(完整版)三、模糊推理1

1、第三章：模糊推理系統(tǒng)隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)計(jì)算機(jī)的要求愈來(lái)愈高，不僅要求它具有更高的運(yùn)算速度、 更大的信息存貯和數(shù)據(jù)處理能力，而且還需要計(jì)算機(jī)具有一定的“智能” ?？刂普摰膭?chuàng)始人維納曾 經(jīng)說(shuō)過(guò)，由于“人具有運(yùn)用模糊概念的能力” ，所以人勝過(guò)任何最完善的機(jī)器。對(duì)模糊事物進(jìn)行識(shí) 別和判決是人腦的重要特點(diǎn)之一， 那么如何使計(jì)算機(jī)能夠模擬人腦思維的模糊性， 如何使模糊語(yǔ)言 作為算法語(yǔ)言直接進(jìn)入計(jì)算機(jī)程序， 讓計(jì)算機(jī)完成模糊推理， 這是模糊信息處理首先要解決的問(wèn)題。 § 3.1 語(yǔ)言變量與模糊規(guī)則為了使計(jì)算機(jī)能夠利用模糊概念， 模擬人的思維進(jìn)行模糊推理， 首先需要深入研究模糊推理的 一

2、些基礎(chǔ)知識(shí)。如模糊語(yǔ)言變量、模糊命題及模糊推理方法等等。3.1.1 模糊語(yǔ)言語(yǔ)言是一種符號(hào)系統(tǒng)， 通常包括自然語(yǔ)言和人工語(yǔ)言?xún)煞N。 自然語(yǔ)言是指人類(lèi)交流信息時(shí)使用 的語(yǔ)言，它可以表示主、客觀世界的各種事物、觀念、行為、情感等。自然語(yǔ)言具有相當(dāng)?shù)牟淮_定 性，其主要特征就是模糊性，這種模糊性主要是由于自然語(yǔ)言中經(jīng)常用到大量的模糊詞(如黎明、模范、優(yōu)美、擁護(hù)等 )。人工語(yǔ)言主要是指程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，如我們熟悉的 C 語(yǔ)言、匯編語(yǔ)言等。人 工語(yǔ)言的格式是非常嚴(yán)密、且概念十分清晰。一、模糊語(yǔ)言的概念從廣義角度來(lái)講， 一切具有模糊性的語(yǔ)言都稱(chēng)為模糊語(yǔ)言。 顯然，模糊語(yǔ)言主要是指自然語(yǔ)言。 由于模糊語(yǔ)言可以對(duì)模

3、糊性進(jìn)行分析和處理， 因此，在現(xiàn)實(shí)生活中， 人們常常用模糊語(yǔ)言來(lái)描述事 物或現(xiàn)象的模糊性。另外，需 要說(shuō)明的是模糊語(yǔ)言又具有很大的靈活性 ，在不同的場(chǎng)合，同一全 模糊概念可以表達(dá)出不同的含義。如“高個(gè)子” ，在中國(guó)，大約在 1.751.85 m之間的人就認(rèn)為是 “高個(gè)子”，而在歐洲，大約在 1.801.90 m之間的人才能算作“高個(gè)子” 。模糊語(yǔ)言是一種廣泛使用的自然語(yǔ)言。 如何將模糊語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)， 使計(jì)算機(jī)能夠模擬人的思維 去推理和判斷，這就引出了語(yǔ)言變量這一概念。二、語(yǔ)言變量 語(yǔ)言變量是以自然語(yǔ)言中的詞、詞組或句子作為變量，而不是以數(shù)值作為變量。如模糊控制中 經(jīng)常用到的語(yǔ)言變量“偏差” 、

4、“偏差變化率”等。語(yǔ)言變量的概念最早由 Zedeh 提出。語(yǔ)言變量的值稱(chēng)為語(yǔ)言值， 一般也是由自然語(yǔ)言中的詞、 詞組或句子構(gòu)成。 如語(yǔ)言變量“偏差”、 “偏差變化率”的語(yǔ)言值可以由“大” 、“中”、“小”等詞來(lái)描述。語(yǔ)言變量與相應(yīng)的語(yǔ)言值之間必 須遵守語(yǔ)法規(guī)則和語(yǔ)義規(guī)則。 語(yǔ)言變量的語(yǔ)言值通常用模糊集合來(lái)描述， 該模糊集合對(duì)應(yīng)的數(shù)值變 量稱(chēng)作基礎(chǔ)變量。綜上所述，一個(gè)完整的語(yǔ)言變量可定義為一個(gè)五元體 (X,T(X),U,G, M)其中 X 語(yǔ)言變量的名稱(chēng)；T(X) 語(yǔ)言變量的語(yǔ)言值；U 論域；G一語(yǔ)法規(guī)則；M 語(yǔ)義規(guī)則。下面以“年齡”作為語(yǔ)言變量 X ，該語(yǔ)言變量的論域 U 取0, ) 。根據(jù)語(yǔ)

