時間序列分析方法譜分析

1、Anal y s i s弟八早譜分析到目前為止，t時刻變量Yt的數(shù)值一般都表示成為一系列隨機擾動的函 數(shù)形式，一般的模型形式為：我們研究的重點在于，這個結(jié)構(gòu)對不同時點t和 上的變量丫和Y的協(xié)方 差具有什么樣的啟示。這種方法被稱為在時間域 (time domain)上分析時間 序列YJ的性質(zhì)。在本章中，我們討論如何利用型如cos( t)和sin( t)的周期函數(shù)的加權(quán)組合 來描述時間序列Yt數(shù)值的方法，這里 表示特定的頻率，表示形式為：上述分析的目的在于判斷不同頻率的周期在解釋時間序列Yt性質(zhì)時所發(fā)揮的重要程度如何。如此方法被稱為頻域分析(frequency domainanalysis)或者譜

2、分析(spectral analysis)。我們將要看到，時域分析和頻 域分析之間不是相互排斥的，任何協(xié)方差平穩(wěn)過程既有時域表示，也有頻域 表示，由一種表示可以描述的任何數(shù)據(jù)性質(zhì)，都可以利用另一種表示來加以 體現(xiàn)。對某些性質(zhì)來說，時域表示可能簡單一些；而對另外一些性質(zhì)，可能 頻域表示更為簡單。 6.1 母體譜我們首先介紹母體譜，然后討論它的性質(zhì)。6.1.1 母體譜及性質(zhì)假設(shè)YJ是一個具有均值 的協(xié)方差平穩(wěn)過程，第j個自協(xié)方差為：假設(shè)這些自協(xié)方差函數(shù)是絕對可加的，則自協(xié)方差生成函數(shù)為：這里z表示復變量。將上述函數(shù)除以2 ,并將復數(shù)z表示成為指數(shù)虛數(shù) 形式z e)p( i ), i則得到的結(jié)果(表

3、達式)稱為變量Y的母體譜：注意到譜是 的函數(shù)：給定任何特定的值和自協(xié)方差j的序列j,原則上都可以計算Sy()的數(shù)值。利用De Moivre定理，我們可以將e i j表示成為：因此，譜函數(shù)可以等價地表示成為：注意到對于協(xié)方差平穩(wěn)過程而言， 有：j j,因此上述譜函數(shù)化簡為：利用三角函數(shù)的奇偶性，可以得到：假設(shè)自協(xié)方差序列 j是絕對可加的，則可以證明上述譜函數(shù) Sy()存 在，并且是 的實值、對稱、連續(xù)函數(shù)。由于對任意2 k ,有：Sy( 2 k) Sy(), 因此Sy()是周期函數(shù)，如果我們知道了 0,內(nèi)的所有Sy()的值，我們可以獲 得任意時的Sy ()值。 6.2 不同過程下母體譜的計算假設(shè)

4、隨機過程Yt服從MA()過程：這里：(L) jLj,j0根據(jù)前面關(guān)于因此得到MA(I j I , E( t s)，S tj 00, S tMA()過程自協(xié)方差生成函數(shù)的推導:)過程的母體譜為：例如，對白噪聲過程而言，(z) 1,這時它的母體譜函數(shù)是常數(shù):下面我們考慮MA(1)過程，此時：(z) 1 z,則母體譜為：可以化簡成為：顯然，當 0時，譜函數(shù)()在0,內(nèi)是 的單調(diào)遞減函數(shù)；當 0時, 譜函數(shù)Sy()在0,內(nèi)是 的單調(diào)遞增函數(shù)。對AR(1)過程而言，有：這時只要I I 1,則有：(z) 1/(1 z),因此譜函數(shù)為：該譜函數(shù)的性質(zhì)為：當 0時，譜函數(shù)Sy()在0,內(nèi)是 的單調(diào)遞增函數(shù)；當

5、 0時，譜函數(shù)Sy()在0,內(nèi)是 的單調(diào)遞減函數(shù)。一般地，對 ARMA(p,q)過程而言：則母體譜函數(shù)為：如果移動平均和自回歸算子多項式可以進行下述因式分解：則母體譜函數(shù)可以表示為：從母體譜函數(shù)中計算自協(xié)方差如果我們知道了自協(xié)方差序列 j，原則上我們就可以計算出任意的譜函數(shù)Sy()的數(shù)值。反過來也是對的：如果對所有在0,內(nèi)的，已知譜函 數(shù)sy()的數(shù)值，則對任意給定的整數(shù) k,我們也能夠計算k階自協(xié)方差 這意味著母體譜函數(shù)Sy ()和自協(xié)方差序列 j包含著相同的信息。其中任 何一個都無法為我們提供另外一個無法給出的推斷。下面的命題為從譜函數(shù)計算自協(xié)方差提供了一個有用的公式：命題6.1 假設(shè) j

