機(jī)械振動(dòng)章末知識(shí)梳理

1、機(jī)械振動(dòng)章末知識(shí)梳理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .通過觀察和分析，理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征。能用公式和圖像描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征。2 .通過實(shí)驗(yàn)，探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的關(guān)系。3 .知道單擺周期與擺長(zhǎng)、重力加速度的關(guān)系。會(huì)用單擺測(cè)定重力加速度。4 .通過實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)受迫振動(dòng)的特點(diǎn)。了解產(chǎn)生共振的條件以及在技術(shù)上的應(yīng)用。【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1 .定義物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力的作用下的振動(dòng)，叫簡(jiǎn) 諧運(yùn)動(dòng)。表達(dá)式為：F -kx,是判斷一個(gè)振動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的充分必要條件。凡是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)沿振動(dòng)方 向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動(dòng)方向的合力滿足該條件，那么該振動(dòng)一

2、定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2 .幾個(gè)重要的物理量間的關(guān)系要熟練掌握做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻(或某一位置)的位移x、回復(fù)力F、加速度a、速度v這四個(gè)矢量的相互關(guān)系。(1)由定義知：F x,方向與位移方向相反。(2)由牛頓第二定律知：a F ,方向與F方向相同。(3)由以上兩條可知：a x,方向與位移方向相反。(4) v和x、F、a之間的關(guān)系最復(fù)雜：當(dāng) v、a同向(即v、F同向，也就是v、x反向)時(shí)v 定增大；當(dāng)v、a反向(即v、F反向，也就是v、x同向)時(shí)，v 一定減小。3.從總體上描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量振動(dòng)的最大特點(diǎn)是往復(fù)性或者說是周期性。因此振動(dòng)物體在空間的運(yùn)動(dòng)有一定的范圍，用振幅A來(lái)描述；在時(shí)間上則用

3、周期 T來(lái)描述完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間。(1)振幅A是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量。(一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過程 中，振幅是不變的而位移是時(shí)刻在改變的)(2)周期T是描述振動(dòng)快慢的物理量。 周期由振動(dòng)系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都有共同的周期公式：T 2 Jm (其中m是振動(dòng)物體的質(zhì)量，k是回復(fù)力系數(shù)，即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判定式F kx中的比例系數(shù)，對(duì)于彈簧振子k就是彈簧的勁度，對(duì)其它簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)它就不再是彈簧第1頁(yè)的勁度了)。，1(3)頻率也是描述振動(dòng)快慢的物理量。周期與頻率的關(guān)系是f 亍。4 .表達(dá)式x Asin( t ),其中A是振幅，是t 0時(shí)的相位，即初相位或初相。5

4、 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量特征振動(dòng)過程是一個(gè)動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)化的過程，振動(dòng)物體總的機(jī)械能的大小與振幅有關(guān)，振幅越大，振動(dòng)的能量越大。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅不變，總的機(jī)械能守恒。6 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中路程和時(shí)間的關(guān)系(1)若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與周期T的關(guān)系滿足t nT (n= 1,2 3L ),則s14A成立要點(diǎn)詮釋：不論計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在哪個(gè)位置向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷一個(gè)周期就完成一次全振動(dòng)，完成任何一次全振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)通過的路程都等于4A。(2)若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與周期T的關(guān)系滿足t n (n= 1,2, 3L ),則s q 4A成立(3)若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t與周期T的關(guān)系滿足t此種情況最復(fù)雜，分三種情形4計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在三個(gè)特

5、殊位置(兩個(gè)最大位移處，一個(gè)平衡位置)，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性 和對(duì)稱性知，s A成立。計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在最大位移和平衡位置之間，向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則s>A.計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)在最大位移處和平衡位置之間，向最大位移處運(yùn)動(dòng)，則s<A.(4)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為非特殊值，則需要利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖象進(jìn)行計(jì)算。7 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度及對(duì)稱性(1)位移：方向?yàn)閺钠胶馕恢弥赶蛘褡游恢?，大小為平衡位置到該位置的距離。位移的表示方法：以平衡位置為原點(diǎn)，以振動(dòng)所在的直線為坐標(biāo)軸，規(guī)定正方向，則某一時(shí)刻振子(偏離平衡位置)的位移用該時(shí)刻振子所在位置的坐標(biāo)來(lái)表示。振子通過平衡位置時(shí)，位移改變方向。(2