5、法規(guī)則可知，描述語(yǔ)言變量“年齡”的語(yǔ)言值有“年青” 、“中年”、“年老”幾種，那么 T(X)可表示為T(mén)(X) 年青中年年老語(yǔ)義規(guī)則主要是用來(lái)反映實(shí)際論域中的歲數(shù)與模糊集合年老”之間的關(guān)系模糊語(yǔ)言變量的完整描述見(jiàn)圖 3.1.1年齡年青 中年1.0020 4060 80語(yǔ)言變量 X語(yǔ)法規(guī)則 G語(yǔ)言值 T(X )語(yǔ)義規(guī)則 M論域(歲)U圖 3.1.1 “年齡”語(yǔ)言變量的五元體三、模糊語(yǔ)氣算子 模糊語(yǔ)氣算子是指一類(lèi)加強(qiáng)或削弱模糊語(yǔ)言表達(dá)程度的詞，如“特別” 、“很”、“相當(dāng)”等等， 可以對(duì)模糊語(yǔ)言值進(jìn)行修飾。比如對(duì)語(yǔ)言值“年輕” 、“年老”等進(jìn)行修飾，變?yōu)椤昂苣昵唷?、“特別 老”等。設(shè)模糊集 A 的

6、隸屬函數(shù)為 A(x) ，那么模糊語(yǔ)氣算子的數(shù)學(xué)描述可以表示為nA (x) ，其中加強(qiáng)語(yǔ)氣的詞稱(chēng)為集中算子，取 n 1；減弱語(yǔ)氣的詞稱(chēng)為散漫化算子，取 n 1。例 3.1.1 設(shè)模糊集合 A 表示“年青”這一模糊概念，其隸屬函數(shù)為1A(x)11 (x 25)/52(15 x 25)(x 25)可以算出 28 歲和 30歲的人對(duì)“年青”的隸屬度為A(28) 0.74 ； A (30) 0.5現(xiàn)在給“年青”加上集中算子“很” ，用模糊集合 B 表示“很年青”，若取 n 2 ，則可得“很年青”的隸屬函數(shù)為1 (15 x 25)2B (x)1 2 (x 25)1 (x 25) 52代入上式可以算出28

7、歲和 30歲的人對(duì)“很年青”的隸屬度分別為B (28) 0.54；B(30) 0.25若給“年青”加上散漫化算子“較” ，用模糊集合 C表示“較年青”，取 n 0.5 ，則可得“較年 青”的隸屬函數(shù)為1 (15 x 25)1C (x)1 2 (x 25)1 (x 25) 52可以算出 28歲和 30 歲的人對(duì)“較年青”的隸屬度分別為C (28) 0.88；C (30) 0.71可見(jiàn)，同樣的年齡對(duì)于不同的模糊集其隸屬度是不同的，反映出模糊語(yǔ)氣算子的作用。3.1.2 模糊規(guī)則一、模糊邏輯 數(shù)理邏輯是建立在經(jīng)典集合論上的研究概念、判斷和推理形式的一門(mén)學(xué)科，又稱(chēng)為經(jīng)典邏輯。經(jīng)典邏輯最大的特點(diǎn)是所反映的

8、內(nèi)容非真即假，在客觀世界中這樣的命題不勝枚舉。比如： 北京是中華人民共和國(guó)的首都 石頭可以當(dāng)飯吃 但是，還有一類(lèi)命題很難做出這樣明確的判斷。比如： 機(jī)動(dòng)車(chē)比自行車(chē)的速度更快 南方的天氣很熱對(duì)于這樣的模糊性命題， 經(jīng)典邏輯往往不能給出符合實(shí)際情況的結(jié)果。 正如英國(guó)著名的邏輯學(xué) 家 B. Russell在 1923 年所言：“經(jīng)典邏輯都習(xí)慣于假定使用的是精確的符號(hào)。因此，它不適合于塵 世生活，而僅僅適用于想象的天體存在物。邏輯學(xué)較別的學(xué)科使我們更接近于天堂?！盧ussell認(rèn)為世界上不存在絕對(duì)的精確性， 二值邏輯描述的是理想世界， 而不是現(xiàn)實(shí)世界。 最早跨出二值邏 輯限制的是波蘭的邏輯學(xué)家 Jan

