(完整版)《數(shù)學分析》無窮小量與無窮大量

1、§ 無窮小量與無窮大量教學目的 ：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學要求 ：作為函數(shù)極限的特殊情形， 要求掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。引言在學習數(shù)列極限時，有一類數(shù)列非常引人矚目，它們具有如下特征：lim an 0. 我們稱之為無窮小數(shù)nn列。通過前面幾節(jié)對函數(shù)極限的學習。我們可以發(fā)現(xiàn)，在一般函數(shù)極限中也有類似的情形。例如：limsin x 0, lim x2 0,Lx0 x 0我們給這類函數(shù)一個名稱“無窮小量” 。既然有“無窮小量” ，與之對應的也應有“無窮大量” ，那么什么時“無窮大量”？進一步，這些“量 有哪些性質(zhì)呢？

2、以上就是我們今天要給大家介紹的內(nèi)容無窮小量與無窮大量。一、無窮小量x0 時的無窮小量。記作：1定義 ：設 f 在某 U 0（x0） 內(nèi)有定義。若 lim f（x） 0，則稱 f 為當 x x x0f (x) 0(1)(x x0).類似地可以定義當 x x0 ,x x0 ,x,x ,x 時的無窮小量）例： xk（k 1,2,L ）,sin x,1 cosx 都是當 x 0時的無窮小量；1 x 是當 x 1 時的無窮小量；1 sinx2 , 是 x 時的無窮小量。 x2 x2無窮小量的性質(zhì)（）先引進以下概念定義 （有界量 ）若函數(shù) g在某 U 0 （ x0 ）內(nèi)有界，則稱 g為當 xx0 時的有界

3、量，記作：例如： sinx 是當 x時的有界量，即 sin x O（1）（x1） ; sin1 是當 x 0 時的有界量，即 x1 sin O(1)(x 0).xg(x) O(1)(xx0).注：任何無窮小量都是有界量（局部有界性），即若 f (x) 0(1)(xx0)，則 f (x) O(1)(xx0).區(qū)別：“有界量”與“有界函數(shù)”。一般在談到函數(shù) f是有界函數(shù)或函數(shù) f 是有界的，意味著存在 ，f 在定義域內(nèi)每一點 x ，都有 | f （x）| M 。這里“有界”與點無關：而有界是與“點有關” 的周圍（且除去此點）有界，是一種“局部”的有界。（）性質(zhì)性質(zhì) 兩個（相同類型的）無窮小量之和、

4、差、積仍為無窮小量。性質(zhì) 無窮小量與有界是的乘積為無窮小量。，是在某點性質(zhì)lim f(x) A f(x) A是當 x x0 時的無窮小量 x x0lim( f(x) A) 0.x x0例如；問題：lim x2 sin 1 0 ， lim( x2 x3) 0,lim xsinx 0.x 0 x x 0 x 0 兩個(相同類型的)無窮小量之商是否仍為無窮小量？考慮：2 2 2 lim x 0,lim x2 ?,lim x2 1,lim sin x 1,lim 2x2 2 . x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x2引申 ：同為無窮小量， lim xx0x0，而lxim0 xx2

5、不存在？這說明“無窮小量”是有“級別”的。這個“級別”表現(xiàn)在收斂于 (或趨近于) 的速度有快不慢。 就上述例子而言， 這個“級別” 的標志是 x 的“指數(shù)”，當 x 0 時， x 的指數(shù)越大，它接近于的速度越快。這樣看來，當x 0時， x2的收斂速度快于 x 的收斂速度。所以其變化結果以 x2 為主。此時稱x2是(當 x 0時) x的高階無窮小量，或稱x 0 時， x 是2x2 的低階無窮小量。般地，有下面定義：設當 x無窮小量階的比較(主要對 xx0 敘述，對其它類似)記作 f(x)例 limx0k1xkx問題引申x0 時， f ,g 均為無窮小量。若 lim f (x)x x0 g(x)0

6、 ，則稱 xx0時 f 為 g 的高階無窮小量，或稱的低階無窮小量，lxim10(g (x)( xx0) . 即 f (x)0(g(x)(xx0)xlimx0 gf (xx)0.x21x與上述記法：k0(xk)(x 0) ，1 cosx lim x 0 sin xxlim tan 0 1x 0 2cosx0(sin x)(x 0).f(x)2x) 0 ，此時是可說 1 x20(1 x)(x 1) ？0( g( x)( xx0)相對應有如下記法： f(x) O(g(x)(xx0) ，這是什5 / 6么意思？含義如下：若無窮小量 f 與 g 滿足關系式f(x) g(x)L,x U0(x0)，則記作

7、 f(x) O(g ( x)( x x0) .例如，() 12cosx O(x )(xx0) ， x(2 sin ) O(x)(x 0).)若f (x) 0( g ( x)( xx0)f (x) O(g(x)(xx0) .注 等式 f (x)0( g ( x)( xx0) ，f(x) O(g(x)(x x0) 等與通常等式的含義不同的。這里的等式左邊是一個函數(shù)，右邊是一個函數(shù)類(一類函數(shù))，而中間的“”叫的含義是。例如：1 cosx 0(sin x)( x 0) ， 其 中 0(sin x)f |lim f(x) 0 ， 而 上 述 等 式 表 示 函 數(shù) x 0 g(x)1 cosx f |

8、lim f(x) 0 。為方便起見，記作 1 cosx 0(sin x). x 0 g(x) 若存在正數(shù)和，使得在某U0(x0)上有 Kg(x)L ，則稱 f 與 g 為當 xx0 時的同階無窮小量。lim xx0需 要 注 意 ： limx1 lim x(2 sin ) x 0 xf(x)0 g(x)不存在，并不意味著 f 與 g 不全為同階無窮小量。如1x(2 sin )0， limx lim(2x 0 x x 01sin ) 不存在。但 x3，所1以x與 x(2 sin )為當 xx0 時的同階無窮小量。由上述記號可知： 若f 與 g 是當 x x0 時的同階無窮小量， 則一定有： f

