全國高中數(shù)學青年教師展評課向量減法運算及其幾何意

1、向量減法運算及其幾何意義一、教學內(nèi)容解析向量減法運算及幾何意義 是高中數(shù)學必修4第二章平面向量第二單元第二節(jié)的內(nèi)容。 向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具， 有著極其豐富的實際背景。本節(jié)課的學習是建立在學生已經(jīng)掌握了平面向量的基本概念、相 等向量，共線向量的特點，以及向量加法運算的基礎上，進一步對于向量減法運算及其幾何 意義進行研究。類比實數(shù)的減法運算，通過相反向量將向量減法運算轉(zhuǎn)化為向量加法運算， 體現(xiàn)了加法運算與減法運算的內(nèi)部聯(lián)系。向量減法的學習是對數(shù)學中減法運算的豐富與升華， 是運算認識的又一次質(zhì)的飛躍。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點以及學生的實際情況，

2、在教學過程中讓學生自己去感受向量減法 的形成過程是這節(jié)課的突破口。向量的減法運算及其幾何意義，及向量減法與向量加法的類 比作為本節(jié)課的教學重點。本節(jié)課的學習在發(fā)展學生運算能力的同時還需要培養(yǎng)學生運用向量語言和方法表述和解 決實際問題的能力。另外，向量減法運算及幾何意義與向量加法運算及即將學習的“向量數(shù) 乘運算及幾何意義”都有著密不可分的關系，因此本節(jié)的內(nèi)容起到了承前啟后的重要作用； 并且通過本節(jié)內(nèi)容的教學還為培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思 想方法提供了重要的素材。二、教學目標設置新課標指出教學目標應體現(xiàn)學生學會知識與技能的過程也同時成為學生學會學習，形成 正確價值觀的過

3、程。新課標要求：借助向量加法運算及相反向量的概念，理解向量減法的運 算其幾何意義。根據(jù)新課標的理念及本節(jié)課的教學要求，制定了如下教學目標：1 .掌握相反向量的概念，通過類比數(shù)的運算理解向量減法的定義，并掌握作兩個向量的 差向量的方法。2 .掌握向量減法的幾何意義并體會向量加減法的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方 法。3 .通過學習，感知向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶卣?，同時向量是研究圖形的重要工具，從而深 入體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。4 .通過學習使學生經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，提高分析實際問題的 能力，增強數(shù)學應用意識。5 .營造和諧的課堂氛圍，通過獨立思考，合作交流使學生獲得學習數(shù)學

4、的成功體驗，培 養(yǎng)良好的學習習慣及嚴謹?shù)乃季S方式。三、學生學情分析本節(jié)課面對的是高一年級的學生，這個年齡段的學生思維活躍，求知欲強，但在思維習 慣上還有待教師引導。通過之前的學習學生已經(jīng)掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共 線向量的特點，以及向量加法運算及其幾何意義。同時對于數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思 想方法也有了初步的認識。為了更好的實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，需要學生從原有的知識和能力出發(fā)進一步體會向量 加減法的內(nèi)在聯(lián)系，從而深入感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學思想方法。讓學生充分感受向量減法法 則的研究方法和生成過程，從而深入體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。從數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法的初步具備到本節(jié)

5、課的深入強化，從向量基本 概念、加法運算及其幾何意義的知識儲備到加減法及幾何意義的內(nèi)在聯(lián)系，可通過實際教學 中積極的雙邊活動讓學生自主尋求解決問題的途徑。激發(fā)學生學習熱情，提高課堂效率，使 知識得到螺旋式的鞏固與提高。而對于加強學生自身對于數(shù)學的應用意識及實際問題的分析 能力方面，還有待于教師的指導幫助。根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容及學生的實際情況，我將本節(jié)課的教學難點制定為：對向量減法 幾何意義的深入理解，向量減法運算的實際應用。學生根據(jù)教師提供的情境，采用觀察、分 析、抽象、概括等方式探索知識，歸納知識。通過創(chuàng)設情境疑問，引導學生開展獨立思考、 主動探究、合作交流，探求解決問題的方法。鼓勵學生創(chuàng)新