9、 Lukasiewicz，他于 1920年創(chuàng)立了多值邏輯。 直到 1965年，Lotfi Asker Zadeh創(chuàng)立了模糊集合論， 使經(jīng)典邏輯值由 0,1 兩值擴(kuò)展到可以在閉區(qū)間 0,1任意取值，于是產(chǎn)生 模糊邏輯。模糊邏輯是二值邏輯的推廣，可以在 0,1 區(qū)間上任意取值。模糊邏輯運(yùn)算規(guī)則也是以經(jīng)典邏輯 運(yùn)算規(guī)則為基礎(chǔ)， 經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展而形成的。 經(jīng)典邏輯對(duì)應(yīng)于經(jīng)典集合論， 其運(yùn)算規(guī)則稱(chēng)為布爾代 數(shù)。若 , , 0,1 ，布爾代數(shù)具有如下的運(yùn)算性質(zhì)：(1) 冪等律 V(3)結(jié)合律(V)VV ( V )() ( )(4)吸收律(V)( )V(5)分配律(V)( )V ()( )V(V ) ( V

10、 )(6)復(fù)原律( C)C(7)補(bǔ)余律V C1C 0 (模糊邏輯運(yùn)算不符合)(8)V 11V 0 1 0 0(2) 交換律 VV模糊邏輯對(duì)應(yīng)于模糊集合論， 模糊邏輯運(yùn)算除了不滿(mǎn)足布爾代數(shù)里的補(bǔ)余律外，布爾代數(shù)的其它運(yùn)算性質(zhì)它都適用 。除此之外， 模糊邏輯運(yùn)算滿(mǎn)足德 ?摩根(De-Morgan) 代數(shù)，即(V )C C C(3.1.1)( )C CV C(3.1.2)對(duì)于補(bǔ)余運(yùn)算， De-Morgan 代數(shù)中是這樣定義的：V C 1，而 V C max( ,1 )(3.1.3)C 0，而 V C min( ,1 )(3.1.4)二、模糊命題模糊命題是指帶有模糊性的陳述句 。模糊命題的真值不是絕對(duì)

11、的“真”或“假” ，而反映其隸 屬于“真”的程度。模糊邏輯是表征模糊命題的工具，是研究模糊推理最基本的數(shù)學(xué)手段。模糊命 題可以分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題兩種 ，通常用大寫(xiě)字母 P ， Q ， R 表示 ，如：P ：金屬物體的導(dǎo)電性能好；Q ：100比 1大得多。顯然， P 是模糊性質(zhì)命題， Q 是模糊關(guān)系命題。但無(wú)論是性質(zhì)命題 P ，還是關(guān)系命題 Q ，都無(wú) 法做出“真”、“假”這樣明確判斷， 其真實(shí)程度 (即模糊命題的真值) 只有通過(guò)模糊邏輯值來(lái)反映。 模糊命題從構(gòu)成上劃分，又可分為 簡(jiǎn)單模糊命題和復(fù)合模糊命題 兩種。簡(jiǎn)單模糊命題的一般形式 為：P： “ x是 A” ( x is A )其中元素

12、 x X ， X 是論域； A 是某個(gè)模糊概念所對(duì)應(yīng)的模糊集合。模糊命題的真值，由元素 x對(duì)模糊集合 A 的隸屬程度 A (x)表示。在模糊命題中，“is A”稱(chēng) 作模糊謂詞。 簡(jiǎn)單模糊命題通過(guò)連接詞“且” 、“或”、“非”等連接起來(lái)，就構(gòu)成了復(fù)合模糊命題 。 復(fù)合模糊命題一般形式為Q1： “ x是A ”且“ y是B” ( x is A and y is B )Q2： “ x是 A”或 “ y是B” ( x is A or y is B )其中元素 x X、 y Y， X 、 Y是論域； A 、 B是相應(yīng)的模糊集合。由于模糊命題間的“且” 、“或”、“非”實(shí)質(zhì)上可以通過(guò)模糊邏輯“交” 、“并”

13、、“補(bǔ)”實(shí)現(xiàn)。因 此，對(duì)于復(fù)合模糊命題的真值，需要通過(guò)模糊合成運(yùn)算來(lái)求取。下面給出模糊命題之間的“并” 、 “交”、“補(bǔ)”基本運(yùn)算的定義：設(shè)有模糊命題 P ： x is A ； Q ： y is B ，經(jīng)過(guò)“并”、“交”、“補(bǔ)”運(yùn)算后，其真值為：(1) 并 P QPQA(x)VB(y)(3.1.5)(2) 交 P QPQA (x)B (y)(3.1.6)(3) 補(bǔ) P CCPC 1P1A (x)(3.1.7)可見(jiàn)，復(fù)合模糊命題的真值實(shí)質(zhì)上就是各簡(jiǎn)單模糊命題之間合成運(yùn)算的結(jié)果。當(dāng)然，上面給出的只是在“并”、“交”、“補(bǔ)”基本運(yùn)算定義下的結(jié)果。其實(shí)，復(fù)合模糊命題的真值也滿(mǎn)足其它“ S 范數(shù)”、“T