9、(x) O(g(x)(xx0) 。)若 lim f (x)x x0 g(x)1，則稱 f 與 g 是當 x x0時的等價無窮小量，記作f (x): g(x)(xx0) .例如：) lim sin x 1 x 0 xsinx: x(x 0); ) lim 2(1 c2osx) 1 1x 0x22xcosx : (x20) .對于“等價無窮小量”有下面的重要的結論，它在求極限問題中有重要作用，稱為求極限的“等 價量法”。定理 設函數(shù) f 、 g 、 h在U0(x0) 內(nèi)有定義，且有 f(x): g(x)(x x0). (1) 若lim f (x)h(x) A ，則 lim g(x)h(x)x x0

10、 x x0A；(2) 若lximx h(x)x x0 f (x)B, ，則 lximx h(x)x x0 g(x)B.例 求lim arctgx .x x0 sin4x 例 求極限 lim tgx si3nx .x x0 sinx3 注：在利用等價無窮小量代換求極限時，應注意：只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替代 , 而對極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。小結以上討論了無窮小量，無窮小量性質(zhì)。無窮小量比較。兩個無窮小量可比較的特征其商是有 界量。但應指出，并不是任何兩個無窮小量都可以進行這種階的比較。lim x2x x00.1 例如 lim xsinx x0x、無窮

11、大量問題 “無窮小量是以為極限的函數(shù)” 。能否仿此說“無窮大量是以 為極限的函數(shù)” 。 答：按已學過的極限的定義，這種說法是不嚴格的，講為函數(shù) f (x) 當 xx0 時的極限，意味著是一個確定的數(shù)，而“ ”不具有這種屬性，它僅僅是一個記號。所以不能簡單地講“無窮大量是以 為極限的函數(shù)” 。但是，確實存在著這樣的函數(shù)，當 x x0 時， f (x) 與 ( or ) 無限接 近。111例如：) f(x) ，當 x 0時， 與 越來越接近，而且只要 x 與充分接近， 就會無xxx1 限增大；) f(x) ，當 x 1時，也具有上述特性。x1在分析中把這類函數(shù) f (x) 稱為當 x x0 時有非

12、正常極限。其精確定義如下：非正常極限定義 (非正常極限 ) 設函數(shù) f (x) 在某 U (x0) 內(nèi)有定義，若對任給的 >0，存在 0 ，當 x U0(x0; )( U0(x0) 時有 | f(x)| M ，則稱函數(shù) f(x)當 x x0時有非正 常極限 ，記 作 lim f(x) 。x x0注：)若“ | f(x)| M ”換成“ f(x) M ”，則稱 f(x)當 x x0時有非正常極限；若換成 f(x) M , 則稱 f (x) 當 x x0時有非正常極限，分別記作 lim f(x) ,lim f(x) .x x0x x02) 關于函數(shù) f 在自變量 x的其它不同趨向的非正常極限

13、的定義， 以及數(shù)列 an 當 n 時的非正常極限的定義，都可類似地給出。例如：lim f(x) M 0，當 x M 時， f (x) M ;xlim anM 0， N 0，當 n N時， an M .n無窮大量的定義定義 對于自變量 x 的某種趨向(或 n )，所有以 , or 為非正常極限的函數(shù)(包括 數(shù)列)，都稱為 無窮大量 。1例如： 2 當 x 0 時是無窮大量； ax (a 1)當 x時是無窮大量。;)若 f 為 x x0 時的無窮大量，x注：)無窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù)f(x) xsin x在U( )則易見 f 為U0(x0) 上的無界函數(shù)，但無界函數(shù)卻不一定是

14、無窮大量。例如；上無界，但 lim f(x);)如同對無窮小量進行階的比較的討論一樣，對兩個無窮大量，也可以定x義高階無窮大量、同階無窮大量等概念。利用非正常極限定義驗證極限等式例 證明 lim 12x 0 x2例 證明；當 a 1時， lim ax x三、無窮小量與無窮大量的關系定理 ()設 f 在U0(x0) 內(nèi)有定義且不等于，若f 為當 x x0 時的無窮小量，則1 為 x x0 時1的無窮大量； ()若 g為 x x0時的無窮大量，則為 x x0時的無窮小量。g四、曲線的漸近線 引言2 x 作為函數(shù)極限的一個應用。 我們討論曲線的漸近線問題。 由平面解析幾何知： 雙曲線 x2 a2y2

15、 1 有兩條 b漸近線 x a y 0 。那么，什么是漸近線呢？它有何特征呢？ b曲線的漸近線定義定義 若曲線上的動點 p 沿著曲線無限地遠離原點時，點p與某實直線的距離趨于零，則稱直線為曲線的漸近線。形如 y kx b 的漸近線稱為曲線的斜漸近線；形如x x0 的漸近線稱為曲線的垂直漸近線。 曲線的漸近線何時存在？存在時如何求出其方程？)斜漸近線假設曲線y f(x) 有 斜 漸 近 線 y kx b ， 曲線上動點 p 到漸近線的距離為|PN | |PM cos1| | f (x) (kx b)| 依漸近線定義，當1 k2時( x或 x 類似)，|PN | 0 ，即有l(wèi)imxf (x)(kxb)lim f(x)xkxb，又由limxf(x)xklimx1x f(x)xkxk 0 lim f(x) k . xx由上面