6、)速度：描述振子在振動(dòng)過程中經(jīng)過某一位置或在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢。在所建立的坐標(biāo)軸上，速度的正負(fù)號(hào)表示振子運(yùn)動(dòng)方向與坐標(biāo)軸的正方向相同或相反。振子在最大位移處速度為零，在平衡位置時(shí)速度最大，振子在最大位移處速度方向發(fā)生改變。k(3)加速度：根據(jù)牛頓第二定律，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的加速度a x ,由此可知，加速度的大m小跟位移大小成正比，其方向與位移方向總是相反。振子在位移最大處加速度最大，通過平衡位置時(shí)加速度為零，此時(shí)加速度改變方向。(4)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性瞬時(shí)量的對(duì)稱性：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，在關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)，回復(fù)力、位移、加速度具 有等大反向的關(guān)系。另外速度、動(dòng)量的大小具有對(duì)稱性，方向可能相同或

7、相反。過程量的對(duì)稱性：振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)來(lái)回通過相同的兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，如 tBC Lb；質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的等長(zhǎng)的兩線段時(shí)時(shí)間相等，如tBC tC'B,，如圖所示：L B O B C要點(diǎn)詮釋：利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，可以解決物體的受力問題，如放在豎直彈簧上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，若 已知物體在最高點(diǎn)的合力或加速度，可求物體在最低點(diǎn)的合力或加速度。但要注意最高點(diǎn)和最低點(diǎn)合 力或加速度的方向相反。由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有周期性，因此涉及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往出現(xiàn)多解，分析時(shí)應(yīng)特別注意：物體在某 一位置時(shí)，位移是確定的，而速度不確定；時(shí)間也存在周期性關(guān)系。要點(diǎn)二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象1 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象以橫軸表示時(shí)間t,以

8、縱軸表示位移x,建立坐標(biāo)系，畫出的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移 一時(shí)間圖象都是正弦 或余弦曲線。2 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象(1)從平衡位置開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為x Asin t,圖象如圖。(2)從最大位移處開始計(jì)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式x Acos t ,圖象如圖。3 .振動(dòng)圖象的物理意義表示振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。4 .從圖象中可以知道(1)任一個(gè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移(2)振幅A(3)周期T(4)速度方向：由圖線隨時(shí)間的延伸就可以直接看出(5)加速度：加速度與位移的大小成正比，而方向總與位移方向相反。只要從振動(dòng)圖象中認(rèn)清位 移(大小和方向)隨時(shí)間變化的規(guī)律，加速度隨時(shí)間變化的情況就迎刃而解了。5 .關(guān)于振動(dòng)圖象的討論(

9、1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象不是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡。做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡是質(zhì)點(diǎn)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的那一段線段(如彈簧振子)或那一段圓弧(如單擺)。這種往復(fù)運(yùn)動(dòng)的位移圖象，就是以x軸上縱坐標(biāo)的數(shù)值表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移，以 t軸橫坐標(biāo)數(shù)值表示各個(gè)時(shí)刻，這樣在 x t坐標(biāo)系內(nèi)，可以找到各個(gè)時(shí) 刻對(duì)應(yīng)質(zhì)點(diǎn)位移坐標(biāo)的點(diǎn)，即位移隨時(shí)間分布的情況 一一振動(dòng)圖象。(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性體現(xiàn)在振動(dòng)圖象上是曲線的重復(fù)性。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜的非勻變速運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)具有簡(jiǎn)單的周期性、重復(fù)性、對(duì)稱性。所以用圖象研究要比用方程要直觀、簡(jiǎn)便。簡(jiǎn)諧 運(yùn)動(dòng)的圖象隨時(shí)間的增加將逐漸延伸，過去時(shí)刻的圖形將永遠(yuǎn)不變，任一時(shí)刻圖線上過該點(diǎn)切線的斜率數(shù)