14、 范數(shù)”及“補(bǔ)”運(yùn)算規(guī)則。三、模糊規(guī)則模糊規(guī)則是模糊推理的基礎(chǔ)，由若干個(gè)模糊命題組成。 模糊規(guī)則也稱(chēng)為模糊條件語(yǔ)句，其表達(dá) 形式如下：if x is A, then y is B(3.1.8)其中 A和 B分別是論域 X和Y上的模糊集合定義的語(yǔ)言值。在模糊規(guī)則中，通常將 “ x is A ”稱(chēng)為前件或前提，“ y is B ”稱(chēng)作后件或結(jié)論。模糊規(guī)則 廣泛地存在于實(shí)際生活中，例如： 如果你的朋友很多，那么你是個(gè)值得信賴(lài)的人； 如果天氣暖和，那么少穿些衣服。在模糊推理過(guò)程中， 有些模糊規(guī)則不僅僅是由兩條模糊命題構(gòu)成， 它的前提條件可能由若干條 模糊命題組成。一般將這種模糊規(guī)則稱(chēng)為 多維模糊規(guī)則

15、，表達(dá)如下： if x1 is A1 and x2isA2 and and xnis An , theny is B（3.1.9）if x1 is A1 or x2isA2 or or xn isAn , then yis B（3.1.10）現(xiàn)實(shí)生活中，由若干條模糊命題組成的模糊規(guī)則也較常見(jiàn)。比如： 如果款式新穎且面料優(yōu)良且價(jià)格便宜，那么是一件好衣服； 如果跳遠(yuǎn)超過(guò) 8 m 或跳高超過(guò) 2.3 m 或百米進(jìn)入 10 s，那么是一名優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員。§ 3.2 模糊推理推理是根據(jù)一定的規(guī)則， 從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷引伸出一個(gè)新判斷的思維過(guò)程 。般說(shuō)來(lái)， 推 理都包含兩個(gè)部分的判斷，一部分是已

16、知的判斷，作為推理的出發(fā)點(diǎn)，叫做前提（或前件 ）。由前提所推出的新判斷，叫做結(jié)論 （或后件 ）。3.2.1 推理的基本形式人類(lèi)在認(rèn)識(shí)世界的過(guò)程中不斷地在使用推理， 推理的形式主要有 直接推理和間接推理。 只有一 個(gè)前提的推理稱(chēng)為直接推理， 由兩個(gè)或兩個(gè)以上前提的推理稱(chēng)為間接推理。 間接推理又可分為演繹 推理、 歸納推理和類(lèi)比推理等， 其中演繹推理是生活中最常用的推理方法， 它的前提與結(jié)論之間存 在著確定的蘊(yùn)涵關(guān)系。演繹推理中最常用的形式是假言推理， 假言推理又可分為肯定式 （或稱(chēng)取式）推理和否定式 （或稱(chēng) 拒取式 ）推理兩類(lèi)。其一般形式為肯定式 （取式 ）：大前提（規(guī)則）：若x是a則 y是b小

17、前提（事實(shí)）：x是 a結(jié)論： y 是 b否定式 （拒取式 ）：大前提（規(guī)則）：若 x是a則 y是 b小前提（事實(shí)）：y不是 b結(jié)論：x不是 a以上基于經(jīng)典邏輯的推理形式又稱(chēng)為“三段論”推理模式?？梢钥闯鼋?jīng)典邏輯的“三段論”推 理非常嚴(yán)謹(jǐn)，但這種嚴(yán)謹(jǐn)又限制了 “三段論”的使用。 因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)生活中獲得的信息， 大前提： 若x 是 a 則 y是b 之下，若小前提 x不是 a ，而是與 a 相近的偏離值 a? ，“三段論”推理方法則無(wú)法給出一個(gè)合理的結(jié)論。因?yàn)樯婕暗浇仆评韱?wèn)題，所以需要采用新的推理方法。3.2.2 模糊推理模糊推理又稱(chēng)模糊邏輯推理， 是指在確定的模糊規(guī)則下， 由已知的模糊命題推出新的模

