qū)貫通后繼續(xù)發(fā)展到一定程 度，巖體發(fā)生整體破壞，同時(shí)出現(xiàn)第二條貫通的塑性面，如圖9(b)所示。求得的穩(wěn)定安全系數(shù)如表4所列，其中，極限平衡方法計(jì)算結(jié)果是根據(jù)最先貫通的那一 條滑動(dòng)面求得的。標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔圖9坡體破壞時(shí)的運(yùn)動(dòng)矢量圖圖8極限狀態(tài)時(shí)的塑性區(qū)表4例計(jì)算結(jié)果計(jì)算方法安全系數(shù)有限元法（外接圓屈服準(zhǔn)則）1.62有限無(wú)法莫爾-屋侖等而積圓屈服準(zhǔn)則）1.33極

17、限平衡方法（Spencer法）1,36例五，存在接觸問(wèn)題的邊坡穩(wěn)定性分析12當(dāng)邊坡中存在如圖10所示的硬性結(jié)構(gòu)面時(shí)，不能按照例四中軟弱結(jié)構(gòu)面的 方法進(jìn)行處理，可 以采用接 觸單元來(lái) 模擬硬性接 觸面的不連續(xù)性。 按照 Mohr-Coulomb定律來(lái)定義接觸面上的摩擦行為，如式11所示，則其接觸面上的標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔安全系數(shù)定義如式11所示。圖10無(wú)充填的硬性結(jié)構(gòu)面r =c+（T tan <k>0 Ft=c/c ' =tan 小 /tan 小'（11）圖11所示為兩個(gè)直線滑面組成的折線型滑體 ABMCD。巖體重度T =20kN/rn, 彈性模量E=109Pa?；瑝KAB

18、CD面積433m2,滑面AB=20m，傾角為15° ,AD=25m , DC=19.32m, BC=19.82m；滑塊 BCM 面積 196.5m2,滑面 BM=28.03m,傾角為 45°, CM=19.82m。CM面上施加有線性變化的面荷載， PiM=400kPa, Pc=0。圖12坡體達(dá)到極限狀態(tài)后的破壞滑動(dòng) 表5例五計(jì)算結(jié)果在滑動(dòng)面AB, BM上布置接觸單元，坡體達(dá)到極限狀態(tài)后的破壞滑動(dòng)如圖12所示，并把有限元計(jì)算結(jié)果，與傳統(tǒng)極限平衡方法 Spencer法進(jìn)行對(duì)比，接觸單元的相關(guān)力學(xué)參數(shù)以及兩種計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表5所列。參數(shù)有限元弭度折減法Spencerc = 160

19、 kP電 中。0°LOO099r- 160 kPa.審2A2.11r = 320 kPa* 中=10°2332.33c= 160 kPa,承"5"1.9Kc - 0 kPa,中= 45"3 US2.94另外，在單元?jiǎng)澐值倪^(guò)程中，在兩個(gè)滑動(dòng)面的交匯處形成了尖角， 在尖角處形成較大的應(yīng)力集中，求解時(shí)會(huì)產(chǎn)生病態(tài)方程。 實(shí)體模型上，使用線的倒角來(lái)使尖角光滑化，標(biāo)準(zhǔn)文案為了避免這些建模問(wèn)題，需要在 或者在曲率突然變化的區(qū)域使用更實(shí)用文檔細(xì)的網(wǎng)格。例六，泥巖層上粉質(zhì)粘土邊坡計(jì)算分析坡體材料力學(xué)參數(shù)為彈性模量 40MPa、泊松比0.28、重度19kN/m3、

20、黏聚力 20kPa、內(nèi)摩擦角25 ,地基材料力學(xué)參數(shù)為彈性模量 400MPa泊才&比0.23、 重度24kN/m3、黏聚力400kPa內(nèi)摩擦角32°。模型幾何尺寸及邊界條件如圖 13所示：圖13模型幾何尺寸及邊界條件通過(guò)ABAQUS有限元軟件計(jì)算，當(dāng)邊坡的安全系數(shù)為1.3時(shí)，計(jì)算不收斂， 通過(guò)Slide軟件利用瑞典條分法計(jì)算得到的邊坡安全穩(wěn)定系數(shù)為1.295,瑞典條分法計(jì)算的滑面和有限元計(jì)算的塑性區(qū)如圖 14所示，可見(jiàn)兩種方法計(jì)算出的安全 系數(shù)和滑面吻合性較好。瑞典條分法i十算的滑動(dòng)面 一-強(qiáng)度折減法計(jì)算的塑性區(qū)路堤地基5參考文獻(xiàn)1 Smith, I. M. & Ho

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