10、值代表該時(shí)刻振子的速度大小，正負(fù)表示速度的方向，斜率為正時(shí)表示速度沿x正向，斜率為負(fù)時(shí)表示速度沿x負(fù)向。6 .根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)情況的基本方法簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象能夠反映簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象跟具體的運(yùn)動(dòng)過程聯(lián)系起來(lái)是討 論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一種方法。(1)從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象上可以直接讀出不同時(shí)刻t的位移值，從而知道位移 x隨時(shí)間t的變化情況。(2)在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象中，用作曲線上某點(diǎn)切線的方法可確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度大小和方向。切線與x軸正方向夾角小于 90時(shí)，速度方向與選定的正方向相同，且夾角越大表明此時(shí)速度越大；當(dāng)切線與x軸正方向的夾角大于 90時(shí)，速度方向與選定的正方向相反，且夾角越大

11、表明此時(shí)速度越小。第4頁(yè)也可以根據(jù)位移情況來(lái)判斷速度的大小，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)離平衡位置越近，質(zhì)點(diǎn)速度越大，而最大位移處，質(zhì)點(diǎn)速度為零。根據(jù)位移變化趨勢(shì)判定速度方向，若正位移增大，速度為正方向，若正位移減小，速度為負(fù)方向；反之，若負(fù)位移增大，速度為負(fù)方向，若負(fù)位移減小，速度為正方向。k(3)由于a x,故可以根據(jù)圖象上各個(gè)時(shí)刻的位移變化情況確定質(zhì)點(diǎn)加速度的變化情況。m同樣只要知道了位移和速度的變化情況，也就不難判斷出質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能的變化情況。要點(diǎn)三、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1.彈簧振子(1)周期T 2 后,與振幅無(wú)關(guān)，只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度系數(shù)決定。-八 m(2)可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動(dòng)也

12、是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期公式也是T 2 匕。這個(gè)結(jié)論可以直接使用。在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。2 .單擺(1)在一條不可伸長(zhǎng)的、質(zhì)量可以忽略的細(xì)線下拴一質(zhì)點(diǎn)，上端固定，構(gòu)成的裝置叫單擺；當(dāng)單擺的最大偏角小于5時(shí)，單擺的振動(dòng)近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。(2)單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回復(fù)力越大， 加速度(gsin )越大，由于擺球的軌跡是圓弧，所以除最高點(diǎn)外，擺球的回復(fù)力并不等于合外力。(3)單擺的周期：T 2 舊。在小振幅擺動(dòng)時(shí)，單擺的振動(dòng)周期跟振幅和振子的質(zhì)量都沒有關(guān)系。3 .簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩種模型的

13、比較彈簧振子單擺模型示意S1-1aE畬V| QOQQOOOuOQ kJ E特點(diǎn)(1)忽略摩擦力，彈簧對(duì)小球的彈力提供回復(fù)力(2)彈簧的質(zhì)量可忽略(1)細(xì)線的質(zhì)量，球的直徑均可忽略(2)擺角很小公式回復(fù)力F kx(1)回復(fù)力T 2 jm(2)周期T 2 A4 .類單擺的等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度在有些振動(dòng)系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長(zhǎng)，g也不一定為9.8m/s2,因此出現(xiàn)了等效擺長(zhǎng)和等效重力加速 度的問題。(1)等效擺長(zhǎng)：如圖所示， 三根等長(zhǎng)的繩li、12、13共同系住一密度均勻的小球 m,球直徑為d oI2、I3與天花板的夾角<30。若擺球在紙面內(nèi)做小角度的左右擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在Oi處,故等效

