差分方程模型習(xí)題+答案#精選

1、1 . 一老人60歲時將養(yǎng)老金10萬元存入基金會，月利率 0.4%,他每月取1000元作為生活費(fèi)，建立差分方程計算他每歲末尚有多少錢？多少歲時將基金用完？如果想用到80歲，問60歲時應(yīng)存入多少錢？分析：（1）假設(shè)k個月后尚有Ak元,每月取款b元，月利率為r,根據(jù)題意，可每月取款,根據(jù)題意，建立如下的差分方程:Ak 1 aAk b ,其中每歲末尚有多少錢，即用差分方程給出Ak的值。（2）多少歲時將基金用完，何時Ak 0由（1）可得:k k a AAakb rnAraA0ra240a240 1若 An 0, b - a 1 若想用到 80 歲，即 n= (80-60)*12=240 時，A2400

2、，利用MATLAB 編程序分析計算該差分方程模型，源程序如下:clear allclose allclc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n)'y1=dai(x0,n,r,b);round(k,y1') function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b;end (2)用 MATLAB 計算：A0=250000*(1.004A240-1)/1.004A240word.思考與深入：(2)結(jié)論：128個月即70歲8個月時將基金用完 A0 = 1.5409e+005結(jié)論：若想

3、用到 80歲，60歲時應(yīng)存入15.409萬元。2 .某人從銀行貸款購房，若他今年初貸款10萬元，月利率0.5%,他每月還1000元。建立差分方程計算他每年末欠銀行多少錢，多少時間才能還清？如果要 10年還清，每月需還多 少？分析：記第k個月末他欠銀行的錢為x (k),月利率為r,且a=1+r, b為每月還的錢。則第k+1個月末欠銀行的錢為x(k+1)=a*x(k)+b , a=1+r, b=-1000, k=0 , 1, 2 在r=0.005及x0=100000代入，用 MATLAB 計算得結(jié)果。編寫M文件如下：function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for

4、k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB計算并作圖： k=(1:140);y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月還1000元，則需要11年7個月還清。如果要10年即n=120還清，則模型為：r*x0*(1+r)An/1-(1+r)An b=-r*x0*(1+r)An/1-(1+r)An用MATLAB計算如下：>> x0=100000;> > r=0.005;> > n=120;> > b=-r*x0*(1+r)An/1-(1+r)Anb= 1.1102e+003所以如果要10年還清，則每

5、年返還1110.2元。3.在某種環(huán)境下貓頭鷹的主要食物是田鼠，設(shè)田鼠的年平均增長率為1 ,貓頭鷹的存在引起的田鼠增長率的減少與貓頭鷹的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為a1 ；貓頭鷹的年平均減少率為word.2 ；田鼠的存在引起的貓頭鷹減少率的增加與田鼠的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為32 0建立差分方程模型描述田鼠和貓頭鷹共處時的數(shù)量變化規(guī)律，對以下情況作圖給出50年的變化過程。設(shè)r10.2,r203 al0.001,a20.002，開始時有ioo只田鼠和50只貓頭鷹。(2)1,2,ai,a2同上，開始時有100只田鼠和200只貓頭鷹。(3)適當(dāng)改變參數(shù) a1,a2 (初始值同上)(4)求差分方程的平衡點，它們

6、穩(wěn)定嗎？分析：記第k代田鼠數(shù)量為xk,第k代貓頭鷹數(shù)量為yk,則可列出下列方程：Xk 1Xk(r1 aiyk)Xkyk iyk(r2 a2Xk)yk運(yùn)用matlab計算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x',y'(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50

7、,z(:,2),'r')(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(3)當(dāng)a1,a2分別取0.002,0.002時，得到如下圖像:word.45040035030025020015010050005101520253035404550可見，當(dāng)a1,a2參數(shù)在一定范圍內(nèi)改變時，貓頭鷹與田鼠數(shù)量在一定范圍內(nèi)震蕩，且不滅絕。(4)令 XkXk 1 x ； ykyk 1 y解方程得到如下結(jié)果：x=150y=200經(jīng)matlab驗證如下：z=