18、糊命題 作為結(jié)論的過(guò)程。 模糊推理是一種近似推理，主要有以下兩種形式：(1) 已知模糊蘊(yùn)涵關(guān)系“若 x是A, 則y是B”，其中 A是 X 上的模糊集， B是Y上的模糊集， 模糊蘊(yùn)涵關(guān)系往往是大量的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)和經(jīng)驗(yàn)的概括。 在模糊推理過(guò)程中， 認(rèn)為該蘊(yùn)涵關(guān)系提供的信 息是可靠的，它是近似推理的出發(fā)點(diǎn)，相當(dāng)于“三段論”的大前提。又知 X 上的一個(gè)模糊集 A*， 它可能與 A相近，也可能與 A相去甚遠(yuǎn)，那么從模糊蘊(yùn)涵關(guān)系能推斷出什么結(jié)論 B* ?(2) 已知模糊蘊(yùn)涵關(guān)系“若 x是A, 則y是B”，其中 A是 X 上的模糊集， B是Y上的模糊集， 又知 Y上的模糊集 B * ，那么從模糊蘊(yùn)涵關(guān)系能推斷出

19、什么結(jié)論 A*?對(duì)應(yīng)于以上兩種近似推理形式，現(xiàn)在給出模糊推理的具體運(yùn)算過(guò)程。定義 3.1.1 模糊推理設(shè) A和B分別是論域 X和Y上的模糊集合， A和B之間的模糊關(guān)系用 R(X,Y) 表示。若已知論 域 X 上的模糊集合 A* ，則模糊推理過(guò)程為大前提 (規(guī)則)： 小前提 (事實(shí))：若x是 A 則 y是B x是 A*結(jié)論： y是 B* A* R(X,Y)另一種情況是： 設(shè) A和 B分別是論域 X和Y上的模糊集合， A和B之間的模糊關(guān)系為 R(X,Y) 現(xiàn)在知道論域 Y上的模糊集合 B* ，則模糊推理過(guò)程為大前提 (規(guī)則)： 小前提 (事實(shí))：若x是 A則 y是By是 B*結(jié)論： x是 A* R

20、(X,Y) B*3.2.3 幾種典型的模糊推理方法根據(jù)模糊推理的定義可知，模糊推理的結(jié)論主要取決于模糊蘊(yùn)含關(guān)系 R(X,Y) 及模糊關(guān)系與模糊集合之間的合成運(yùn)算法則 。對(duì)于確定的模糊推理系統(tǒng)，模糊蘊(yùn)含關(guān)系 R(X,Y) 一般是確定的，而 合成運(yùn)算法則并不唯一。 根據(jù)合成運(yùn)算法則的不同， 模糊推理方法又可分為 Mamdani 推理法、Larsen 推理法、 Zadeh 推理法等等。一、 Mamdani 模糊推理法Mamdani 模糊推理法是最常用的一種推理方法， 其模糊蘊(yùn)涵關(guān)系 RM (X,Y)定義簡(jiǎn)單， 可以通過(guò) 模糊集合 A 和 B 的笛卡爾積 (取小 )求得，即RM (x, y)A(x)B

21、 (y)(3.2.1)例 3.2.1已知模糊集合 Ax10x.4 0x.1， B0.80.50.30.1。求模糊集合A和B 之間的模糊x1 x2 x3y1y2y3y3蘊(yùn)含關(guān)系RM (X,Y) 。解：根據(jù)Mamdani 模糊蘊(yùn)含關(guān)系的定義可知：10.4RM (X,Y) A B0.80.50.30.10.10.80.50.30.10.40.40.30.10.10.10.10.1Mamdani 將經(jīng)典的 極大極小合成運(yùn)算 方法作為模糊關(guān)系與模糊集合的合成運(yùn)算法則。 在此定 義下， Mamdani 模糊推理過(guò)程易于進(jìn)行圖形解釋。下面通過(guò)幾種具體情況來(lái)分析Mamdani 模糊推理過(guò)程。(i) 具有單個(gè)前

22、件的單一規(guī)則設(shè)A*和A論域 X上的模糊集合， B是論域Y上的模糊集合， A和B間的模糊關(guān)系是 RM(X,Y)， 有大前提 (規(guī)則 )：if x is Athen y is B小前提 (事實(shí))：x is A* 結(jié)論： y is B* A* RM (X,Y) 當(dāng) RM (x,y) A(x) B(y) 時(shí)，有B* (y) V A* (x) A (x) B ( y)xXxVX A* (x) A(x) B (y)(3.2.2)xXB (y)其中 V A* (x) A (x) ，稱(chēng)為 A 和 A* 的適配度。xX在給定模糊集合 A* 、 A及B的情況下， Mamdani模糊推理的結(jié)果 B*如圖 3.2.1