14、擺長(zhǎng)11-2;若擺球做垂直紙面的小角度擺動(dòng)，則擺動(dòng)圓弧的圓心在O處，故等效擺長(zhǎng)為1112sinMR2(2)等效重力加速度：公式中的 g由單擺所在的空間位置決定。g知，g隨地球表面不同位置、不同高度而變化，在不同星球上也不相同，因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值 g'代入公式，即g不一定等于9.8m/s2 .g還由單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定。如單擺處在向上加速發(fā)射的航天飛機(jī)內(nèi)，設(shè)加速度為a,此時(shí)擺球處于超重狀態(tài)，沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大，擺球質(zhì)量不變，則重力加速度的等效值' . . ,g g a .再如，單擺若在軌道上運(yùn)行的航天飛機(jī)內(nèi)，擺球完全失重，回復(fù)力為零，則等效值g 0,所以周期為

15、無(wú)窮大，即單擺不擺動(dòng)了。g還由單擺所處的物理環(huán)境決定。如帶電小球做成的單擺在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，回復(fù)力應(yīng)是重力和豎直電場(chǎng)力的合力在圓弧切線方向的分力，所以也有等效值g'的問題。 .一-在均勻場(chǎng)中g(shù)值等于擺球靜止在平衡位置時(shí)擺線的張力與擺球質(zhì)量的比值，由此找到等效重力加速q ' . 一 ' 一. ' 一度g代入公式即可求得周期 T。右g > g , T變短；g < g , T變長(zhǎng)?！镜湫屠}】類型一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性應(yīng)用例1.如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)振幅為A時(shí)，物體對(duì)彈簧的最大壓力是物重的1.5倍.(1

16、)物體對(duì)彈簧的最小壓力是多少？(2)要使物體在振動(dòng)中不離開彈簧，振幅不能超過多大？【思路點(diǎn)撥】對(duì)豎直方向的彈簧振子分析時(shí)要注意四個(gè)位置特點(diǎn)，平衡位置與彈簧原長(zhǎng)處不同，平衡位置F合 0,速度最大，彈簧原長(zhǎng)處，彈力為零，加速度為g ,速度不是最大.最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，速度均為零，加速度等大、反向，相對(duì)于平衡位置對(duì)稱，而不是相對(duì)于原長(zhǎng)處對(duì)稱.【答案】(1) 0.5mg(2)【解析】(1)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)時(shí)物體對(duì)彈簧的壓力最大，在最高點(diǎn)時(shí)物體對(duì)彈簧的壓力最小.物體在最高點(diǎn)的加速度與在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小相等，回復(fù)力的大小相等.物體在最低點(diǎn)時(shí)：物體在最高點(diǎn)時(shí)：由兩式聯(lián)立解得(2)當(dāng)振幅為A時(shí)即欲使物體

17、在振動(dòng)中不離開彈簧，則最大回復(fù)力可為即由得：即要使物體在振動(dòng)中不離開彈簧，振幅不能超過2A.【總結(jié)升華】對(duì)豎直方向的彈簧振子分析時(shí)要注意四個(gè)位置特點(diǎn)，平衡位置與彈簧原長(zhǎng)處不同，平衡位置F合 0,速度最大，彈簧原長(zhǎng)處，彈力為零，加速度為g ,速度不是最大.最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，速度均為零，加速度等大、反向，相對(duì)于平衡位置對(duì)稱，而不是相對(duì)于原長(zhǎng)處對(duì)稱. 舉一反三：【變式1】關(guān)于回復(fù)力的說法，正確的是().A.回復(fù)力是指物體受到的指向平衡位置的力；B.回復(fù)力是指物體受的合外力；C.回復(fù)力是從力的作用效果來(lái)命名的，可以是彈力，也可以是重力或摩擦的合力； D.回復(fù)力實(shí)質(zhì)上就是向心力.【答案】AC【變式2】一個(gè)