8、disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡點為：x=150 y=2004.研究將鹿群放入草場后草和鹿兩種群的相互作用。草的生長遵從Logistic規(guī)律，年固有增長率0.8,最大密度為3000 (密度單位)，在草最茂盛時每只鹿每年可吃掉1.6 (密度單位)的草。若沒有草，鹿群的年死亡率高達(dá) 0.9,而草的存在可使鹿的死亡得以補(bǔ)償，在草最茂 盛時補(bǔ)償率為1.5。作一些簡化假設(shè)，用差分方程模型描述草和鹿兩種群數(shù)量的變化過程， 就以下情況進(jìn)行討論：(1

9、)比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況。(2)適當(dāng)改變參數(shù)，觀察變化趨勢。word.模型假設(shè)：1 .草獨立生存，獨立生存規(guī)律遵從Logistic 規(guī)律；2 .草場上除了鹿以外，沒有其他以草為食的生物；3 .鹿無法獨立生存。沒有草的情況下，鹿的年死亡率一定；4 .假定草對鹿的補(bǔ)償率是草場密度的線性函數(shù)；5 .每只鹿每年的食草能力是草場密度的線性函數(shù)。記草的固有增長率為r,草的最大密度為 N,鹿獨立生存時白年死亡率為d,草最茂盛時鹿的食草能力為a,草對鹿的年補(bǔ)償作用為 b;第k+1年草的密度為 Xk i ,鹿的數(shù)量為Yk i ,第k年草的密度為Xk ,鹿的數(shù)量為 Yk。

10、草獨立生存時，按照 Logistic 規(guī)律增長，則此時草的增長差分模型為Xk 1 Xk r(1Xk、一)Xk,但是由于鹿對草的捕食作用，草的數(shù)量會減少，則滿足如下 Nxk、axk yk八一一 、方程：xk1 xkr(1 小人k,(k0,1,2,|)(1)dYk,但是草的存在(2)鹿離開草無法獨立生存，因此鹿獨立生存時的模型為Yk 1 Yk會使得鹿的死亡率得到補(bǔ)償，則滿足如下差分方程：Yk 1 Yk ( d 備Yk, (k 0,1,2,|)另外，記初始狀態(tài)鹿的數(shù)量為Yo，草場密度初值為Xq ,各個參數(shù)值為：r = 0.82= 3000 = 0.9厘=1 一 6 i = 1.5? ? ? ?利用M

11、ATLA編程序分析計算該差分方程模型，源程序如下：%定義函數(shù)diwuti ,實現(xiàn)diwuti-Logistic綜合模型的計算，計算結(jié)果返回種群量function B =disiti(X0,Y0,r,N,b,a,d,n) %描述 diwuti-Logistic綜合模型的函數(shù)x(1) = x0;%草場密度賦初值Y(1) = Y0；%鹿群數(shù)量賦初值for k = 1 : n;X(k+1) = X(k) + r*(1-X(k)/N)*X(k) - a*X(k)*Y(k)/N;Y(k+1) = Y(k) + (-d + b*X(k)/N)*Y(k);endB = x;y;%clear allC1 =di

12、siti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;word. plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r') axis(0 50 0 3000);xlabel('時間/年')ylabel(,種群量/草場：單位密度，鹿：頭,)title(' 圖1.草和鹿兩種群數(shù)量變化對比曲線,)gtext(&

13、#39;x0=1000')gtext('x0=3000')gtext('草場密度')gtext(,鹿群數(shù)量')比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況(繪制曲如圖1所示)由圖中可以看到，藍(lán)色曲線代表草場密度的初始值為1000時，兩種群變化情況；而紅色曲線則代表草場密度的初始值為3000時，兩種群的變化情況。觀察兩種情況下曲線的演變情況，可以發(fā)現(xiàn)大約 40-50年左右時間后，兩種群的數(shù)量將達(dá)到穩(wěn)定。使用MatLab計算可以得到，當(dāng)"q Yk)k(1800,600),即兩種群數(shù)量的平衡點為( 1800, 600)。為