23、所示。1*AA*1BB*0x0y圖 3.2.1 單前提單規(guī)則的推理過(guò)程根據(jù) Mamdani推理方法可知，欲求 B * ，應(yīng)先求出適配度 （即 A* （x） A （x）的最大值）；然后 用適配度 去切割B的MF，即可獲得推論結(jié)果 B* ，如圖 3.2.1中后件部分的陰影區(qū)域。所以這種 方法經(jīng)常又形象地稱(chēng)為削頂法。對(duì)于單前件單規(guī)則（即若 x是A則 y是B ）的模糊推理， 當(dāng)給定事實(shí) x是精確量 x0時(shí)，基于 Mamdani 推理方法的模糊推理過(guò)程見(jiàn)圖 3.2.2。圖 3.2.2 事實(shí)為精確量時(shí)的單前提單規(guī)則推理過(guò)程26例 3.2.2 設(shè) A和B分別是論域 X和Y上的模糊集合，其中論域 X （水的溫

24、度） = 0, 20, 40, 60, 80, 100 ，Y（蒸汽壓力） = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ， A 溫度高， B 壓力大。模糊規(guī)則“若 A則B ”，在此模糊規(guī)則下，試求在 A* 溫度較高時(shí)對(duì)應(yīng)的壓力情況 B 解： 首先確定各模糊集合的隸屬度為 #帶有主觀性的確定00.10.30.60.8510204060801000.10.150.40.7510.8020406080100A(x)A* (x)00.10.30.50.70.851B(y)2361457求 A* 對(duì) A 的適配度0 0.1 0.1 0.15xVX(0 00.1 0.1200.150.3 0.4 0.6 0

25、.7540 600.85 1801 0.8)100 )V (0 0.1xX 0 200.3 0.640 6008.805 100.80) 0.85用適配度 去切割 B 的隸屬函數(shù)，即可獲得 B*0 0.10.30.50.70.85 1B* (y)B (y) 0.85312456700.1 0.3 0.50.70.850.851234567推理結(jié)果是“ B* 壓力較大”，這與我們平常的推理結(jié)果是一致的。(ii) 具有多個(gè)前件的單一規(guī)則設(shè) A*、 A、B*、 B和C* 、 C分別是論域 X 、 Y和Z上的模糊集合，已知 A 、 B和C間的模糊 關(guān)系為 RM ( X ,Y,Z )。根據(jù)此模糊關(guān)系和論

26、域 X 、 Y上的模糊集合 A*、B*，推出論域 Z上新的模糊 集合。即大前提(規(guī)則)：if x is A and y is B ，then z is C小前提 (事實(shí) )：x is A* and y is B*后件(結(jié)論 )：z is C*根據(jù) Mamdani 模糊關(guān)系的定義，有RM (x,y,z)A(x) B (y) C(y) 笛卡爾積 取小 (3.2.3)此時(shí)C*(z) xVX A*(x) B* (y) A(x) B(y) C (z) xX yY(3.2.4)V A* (x) B* (y) A(x) B (y) C(z) xX yYxVX A*(x) A(y) yVY B* (x) B

27、( y) C(z) x X y Y( A B ) C (z)其中 AV A* (x)A ( x)是 AA* 隸屬函數(shù)的最大值，表示A*對(duì) A的適配度；xXBVB*(x)B ( y)是BB* 隸屬函數(shù)的最大值，表示B*對(duì)B的匹配度；由于模糊規(guī)則的前件部分由連詞“與”連接而成，因此稱(chēng) A B 為模糊規(guī)則的激勵(lì)強(qiáng)度或滿(mǎn) 足度，它表示規(guī)則的前件部分被滿(mǎn)足的程度 。圖 3.2.3給出了多個(gè)前件的單一規(guī)則的 Mamdani 模糊 推理過(guò)程，其中推理結(jié)果 C*的MF是模糊集合 C的MF被激勵(lì)強(qiáng)度 ( A B) 截切后的結(jié)果。 這個(gè)結(jié)論可以直接推廣到具有多于兩個(gè)前件的情況。對(duì)于兩前件單規(guī)則(即若 x是A和y是

28、B，那么 z是C )的模糊推理，當(dāng)給定事實(shí)為精確量時(shí)即 x 是 x0 ，例 3.2.3已知 A、A、B*、B和 C* 、C分別是給定論域 X x1,x2、Y y1,y2,y3和 Z z1,z2上的模糊集合，1 0.5 A1 0.5 且 Bx1 x20.1y10.5y211 ，則 C y30.2z11z2現(xiàn)在知道 A* 0.8x10.1及x2B*0.5y10.2y20，y3求模糊集合 C* 。解法一：RABC (x,y,z) A B故先求 RAB(x, y)ABRAB (x, y)1B 01.5 0.1 0.510.50.510.5然后將 RAB(x, y)寫(xiě)成列向量的形式于是可以求得：*RAB