18、質(zhì)點(diǎn)在平衡位置 O點(diǎn)附近做機(jī)械振動(dòng)。若從 O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過3s質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng) 過M點(diǎn)(如圖所示)；再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過 2s它第二次經(jīng)過 M點(diǎn)；則該質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過 M點(diǎn)還需的 時(shí)間是().0 3/ bA . 8s B. 4s C. 14s D. 10s3【答案】CD【解析】由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的對(duì)稱性可知，質(zhì)點(diǎn)由 O a, a O;O M,M O;M b, b M ；所用時(shí)間分別對(duì)應(yīng)相等。又因?yàn)殚_始計(jì)時(shí)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)方向不明確，故應(yīng)分為兩種情況討論。(1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)開始從 O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，而所以有T 16s,故質(zhì)點(diǎn)第三次達(dá)M點(diǎn)還需要時(shí)間為t T 2toM 8s 6s=14s. 2(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)

19、開始從 O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得,-tOM 3s, 2 如'=2s, 2而 所以有tOM - s,3故質(zhì)點(diǎn)第三次達(dá)M點(diǎn)還需要時(shí)間為類型二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)與運(yùn)動(dòng)合成的綜合R,所對(duì)圓心角小于10 ,現(xiàn)例2.如圖所示，在水平地面上有一段光滑圓弧形槽，弧的半徑是 在圓弧的右側(cè)邊緣 M處放一個(gè)小球 A,使其由靜止下滑，則：(1)球由A至O的過程中所需時(shí)間t為多少？在此過程中能量如何轉(zhuǎn)化？(定性說明)(2)若在MN圓弧上存在兩點(diǎn) P、Q ,且P、Q關(guān)于O對(duì)稱，且已測(cè)得球 A由P直達(dá)Q所需時(shí)間為t ,則球由Q至N的最短時(shí)間為多少？(3)若在圓弧的最低點(diǎn) O的正上方h處由靜止釋放小球 B,讓其自由下落，同時(shí)

20、 A球從圓弧右側(cè) 由靜止釋放，欲使 A、B兩球在圓弧最低點(diǎn) O處相遇，則B球下落的高度h是多少？O的過程中球 A的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。(2n 1)2(3) h 82-R(n 0,1,2,3L)【解析】(1)由單擺周期公式 知：球A的運(yùn)動(dòng)周期所以在由A O的過程中球A的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。(2)由對(duì)稱性可知tQN代入數(shù)據(jù)解得Q至N的最短時(shí)間(3)欲使A、B相遇，則兩球運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，且必須同時(shí)到達(dá)O點(diǎn)，一 一1_3A球能到O點(diǎn)的時(shí)間可以是 一T,也可以是一T。故由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性可知兩球相遇所經(jīng)歷的44時(shí)間可以是1- 3(-n)T 或(: n)T (n 0,1, 2, 3L )441丁，一一，、)

21、所以A球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間必為 -T的奇數(shù)倍，即4所以h (2n 1)一R(n 0,1,2,3L ) o8【總結(jié)升華】要抓住圓弧光滑且圓心角小于10這個(gè)條件，隱含條件是小球的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺，即球在圓弧上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。從而利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性以及機(jī)械能守恒定律解決問題。本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤一是不會(huì)利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性；二是不注意周期性帶來(lái)多解問題，誤認(rèn)為從A一 ，一 ，1到O時(shí)間僅為-T 。4【變式】在一加速系統(tǒng)中有一擺長(zhǎng)為l的單擺。(1)當(dāng)加速系統(tǒng)以加速度 a豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的周期多大？若豎直向下加速呢？(2)當(dāng)加速系統(tǒng)在水平方向以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺的周期多大？g【解析】(

22、1)當(dāng)單擺隨加速系統(tǒng)向上加速時(shí),設(shè)在平衡位置相對(duì)靜止的擺球的視重力為F ,如圖甲所示:圖甲m(g a),由得，視重力加速度所以單擺周期lglg a同理，當(dāng)升降機(jī)豎直向下加速時(shí)，視重力F m(g a),則 故第10頁(yè)T22（2）當(dāng)在水平方向加速時(shí)，相對(duì)系統(tǒng)靜止時(shí)擺球的位置如圖乙所示:視重力22F mjg a ,故視重力加速度'-22g Jg a ,所以周期類型三、彈簧振子模型例3.將一勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端系上質(zhì)量為m的物塊.將物塊向下拉離平衡位置后松開，物塊上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)周期恰好等于以物塊平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為擺長(zhǎng)的單擺周 期.請(qǐng)由單擺的周期公式推算出該物塊做簡(jiǎn)諧