6、是絕對可加的自協(xié)方差序列，則母體譜函數(shù)與自協(xié) 方差之間的關(guān)系為：上述公式也可以等價地表示為：利用上述譜公式，可以實現(xiàn)譜函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。 解釋母體譜函數(shù)假設(shè)k 0,則利用命題6.1可以得到時間序列的方差，即 ,計算公式 為：根據(jù)定積分的幾何意義，上式說明母體譜函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)的面積就是 0,也就是過程的方差。更一般的，由于譜函數(shù)Sy ()是非負的，對任意1 0,如果我們能夠計 算：這個積分結(jié)果也是一個正的數(shù)值，可以解釋為 Yt的方差中與頻率的絕對值小于1的成分相關(guān)的部分。注意到譜函數(shù)也是對稱的，因此也可以表示為：這個積分表示頻率小于1的隨機成分對Yt方差的貢獻。但是，頻率小于i的隨機

7、成分對丫方差的貢獻意味著什么？為了探索這個問題，我們考慮更為特殊一些的時間序列模型：這里j和j是零均值的隨機變量，這意味著對所有時間 t,有EYt 0。進 一步假設(shè)序列 jMi和 jMi是序列不相關(guān)和相互不相關(guān)的：E( j k)2，j k0, j k，E( j k)20,E( j k) 0,對所有的j和k這時Yt的方差是：因此，對這個過程來說，具有頻率是2。如果頻率是有順序的：01于或者等于j的周期形成的部分是：這種情形下Yt的k階自協(xié)方差為:j的周期成分對Yt的方差的貢獻部分2 M ,則Yt的方差中由頻率小 22212j。因為過程Yt的均值和自協(xié)方差函數(shù)都不是時間的函數(shù)， 因此這個過程是 協(xié)

8、方差平穩(wěn)過程。但是，可以驗證此時的自協(xié)方差序列 kk不是絕對可加 的。雖然在上述過程中，我們已經(jīng)過程的方差分解為頻率低于某種程度的周期成分的貢獻，我們能夠這樣做的原因在于這個過程是比較特殊的。對于一般的情形，著名的譜表示定理 (the spectral representation theorem) 說 明：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程都可以表示成為不同頻率周期成分的和形式。對任意給定的固定頻率0,我們定義隨機變量()和()，并假設(shè)可以將一個具有絕對可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程表示為：這里需要對隨機變量()和()的相關(guān)性給出更為具體的假設(shè)，但是上述 公式便是譜表示定理的一般形式。6.2 樣本周期圖 Sa

9、mple Periodogram對一個具有絕對可加自協(xié)方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程Yt,我們已經(jīng)定義在頻率處的譜函數(shù)值為：1 1Sy( ) 丁gY(e i ) je j , j E(Yt)(丫 j )2 2 j注意到母體譜是利用 jj表示的，而 jj 表示的是母體的二階矩性質(zhì)。給定由必22,yT表示的T個樣本，我們可以利用下述公式計算直到(T 1)階的樣本自協(xié)方差：T1(T j) 1 (yt?jt j 1?.j，y)(yt jy), j 0,1, ,t 1j 1, 2, , T 1對于給定的，我們可以獲得母體譜密度對應(yīng)的樣本情形，我們稱其為樣本周期圖：樣本周期圖也可以表示成為如下形式：類似地，我們可以

10、證明樣本周期圖下的面積等于樣本方差：樣本周期圖也是關(guān)于原點對稱的，因此也有：更為重要的是，譜表示定理在樣本情形也有類似的表示。 我們將要說明, 對于平穩(wěn)過程的任意一個容量為T的觀測值序列yi,y2,力，存在頻率M 和系數(shù)？，?1, ?2, ?M , I,?m使得t期的y值可以表示成為:其中：當 j k 時,?jcos j(t 1)與？kcos k(t 1)不相關(guān);當 j k 時，?j sin j (t 1)與？kSin k(t 1)不相關(guān)；對于所有的j和k,?j cos j (t 1)與Zsin k(t 1)不相關(guān)。j的周期成分yt可以表 m如下：y的樣本方差是t 1屋(兌y)2 ,該方差中可

11、以歸因于頻率為 的部分由樣本周期圖sy( j)給出。我們對樣本容量是奇數(shù)的情形展開討論上述譜表示模式。這時 示成為由M (T 1)/2個不同頻率構(gòu)成的周期函數(shù)，頻率2土 2M1 T ，21， m t因此最高頻率為：我們考慮yt基于常數(shù)項、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的線性回歸：將這個回歸方程表示成為下述方式：其中：Xt 1, cos 1(t 1),sin 1(t 1),L ,cos m (t 1),sin m (t 1),這是具有(2M 1) T個解釋變量的回歸方程，因此解釋變量與觀測值是一樣多的。我們將證明解釋變量之間是線性無關(guān)的，這意味著 yt基于xt回歸的OLS古計 具有惟一解。該回歸方程的 系數(shù)