29、 (x, y)0.1 0.5 10.10.50.5T*RABC ( x, y,z)ABCRAB(x, y)C0.10.10.10.50.20.510.210.210.10.10.10.50.20.50.50.20.5，令 RA*B*(x,y) A*B*，有*0.80.5y) A* B*0.50.200.10.1，并以 RA*B (x, y) 表示，RA*B* (x,0.2 00.1 0* * 由于 C* (A* B*) RABC (x,y,z)將 RA*B* (x, y)寫(xiě)成行向量，并以 RA*B* (x,y)表示，即RA*B* (x, y) 0.5 0.2 0 0.1 0.1 0于是可以求得

30、 CC* R*A*B*(x, y) RABC(x,y,z)0.5 0.2 0 0.1 0.1 00.1 0.10.2 0.50.2 10.1 0.10.2 0.20.2 0.50.2 0.5C* 0.2 0.2z1z2解法二：首先 A*與A、B*與 B的適配度，即1 0.8 0.5 0.1 V ( )V (0.8 x X x10.1) 0.8x2xXx1 x20.1 0.5 0.5 0.2 100.10.20BV()V() 0.2y Y y1y2y3y Y y1y2y3然后求激勵(lì)強(qiáng)度，即A B0.8 0.2 0.2最后用激勵(lì)強(qiáng)度去切割 C 的隸屬函數(shù)，即可獲得*C*0.210.20.2C* (

31、y)C (y) 0.2z1z2z1z2（iii） 具有多個(gè)前件多條規(guī)則的模糊推理 設(shè) A* 、 A1 、A2 、B* 、B1 、B2和C* 、C1 、C2分別是論域 X 、Y和Z上的模糊集合， RM1（X,Y,Z） 是 A1、B1和C1間的模糊蘊(yùn)含關(guān)系， RM 2 （ X ,Y,Z ）是A2 、 B2和C2間的模糊蘊(yùn)含關(guān)系。 已知論域 X 、Y上的模糊集合 A* 、B* ，推出論域 Z上新的模糊集合C*。即大前提 1 （規(guī)則 1）：ifx isA1and yisB1 ，then zisC1大前提 2 （規(guī)則 2）：ifx isA2and yisB2 ， then zisC2小前提 （事實(shí) ）：

32、x isA*and yisB*后件（結(jié)論 ）：zis C對(duì)于多個(gè)前件多條規(guī)則的模糊推理問(wèn)題， 通常將多條規(guī)則處理為相應(yīng)于每條模糊規(guī)則的模糊關(guān) 系的并集 。上述的模糊推理問(wèn)題可以表示為C* (z) xVX A*(x) B*(y) RM1(x, y,z)V RM2(x, y, z) yYxVX A* (x) B* ( y) RM 1 ( x, y, z)y Y (3.2.5) VxVX A*(x) B* ( y) RM2 (x, y, z) yYC1* (z)V C*2 (z)其中： RM 1 (x, y, z) A1 ( x) B1(x)V C1(z) ；RM2 (x,y,z)A2(x) B2(

33、x)V C2(z)；C*(z) 和 C* ( z)分別是在規(guī)則 1和規(guī)則 2下所得到的模糊集合。對(duì)于兩個(gè)前件兩條規(guī)則(即 x是A1和y是B1，則 z是C1 ； x是A2和y是B2 ，則z是C2 )的模糊綜上所述，多個(gè)前件多條規(guī)則的模糊推理過(guò)程可以分為四步： 計(jì)算適配度 把事實(shí)與模糊規(guī)則的前件進(jìn)行比較，求出事實(shí)對(duì)每個(gè)前件 MF 的適配度。 求激勵(lì)強(qiáng)度 用模糊與、或算子，把規(guī)則中各前件 MF 的適配度合并，求得激勵(lì)強(qiáng)度。 求有效的后件 MF 。用激勵(lì)強(qiáng)度去切割相應(yīng)規(guī)則的后件 MF ，獲得有效的后件 MF 。 計(jì)算總輸出 MF 。將所有的有效后件 MF 進(jìn)行綜合，求得總輸出 MF 。二、Larsen

34、 模糊推理法Larsen推理方法又稱(chēng)為乘積推理法， 是另一種應(yīng)用較為廣泛的模糊推方法。 Larsen 推理方法與 Mamdani 方法的推理過(guò)程非常相似，不同的是在激勵(lì)強(qiáng)度的求取與推理合成時(shí)用乘積運(yùn)算取代了 取小運(yùn)算。(i) 具有單個(gè)前件的單一規(guī)則設(shè)A*和A論域 X上的模糊集合， B是論域Y上的模糊集合， A和B間的模糊關(guān)系確定，求在關(guān)系下的 B* ，即大前提 (規(guī)則)：小前提 (事實(shí))：if x is A then y is B*x is A*結(jié)論： y is B 與 Mamdani 推理方法一樣，首先求適配度：xVX A* (x) A(x)然后用適配度與模糊規(guī)則的后件作 乘積合成運(yùn)算 ，即