6、思考，加強數(shù)學實踐，培養(yǎng)學生 的理性思維，同時注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣。四、教學策略分析遵循教師的主導作用和學生的主體地位相統(tǒng)一的教學原則，本節(jié)課我采用引導發(fā)現(xiàn)式的 教學方法并充分利用多媒體輔助教學，達到提高教學效果和教學質(zhì)量的目的。從教與學的實 際情況出發(fā)在教學過程中深入挖掘課本資源，通過“如果沒有運算，向量只是一個路標， 因為有了運算，向量的力量無限。”強調(diào)向量運算的重要性，類比實數(shù)的減法運算提出是否存 在向量減法運算的疑問，調(diào)動學生的學習興趣。教學的核心內(nèi)容為向量減法的作圖方法及幾 何意義，向量加減法在幾何問題中的應用，課后思考題體現(xiàn)了向量減法在實際生活中的應用， 實現(xiàn)了課堂知識在

7、課外的延伸。整節(jié)課教學材料的選擇安排符合學生的認知規(guī)律，可以有效 提高學生數(shù)學思維的參與度，幫助學生逐步學會思考。根據(jù)本課特點及學生情況，教學中教師通過創(chuàng)設情境，設置問題，啟發(fā)學生通過主動觀-2 -察、主動思考、自主探究、合作交流，實現(xiàn)動眼、動手、動腦操作來達到對知識的發(fā)現(xiàn)和接 受。圍繞本節(jié)課的教學重點，教學過程中以問題為驅(qū)動，逐層遞進，使學生對知識的探究由 表及里，逐步深入。通過思考題，以“問題串”形式組織教學，通過探究，引導學生思考、 歸納、總結(jié)。例題、練習、變式題的設置從淺入深，課后作業(yè)分層布置，設置為鞏固型、思維拓展型 兩個階段，為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會。在教學過程中，反

8、饋應體現(xiàn)在學生 對于課堂所學知識的反饋，同時也體現(xiàn)在教師對于學生解題過程中的診斷性評價。例題的自 主完成要給學生足夠的時間，通過學生板演反饋知識內(nèi)化情況。通過反饋教師給予學生更有 針對性的指導幫助，從而真正實現(xiàn)知識的內(nèi)化。五、教學過程溫故復習，強化概念通過一道復習題，強化學生對相關向量概念及向量加法P運算的掌握，為向量減法的學習打下堅實的基礎。1F通過有關向量減法問題串的提出,引發(fā)學生思考。創(chuàng)設 位移、物理學情境，激發(fā)學生興趣，引出新知。提出問題，創(chuàng)設情境1f通過合作和交流，從已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，得到本課研 究的兩個定義，并明確作向量減法的步驟。探索新知，深入研究1F通過例題強化向量減法運算及

9、其幾何意義，同時體現(xiàn)向 量在平囿幾何中的應用。鞏固雙基，挖掘內(nèi)涵1F通過例題向量減法的運算規(guī)律，明確加減法的特點及二者間的內(nèi)在聯(lián)系。引入實際生活問題，學以致用，感受提升認識，學以致用4F數(shù)學的廣泛應用。小結(jié)升華,布置作業(yè)師生共同交流，感悟思想方法，提升學習內(nèi)容。通過布 置分層作業(yè)，達到知識在課堂以外的延伸。1 .溫故復習，強化概念COA 掌握請F師通過前面的學習，我們知道向量是既有大小又有方向的量, 了相等向量和共線向量的概念，了解了向量可以進行加法運算， 同學們與我一同看這樣一道復習題。如圖：O是正六邊形 ABCDE的中心。uuu UULT(1)作出圖中的向量 OA, DE ,還能作出哪些向

10、量呢？uuur(2)找出DE的相等向量、共線向量uuu imruuu uuur(3) OA AF , OA OC ，還能舉出類似的例子嗎？生學生回答。復習過程中教師強調(diào)向量相關概念，并引領學生復習向量加法的兩種法則及各自特點?！驹O計意圖】知識的復習融入一道題目之中，巧妙的安排設問，復習相關概念并鞏固了向量加法的兩種法則，為后續(xù)的教學做好準備。2 .提出問題，創(chuàng)設情境師正如教材的第二章扉頁上所說，“如果沒有運算，向量只是一個路標，因為有了運算， 向量的力量無限?！蓖ㄟ^向量加法的學習，我們已經(jīng)初步感受到了運算給予向量的力量，在此 基礎上我們學習向量減法。問題串：如何定義向量減法？用怎樣的符號表示呢