14、進(jìn)一步驗證此結(jié)論， 下面通過改變相關(guān)參數(shù)，研究兩種群變化情況，找到影響平衡點的因素：(1)改變草場密度初始值;word.2中可以看到，改變草場的初始密度不會對兩種群數(shù)量的平衡點造成影響。噌' -例圖以冊（2）改變鹿的數(shù)量初值圖3種群數(shù)量變優(yōu)曲線做變鹿數(shù)量初值） 300020001500100026005000 05 W 1520253035404550時間用由圖2可以看到，鹿初始的數(shù)量的改變在理論上也不會改變最終種群數(shù)量的平衡值。但是，我們可以看到，y0=2000的那條曲線（紫色曲線），在 5-15區(qū)間內(nèi)降低到了非 常小的值，這顯然是不符合鹿的現(xiàn)實繁殖規(guī)律的，因為鹿的種群可持續(xù)繁殖的最

15、小數(shù)量是存在域值的。當(dāng)種群數(shù)量低于這個值時，在實際情況下，鹿的種群就要滅絕。同樣道理，草場的密度也存在一個最小量的域值，低于這個閾值，草也將滅絕。綜合上面分析，可以在此得出一個結(jié)論：最大密度一定的草場所能承載的鹿的數(shù)量存在上限。word.(3)改變草場的最大密度 N,畫圖比較結(jié)果;圖4.種群數(shù)量變化曲線做變草場最大密度M)0 0-0 0 0 0 0 如0060005000503 3 2 _2 1 1冰盛旭昌冊D鹿群數(shù)量II5 W 1520253035404550時間再如圖4所示，如果草場密度的最大值 N發(fā)生變化，則最終兩種群數(shù)量的平衡點也會發(fā)生 相應(yīng)的變化。結(jié)論：N值越大，平衡點兩種群的數(shù)量就

16、越大； N越小，平衡點兩種群的數(shù)量 就越小。(4)改變鹿群獨立生存時的死亡率圖& 1.種群數(shù)量變化曲線供變死亡率d)o o o o O 60005000602 2 11冰股一例昌4word.圖52.種群數(shù)量變化曲線做變死亡率力二11JL IInIIIInj式 2600徵,2000 - L d=D95蕈場密度o O5000JI昌珊宓»諭卡0,6草場密度鹿群數(shù)量口 EIIIIII1II05010016 口20250 300350400450500時間年實驗中，改變了鹿單獨生存的死亡率得到如圖5.1和5.2兩幅圖，可以得出結(jié)論：鹿單獨生存的死亡率越大，則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點的時間越

17、短；相反，鹿單獨生存的死亡率越小， 則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點的時間越長（甚至有可能會出現(xiàn)分叉、混沌）。（5）草場密度對鹿數(shù)量的補(bǔ)償作用變化（ b變化）30002600圖匕種群數(shù)量變化曲線做變補(bǔ)償率可草場密度o O00502 1戚旭昌冊草場密度從圖中可以看到，如果b增大，則達(dá)到穩(wěn)定點的時間會加長， 但如果b減小則會有一個域值, 當(dāng)b低于域值時，草-鹿種群數(shù)量的平衡時將不收斂于同一個平衡點，出現(xiàn)多值性。word.5. Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次，六周以后死亡(給出了變化過程的基本規(guī)律)。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個。假設(shè)

18、每個卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率為0.09,(稱為成活率)，2周齡成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的概率為 0.2。假設(shè)開始時，02, 24, 46周齡的昆蟲數(shù)目相同，計算 2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù) 目；討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有一個穩(wěn)定值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除蟲劑是否有效？分析：將兩周分成一個時段，設(shè)k時段2周后幼蟲數(shù)量為：xi(k),2到4周蟲的數(shù)量為：x2(K),4到6周蟲數(shù)量為：X3(K)。據(jù)題意可列出下列差分方程：xi(k+1)=x 2(k)*100+x 3(k)*150 X2(k+1)=x 1(k)*0.09 x3(k+1)=x2(k)*0.2運(yùn)用matlab編寫的程序如下： function z=diwuti(a,r1,r2,