12、具有顯著的統(tǒng)計意義：(？2 ?2)/2表示yt中 可以歸因于頻率 j的周期成分的那部分。這就是說，任意觀測到的序列yhy2,小，它都可以利用上述周期函數(shù)形式表示，并且不同頻率的周期成分對方差的貢獻都可以在樣本周期圖中找到。命題6.2假設(shè)樣本容量是奇數(shù)，定義 M (T 1)/2,并設(shè)定j 2 i/T,j 1,2, ,m ,假設(shè)解釋變量為：則有：進一步，假設(shè)w,y2, ,yT是任意T個實數(shù)，則下述推斷成立：(a)過程yt可以表示為：這里：2 Tc 2 T? y, ?j 7 yt cos j (t 1), -j - ytsin j(t 1) I t 1I t 1(b) yt的樣本方差可以表不為：樣本

13、方差可以歸因于頻率為j的周期成分的部分為(?2孑)/2。(C) yt的樣本方差中可以歸因于頻率為j的周期成分的部分還可以表示為：其中即j)是樣本周期圖在頻率j處的值。T上述結(jié)果說明，XtXt是對角矩陣，這意味著包含在向量xt中的向量之間 t 1是相互正交的。這個命題斷言：任何奇數(shù)個觀測到的時間序列yi,y2, ,yT可以 表示成為一個常數(shù)加上具有(T 1)/2個不同頻率的(T 1)個周期成分的加權(quán)和。當t是偶數(shù)整數(shù)的時候，類似的結(jié)果也是成立的。因此，這個命題給出 了類似譜表示定理的有限樣本的類似情況。這個命題進一步表明了樣本周期圖的特征是將y的方差按部分分解為不同頻率的周期成分的貢獻。注意到解

14、釋y的方差的頻率j都落在區(qū)間0,中。為什么不使用負的頻 率 0 ?假設(shè)數(shù)據(jù)確實是由上述過程的一種特殊情形生成的：這里0代表某個特殊的負頻率，和 是零均值的隨機變量，利用三角函數(shù)的奇偶性，可以將Yt表示為：因此，利用上述式子無法從數(shù)據(jù)中識別數(shù)據(jù)是從正發(fā)頻率還是負的頻率 生成的。這時一種簡單的方式是假設(shè)數(shù)據(jù)是從具有正的頻率中生成的。為什么只考慮作為最大的頻率呢？假設(shè)數(shù)據(jù)真的是從頻率的周期函數(shù)中生成的，例如3 /2：這時正弦和余弦函數(shù)的周期性質(zhì)表明，上式可以表示成為：因此，根據(jù)以前的討論，具有頻率3 / 2的周期在觀測值上等價于具有頻率/2的周期。注意到頻率和周期之間的關(guān)系，頻率對應(yīng)的周期為2 /。

15、由于我們考慮的最高頻率為，因此我們所觀測到的能夠自己重復的最短階段是2 /2。如果 3 /2,則周期是每4/3階段重復自己。但是，如果數(shù)據(jù)是整數(shù)階段觀測的，因此數(shù)據(jù)可以觀測的時間間隔仍然是每4個階段觀測到，這對應(yīng)著周期頻率是/2。例如，函數(shù)cos( /2)t和函數(shù)cos(3 /2)t在整數(shù)的時間間隔上，它們的觀測值是一致的。命題6.2也為計算在頻率j 2 i/T( j 1,2, ,M )上的樣本周期圖的數(shù)值 提供了方法。定義：這里：2 T2 T?j - yt cos j (t 1) ,?j - yt sin j (t 1)T t 1T t 1因此可以得到： 6.3 估計總本譜 Estimati

16、ng the Population Spectrum上面我們介紹了母體譜的意義和性質(zhì)，下面我們面對的問題是：獲得了 觀測樣本yy2, ,yj以后，如何估計母體譜函數(shù)( ) ?樣本周期圖的大樣本性質(zhì)一個顯然的方法是利用樣本周期圖sy()去估計母體譜函數(shù)8y()。但是， 這種方法具有顯著的限制。假設(shè)對于無限移動平均過程而言：這里系數(shù) jjo是絕對可加的， tt是具有均值E(t) 0和方差 var(t) 2的獨立同分布序列，假設(shè)sy()是如上定義的母體譜函數(shù)，且對所有 的，都有Sy( ) 0。假設(shè)備()是如上定義的樣本譜函數(shù)，F(xiàn)uller (1976)證 明了，對0和充分大的樣本容量T,樣本周期圖與母體譜函數(shù)之比的二倍具有下述漸近分布：進一步，如果 ，也有：并且上述兩個漸近分布的隨機變量是相互獨立的。注意到2(n)的均值等于自由度，因此有：因為sy()是母體數(shù)量，不是一個隨機變量，因此上式也可以表示成為：因此，對充分大的樣本容量，樣本周期函數(shù)為母體譜提供了一個漸近無 偏估計。母體譜的參數(shù)化估計假設(shè)我們認為數(shù)據(jù)可以由ARMA(p,q)模型表示：這里t是具有方差2的白噪聲。這時一個估計母體譜的出色方法是先利 用前面介紹的極大似然估計估計參數(shù)，