23、運(yùn)動(dòng)的周期T.【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真審題，利用相關(guān)公式進(jìn)行替換?！敬鸢浮縏 = 2 Jm單擺周期公式且解得【變式1如圖所示為一彈簧振子，設(shè)向右為正方向，振子的運(yùn)動(dòng)（A. CO時(shí)，位移是正值，速度是正值；B. O B時(shí)，位移是正值，速度是正值；C. B O時(shí)，位移是負(fù)值，速度是負(fù)值；D. CO時(shí)，位移是負(fù)值，速度是負(fù)值.【答案】B【解析】由振子運(yùn)動(dòng)知由 C O B時(shí)v為正，在O點(diǎn)右側(cè)的位移為正，故 B正確?！咀兪?】一彈簧振子做等幅振動(dòng)時(shí)，振子運(yùn)動(dòng)的加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示.則（ ）.A.從0到ti振子的速率逐漸增大；E. 從ti到t2振子的勢(shì)能逐漸減少；C.從12到卜振子的位移由0至正向增大；

24、D.從t3到t4振子的機(jī)械能逐漸減少.【變式3】做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，回復(fù)力和位移的關(guān)系圖是下圖所給四個(gè)圖像中的（【答案】D【解析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)為 F回=-kx .例4.如圖所示，一升降機(jī)在箱底有若干個(gè)彈簧，設(shè)在某次事故中，升降機(jī)吊索在空中斷裂，忽第11頁(yè)略摩擦力，則升降機(jī)在從彈簧下端觸地直到被壓到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動(dòng)過程中（).A .升降機(jī)的速度不斷減小B.升降機(jī)的加速度不斷變大C.先是彈力做的負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做的負(fù)功大于重力做正功D.到最低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重力加速度的值【答案】C、D【解析】本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)豎直彈簧振子的物理模型問題.當(dāng)升降機(jī)吊索斷裂后升降機(jī)先做自由

25、落體運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)撞繌椈蓜傆|地時(shí)，由于重力mg大于彈力F ,所以升降機(jī)仍做向下的加速運(yùn)動(dòng)，隨著彈簧壓縮形變?cè)酱?。向上的彈力也隨之增大，所以向下的合力及加速度不斷變小，直至mg F時(shí)，a 0,速度達(dá)到最大值Vm,這段運(yùn)動(dòng)是速度增大、加速度減小的運(yùn)動(dòng).根據(jù)動(dòng)能定理W Ek,即Wg-WfEk>0 ,所以Wg>Wf ,重力做的正功大于彈力做的負(fù)功.當(dāng)電梯從a 0的平衡位置繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于彈力大于重力，所以加速度方向向上，且不斷變大，而速度F不斷變小直至為0。這段過程中， Wg-WfEk<0 ,所以WG< Wf ,重力做的正功小于彈力做的負(fù)功.由此可知選項(xiàng)A、B錯(cuò)，而C正確.把升

26、降機(jī)視為一個(gè)豎直方向的彈簧振子，如圖所示.彈簧剛觸地時(shí)升降機(jī)的位置在A處，升降機(jī)向下運(yùn)動(dòng)到的最低點(diǎn)位置為 B處，速度最大時(shí)的位置為平衡位置O處.在A點(diǎn)時(shí)有向下的速度，則彈簧振子所到 A點(diǎn)為最大位移處到平衡位置中的一點(diǎn)，即A并非最大位移點(diǎn).而 B點(diǎn)速度為零。應(yīng)是振子平衡位置下方的最大位移點(diǎn)，故 BO AO .既然A位置的加速度aA g方向向下，那么最大位移B處的最大加速度aB am> aA g ,方向向上.選項(xiàng) D正確. m【總結(jié)升華】本題聯(lián)想到豎直方向的彈簧振子模型，并能運(yùn)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，注意到A處與最低點(diǎn)B的不對(duì)稱，才能比較出 aB> aA g ,可以巧妙地化解難點(diǎn). 類型四