35、可得B* (y)B (y)(3.2.6)(3.2.7)在給定模糊集合 A* 、 A 及 B 的情況下， Larsen模糊推理的結(jié)果 B*如圖 3.2.6 所示B1B圖 3.2.6 單前提單規(guī)則的推理過(guò)程(ii) 具有多個(gè)前件的單一規(guī)則設(shè) A*、 A、B*、 B和C* 、 C分別是論域 X 、 Y和Z上的模糊集合，已知 A 、 B和C間的模糊 關(guān)系確定。根據(jù)此模糊關(guān)系和論域 X 、 Y上的模糊集合 A*、 B* ，推出論域 Z上新的模糊集合。即大前提(規(guī)則)：if x is A and y is B ，then z is C小前提 (事實(shí) )：x is A* and y is B*后件(結(jié)論 )

36、：z is C首先求適配度 A和 B ：A xVX A* (x) A (x)(3.2.8)xXB V B* (x) B (x)xX然后求激勵(lì)強(qiáng)度 ：AB(3.2.9)最后用激勵(lì)度與模糊規(guī)則的后件作乘積合成運(yùn)算，即C* (y)C (y) (3.2.10)圖3.2.7給出了兩個(gè)前件的單一規(guī)則的 Larsen模糊推理過(guò)程，其中推理結(jié)果 C*的MF 是模糊集 合 C 的 MF 與激勵(lì)強(qiáng)度 ( A B ) 合成的結(jié)果。這種合成方法可以直接推廣到具有多于兩個(gè)前 件的情況。圖 3.2.7 多前提單規(guī)則的 Larsen 模糊推理過(guò)程(iii) 具有多個(gè)前件多條規(guī)則的模糊推理 設(shè) A*、 A1、 A2 、 B*

37、 、 B1、 B2和C * 、 C1 、 C2分別是論域 X、Y和 Z上的模糊集合， A1、B1和 C1間的模糊關(guān)系及 A2 、 B2和C2間的模糊關(guān)系都已知?，F(xiàn)在根據(jù)論域 X 、 Y上的模糊集合 A*、B*， 推出論域 Z 上新的模糊集合 C*。即大前提 1 (規(guī)則 1)：if x is A1大前提 2 (規(guī)則 2)：if x is A2小前提 (事實(shí) )：x is A*后件(結(jié)論 )：首先求出規(guī)則 1的適配度 A1和 B1 ：A1B1同樣求出規(guī)則 2的適配度 A2 和 B2：A2 B2and yand yand yVxXVxXVxXVxXisisis然后分別求出兩條規(guī)則的激勵(lì)強(qiáng)度 1和 2

38、 ：B1 ，then z is C1B2 ，then z is C2B*A* (x) B* (x)A1 (x)B1 (x)z is C(3.2.11)A*(x)B*(x)A2 (x)B2 (x)(3.2.12)1 (3.2.13) B2分別求出每規(guī)則所得的結(jié)論， 并且做取大1 A12 A2最后用激勵(lì)度與相應(yīng)的模糊規(guī)則的后件作乘積合成運(yùn)算， 運(yùn)算獲得最終的結(jié)論，即C* (y) 1 C1(y)V 2 C2 (y)(3.2.14)圖 3.2.8 給出的是兩前件兩規(guī)則的 Larsen模糊推理過(guò)程，當(dāng)這種推理過(guò)程可以推廣到任意個(gè)前 件任意多條規(guī)則的情況。圖 3.2.8 兩前件兩規(guī)則的 Larsen 模糊

39、推理過(guò)程三、Zadeh 模糊推理法 通過(guò)前面分析可知，模糊推理的結(jié)果主要取決于模糊關(guān)系及合成運(yùn)算法則。與 Mamdani 推理 法相比， Zadeh 推理法也是采用取小合成運(yùn)算法則，但是其模糊關(guān)系的定義不同。下面具體給出 Zadeh 的模糊關(guān)系定義。設(shè) A 是 X 上的模糊集合， B 是 Y 上的模糊集合， 二者間的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系用 RZ(X,Y) 表示。Zadeh 把 RZ (X,Y) 定義為RZ (x,y) A(x) B ( y) V 1 A(x) (3.2.15) 如果已知模糊集合 A和 B的模糊關(guān)系為 RZ(X,Y)，又知論域 X上的另一個(gè)模糊集合 A* ，那么 Zadeh模糊推理法得到的結(jié)果 B* 為：B* A* RZ(X,Y)(3.2.16)其中“ ”表示合成運(yùn)算，即是 模糊關(guān)系的 Sup 運(yùn)算 。B* (y) Sup A* (x) A(x) B ( y)V(1 - A(x)(3.2.17)xX式中“ Sup