11、？如何理解向量的減法及其幾何意義？(讓我們共同開啟對于“向量減法”的發(fā)現(xiàn)之旅吧。)我們知道，在實數(shù)運算中，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。類比相反數(shù)，我們在學習向量減法時，是否也有這樣的相反的向量呢？師生活情境(1): 一架飛機由天津到香港，再由香港返回天津，飛機的兩次位移分別是什么 ？ 生學生回答師在物理學中我們學習過作用力與反作用力的概念，是如何定義的呢？生學生回答師兩個情境中涉及的兩個量，具有怎樣的關系呢？生學生齊答：大小相等，方向相反師結(jié)合以上特點，你能否在正六邊形中，找到也具有這種特點的兩個向量？滿足這樣特點的兩個向量，我們就把它稱作相反向量。用怎樣的數(shù)學符號表示呢？r生學生回答：

12、 a【設計意圖】問題串的引入符合學生的認知規(guī)律，從加法到減法的過渡自然流暢。問題從類比減法運算方法的提出，為學生研究向量減法運算提供了思考方法，同時從生活、物理-4 - 學情境引入新知可以激發(fā)學生的學習興趣。教學過程中，相反向量的定義由學生自己發(fā)現(xiàn)并 總結(jié)，同時在正六邊形的復習題中得以應用，形成呼應。知識的形成并非強加給學生，而是 讓學生自主發(fā)現(xiàn)探索，符合最近發(fā)展區(qū)原則。3.探索新知，深入研究師借助新知完成思考1。生（思考1:逐一請學生回答）其中（3）:教師要適時強調(diào)相反向量和共線向量的關系。師再次類比實數(shù)運算，a b a （ b）,向量減法是否也有類似的運算？r r r r生學生獨立得出向量

13、減法的定義式：a b a （ b）師教師給出向量減法的定義。并強調(diào)：減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量。r r思考2：讓我們共同探討：對于已知非零向量 a,b,借助減法的定義，（1）如何作圖得到r r a b ?生請兩位同學實物投影并講解作法，體現(xiàn)減法轉(zhuǎn)化為加法的思想，同時展示兩種向量加法的法則?！驹O計意圖】本環(huán)節(jié)強化了學生活動，由定義得到，作圖得到向量減法的過程完全讓學生完成，從而體現(xiàn)學生的主體地位，在學生參與的過程中，教師要適時表揚，適時提出新的問題，激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W習慣。uuur uuurr r師思考2： （2）設OAa,OBb,探究：能否直接求a b ,小組討論。

14、【設計意圖】思考2： （2）是本課的重點，體現(xiàn)向量減法的形成過程，教師把時間交給學生，小組討論，形成向量減法的運算規(guī)律，并強調(diào)幾何意義。r r思考3：讓我們一同總結(jié)作圖得到 a b的具體步驟。生（請一位同學回答）同時教師板書規(guī)范完成求向量差的作圖操作。師我們已經(jīng)從圖形角度研究了向量的減法，再來從表達式的角度研究一下。rruuu uuuuuri（教師板演：abOA OBBA）并強調(diào)：一個完整的作圖應體現(xiàn)出運算結(jié)果，同時也r r更加清楚的表示差向量。通過b a的變式，應用口訣?！驹O計意圖】借助多媒體工具輔助教學，強化對于減法幾何意義的理解，實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。作圖方法具體步驟及運算結(jié)果的呈現(xiàn)，為學生

15、提供一種規(guī)范的解題作圖思路和具體操作方法，做到事事有章可循，從而培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S方式。-5 -4.鞏固雙基，挖掘內(nèi)涵 師下面就讓我們嘗試運用法則來完成第一個例題rrrmrrru例1： (1)已知向量a,b, c,d,求作向量a b, c d ,并寫出運算結(jié)果。r rr(2)已知向量a,b,求作向量arb ,并寫出運算結(jié)果。r rr(3)已知向量a,b,求作向量arb ,并寫出運算結(jié)果。(請三位同學在黑板上分別作出結(jié)果)(2)(3)【設計意圖】目的在于考查學生對于法則的理解程度。在教學過程中，要給學生足夠的時間完成，講解時適時強調(diào)r r3個小題中向量a, b的位置關系均有所不同,特別是對于共線

