(完整word版)幾何證明——角平分線模型(中級(jí))

1、初中幾何證明專題幾何證明一一角平分線模型（中級(jí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1、角平分線：（1 ）角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等（作用：證明兩條線段相等）；（2）逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。（作用：證明兩角相等或一條射線是一個(gè)角的角平分線）。2、角平分線常見用法（或輔助線作法）： 垂兩邊：如圖1，已知BP平分 ABC，過點(diǎn)P作PA AB，PC BC，則PA PC。 截兩邊：如圖2，已知BP平分 MBN，點(diǎn)A BM上，在BN上截取BC BA，貝U ABP也 CBP。 角平分線+平行線t等腰三角形：如圖3,已知BP平分ABC ,PA/AC，則AB AP

2、 ;已知BP平分ABC ,EF /PB，則BEBF 。如圖4,三線合一（利用角平分線+垂線t等腰三角形）如圖5，已知AD平分BAC，且 ADBC，則 AB AC , BD CD 。12角平分線模型(5)3、角平分線比例定理AB BD AB AC如圖6, AD為 ABC的角平分線，則或AC CD BD CD【經(jīng)典例題】例1、已知如圖，ABC中，BC AC, AD平分 CAB，若 C 90，求證：AB AC CD ；例2、如圖，在Rt ABC 中,ACB 90，CD AB 于 D，AF 平分CAB交CD于E，交CB于F，且EG / AB交CB于G。試求：CF與GB的大小關(guān)系如何?例3、已知如圖，

3、ABC中，BC AC，AD平分 CAB，若 C 108，求證：AB AC BD ；例4、如圖：已知I是 ABC的內(nèi)心，DI/AB交BC于點(diǎn)D，EI/AC交BC于E。求證：DIE的周于BC 。例5、如圖：已知在 ABC中， ABC的平分線與 ACB的外角平分線交于點(diǎn) D , DE / BC，交AB于 點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：EF BE FC 。M例6、如圖，已知 ABC中 BAC 90 ,AB AC,CD垂直于 ABC的平分線BD于D , BD交AC于E , 求證：BE 2CD?！咎嵘?xùn)練】1、如圖，已知 ABC的周長(zhǎng)是21,OB,OC分別平分 ABC和 ACB , ODABC的面積.BC于D

4、，且0D 3，求CO，貝U Sa abo: Sabco:3.如圖，/ AOB=30° , OP 平分/ AOB , PC/ OB ,PD丄OB，如果PC=6，那么PD等于2 如圖， ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60.其三條角平分線交于點(diǎn) SA CAO =.4 .如圖，AD是厶ABC的角平分線，DF丄AB，垂足為F, DE=DG，A ADG和厶AED的面積分別為 50和39,求 EDF的面積.5.已知如圖在 A ABC中，/ ACB=90° , CD丄AB于D，/ A的平分線交 CD于F, BC于E,過點(diǎn)E作EH丄AB于 H .求證：EC=CF=EH .6

5、已知：如圖，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G,7如圖，等邊 ABC中，AO是/ BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以BE 求證： ACD BCE ;延長(zhǎng)BE至Q，P為BQ上一點(diǎn)，連接 CP、連接（1）（2）8如圖，已知在 ABC中, 個(gè)距離是多少？/ B=90°，兩直角邊9.已知：如圖在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB邊的距離.10 如圖， ABC中，點(diǎn)D在BC上，記 ABD的面積為Si， ACD的面積為S2，若S1:S2=AB : AC ,貝UAD是厶ABC的角平分

6、線.請(qǐng)說明理由.11、如圖，已知在ABC中，分別以AC, BC為邊向外作正BCE、正ACD，BD與AE交于M，求證:(1) AEBD °（ 2）MC 平分 DME。E12、已知：如圖，APCP分別是 ABC外角 MAC和NCA的平分線，它們交于點(diǎn) P，求證：BP為MBN的平分線。N13、如圖，AB 2AC, BADDAC,DA DB，求證：DC AC。C14、如圖，已知 AC / BD、EA、EB分別平分 CAB和DBA,CD過點(diǎn)E，求證:AB AC BD 。15、如圖， ABC中，AD是 A的平分線，E,F分別為AB, AC上一點(diǎn)，且 EDF BAF 180，求證：DE DF。16

7、、已知：AC 平分 BAD，CE AB， B D 180，求證：AE AD BE。17、已知，在 ABC中，BP、CP為角平分線，過P點(diǎn)作EF / BC交AB于E，交AC于F。求證：EF BE CF 。18、已知如圖， AD平分 BAC，AC AB BD，求證:119、如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分 BAD，過C作CE AB于E，并且AE (AB AD)，求 2證：ABC ADC 180 。DeBB的平分線與 AC和GE分別交于D、E，20、已知 ABC 中，AB AC，GE 過 A 且 GE BC，的平分線與 AB和GE分別交于F、G。求證DE FG 。21、如圖，已知線段 AB /

8、CD , AD與BC相交于點(diǎn)F , BE平分1ABC , AE AD，猜想線段 AB、2BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系 ？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明。22、如圖，已知 ABC中，CE平分 ACB，且AE CE , AEDCAE 180，求證：DE/BC。23 .如圖所示，在四邊形 ABCD中，/ A=90° AD=4，連接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC邊上一動(dòng) 點(diǎn)，貝U DP長(zhǎng)的最小值為 .24 如圖所示，過線段 AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分線交于點(diǎn) E，過 點(diǎn)E作一直線垂直于 AM，垂足為點(diǎn) D，交B

9、N于點(diǎn)C.(1) 觀察DE、EC，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2) 請(qǐng)你再研究 AD+BC與AB的關(guān)系，并給予證明.25 已知：如圖所示， AQ，BM，CN是厶ABC的三條角平分線試說明AQ，BM，CN交于一點(diǎn).26 .如圖， ABC中，/ C=90，AD是角平分線,AC=8，AD=，求/ B、BC、AB .27 如圖，已知/ BAC=90°，AD 丄 BC 于點(diǎn) D，/ 1 = / 2，EF II BC 交 AC 于點(diǎn) F.試說明 AE=CF .28 如圖，已知點(diǎn) B, C分別在射線 AN , AM 上，/ MCB與/ NBC的平分線交于點(diǎn) P.(1) 求證：AP平分/ BAC

10、 ;(2) 若/ ACB=90 , PC=4 近,PB=5 , AB=7，求 AP 的長(zhǎng).29 .如圖， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度數(shù).30 .如圖，在 ABC中，/ C=90°，M為AB的中點(diǎn)，DM丄AB，CD平分/ ACB，求證：MD=AM31 .如圖， ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE丄BC交/ BAC的平分線于 E，EF丄AB，交AB于F, EG丄AC ,交 AC的延長(zhǎng)線于 G,試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論.32 已知：點(diǎn) P為/ EAF平分線上一點(diǎn)， PB丄AE于B , PC丄AF于C,點(diǎn)M、N分別是射線 AE、AF上的點(diǎn)，且PM=PN (1) 當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖1),求證：BM=CN ;(2) 在(1)的條件下， AM+AN= AC ;(3) 當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四邊形 ANPM的面積.33 .已知：/ DAB=120°，AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180° .(1) 如圖 1,當(dāng)/ B= / D 時(shí)，求證： AB+AD=AC ;(2) 如圖2,當(dāng)/ BZ D時(shí)，猜想(1)中的