16、的兩個向量，減法的法則仍適用，從而完善了向量減法的適用范圍。另外，通過本例強調(diào)規(guī)范的作圖方法及運算結(jié)果的體現(xiàn)。uur r uuurr r rumr uuirb,用a,b表示向量AC,BD【設計意圖】本例的作答對于學生而言并不困難，要求教師引導學生提煉本題中所求向r r r r r r量的幾何意義。即為學生介紹了聯(lián)系a, b, a b, a b的一種幾何模型一一平行四邊形。5.提升認識，學以致用師我們前面接觸的向量減法均與圖像相關，那么我們能脫離圖像，解決這組化簡的習題嗎？請同學們試一試。uuu uuur uuu例 3:化簡(1)OA OC AB uuuuuuuuuuiruur(2) MDMNM

17、PDPuuuuuurumruuir(3)( ABCD)(ACBD)生(請三位學生回答)并引導學生給出一題多解。師教師總結(jié)解決本練習的精髓：借助向量加法首尾相連，減法共起點的特點，找尋題目的突破口。同時再次強調(diào)：借助相反向量實現(xiàn)加減法之間的轉(zhuǎn)化。同時：本例也是對于例4的鋪墊。uuu unr unr uum例4：已知點O是四邊形ABC所在平面上的任意一點，且滿足 OA OC OD OB ,判斷 四邊形ABCD勺形狀?！驹O計意圖】 從化簡練習到例 2的設計，均體現(xiàn)了不借助圖形直接進行加減法運算問題， 這個環(huán)節(jié)的設計力求通過練習為學生搭建解決問題的腳手架。即：若無圖形，首尾相連則完 成加法，共起點則想

18、到減法，這也就是例2解題的關鍵所在。師在學習中我們發(fā)現(xiàn)向量的加法和減法是有機聯(lián)系的一個整體，密不可分。下面我們來一起完成思考4:總結(jié)對比向量加法和減法運算?！驹O計意圖】本環(huán)節(jié)設置力求讓學生較為系統(tǒng)掌握加減法的本質(zhì)及內(nèi)在聯(lián)系，提升認識。 師問題解決（1）:拔河比賽一一場景：甲隊勝于乙隊。你能通過向量的知識來解釋嗎？ 問題解決（2）:在向量加法的學習中，我們接觸一道有關于堤壩搶險的實際問題。江淮流域發(fā)生了大洪災。一條自西向東流淌的大河， 在其南岸發(fā)現(xiàn)對岸的堤壩處有險情,救險隊員坐船從 A處出發(fā)垂直向?qū)Π恶側(cè)?，才能到達險情發(fā)生處。已知船速、水速，求船實 際航行速度的大小及方向。如果是正對岸出現(xiàn)險情，

19、該如何確定其航向？對你有何啟發(fā)?【設計意圖】問題解決部分：從生活實例出發(fā)，拔河比賽的場景設置激發(fā)學生的學習興 趣。在向量加法運算的學習中，運用向量加法的平行四邊形法則解決了堤壩搶險的實際問題。 在向量減法運算的教學中改變險情位置，提出該如何確定航向的相關問題，體現(xiàn)向量減法運 算的實際應用，學以致用，讓學生感受到數(shù)學服務于生活，有著廣泛的應用，留作課后解決。 6 .小結(jié)升華，布置作業(yè)本環(huán)節(jié)由學生發(fā)言，暢談這節(jié)課的收獲與疑惑，并相互評價。最后教師進行歸納、總結(jié)、 提升。兩個定義相反向量向量的減法種運算方法三種思想課后作業(yè)：【鞏固型】教材 87頁練習1,2,3 ; 91頁A組4,8.【思維拓展型】(1)類比加法中不等式 a b a b a b，試判斷a b a b a b是否成立？若成立，給出相應解釋。(2)向量是一種重要的運算對象，從數(shù)、式的運算到向量的運算是一次飛躍?；仡櫍簲?shù)、式 的運算規(guī)律，和向量加、減法運算。思考：向量還會有其它運算嗎？怎樣運算呢？遵循什么運算律呢？數(shù)形結(jié)合是研究圖形的工具板書設計:作圖區(qū)步驟:教學點評點評人：王祥芬（天津市濱海新區(qū)塘沽教育中心）陳瑩老師是天津市濱海新區(qū)塘沽一中的青年教師。本節(jié)課的內(nèi)容是人教A版教材數(shù)學（必修4） 2.2.2向量減法運算及其幾何意義，向量是近代數(shù)學中重要和基本