27、、單擺的振動(dòng)與牛頓第二定律的結(jié)合例5.如圖所示，物體 A置于物體B上。一輕質(zhì)彈簧一端同定，另一端與 B相連，在彈性限度范 圍內(nèi)，A和B一起作光滑水平面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力） ，并保持相對(duì)靜止.則下列說法正確 的是（）.A. A和B均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)B.作用在A上的靜摩擦力大小與彈簧的形變量成正比C. B對(duì)A的靜摩擦力對(duì) A做功，而A對(duì)B的靜摩擦力對(duì) B不做功D. B對(duì)A的靜摩擦力始終對(duì) A做正功，而 A對(duì)B的靜摩擦力始終對(duì) B做負(fù)功 【思路點(diǎn)撥】分別對(duì)整體、A運(yùn)用牛頓第二定律?！敬鸢浮緼、B【解析】物體 A、B保持相對(duì)靜止，對(duì) AB整體，在輕質(zhì)彈簧作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故 A正確. 對(duì)AB整體，由

28、牛頓第二定律 對(duì)A,由牛頓第二定律 解得 故B正確.第12頁(yè)在靠近平衡位置過程中，B對(duì)A的靜摩擦力做正功， 在遠(yuǎn)離平衡位置過程中，B對(duì)A的靜摩擦力做負(fù)功。A對(duì)B的靜摩擦力也做功，故 C、D錯(cuò). 舉一反三：【變式】?jī)赡緣K質(zhì)量分別為 m M ,用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連在一起，放在水平地面上，將木 塊1壓下一段距離后釋放， 它就上下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 在振動(dòng)過程中木塊 2剛好始終不離開地面 （即它對(duì)地 面最小壓力為零）。求木塊1的最大加速度，木塊 2對(duì)地面的最大壓力。M m【答案】 g 2（M m）gm2剛好未離開地面時(shí),彈簧伸長(zhǎng)量為對(duì)于2:對(duì)于1此時(shí),有最大加速度設(shè)為am,且1應(yīng)在最（Wj點(diǎn)，那么可得：

29、am木塊2對(duì)地面有最大壓力時(shí),1應(yīng)在最低點(diǎn)，此時(shí)壓縮量為 x2,對(duì)于1：得對(duì)于2 ,最大壓力：類型五、單擺與天體運(yùn)動(dòng)的綜合例6.一個(gè)在地球上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺， 其振動(dòng)圖像如圖甲所示，則此單擺的擺長(zhǎng)約為 .今 將此單擺移至某一行星上，其簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像如圖乙所示.若已知該行星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的2倍，則該行星表面的重力加速度為地球表面重力加速度的 倍；該行星的半徑與地球半徑之比為【答案】1m 12 .2 ： 14【解析】由圖甲知其在地球表面上振動(dòng)周期而有近似計(jì)算時(shí)可取2g取10 m/s ,可解得由圖乙知其在某行星上振動(dòng)周期而則由可得【總結(jié)升華】單擺周期與重力加速度有關(guān)，因此很容易與萬(wàn)有引力定律結(jié)合.類

30、型六、復(fù)合場(chǎng)中的單擺例7.如圖所示，單擺甲放在空氣中，周期為T甲；單擺乙放在以加速度 a向下加速的電梯中，周期為T乙；單擺丙帶正電，放在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，周期為T丙；單擺丁帶正電，放在勻強(qiáng)電場(chǎng)E中，周期第13頁(yè)為T丁，那么（）A. T甲丁乙丁丁丁丙B. T乙丁甲T丙丁丁C. 丁丙 T甲丁丁丁乙D. T丁丁甲T丙丁乙【思路點(diǎn)撥】單擺處在電場(chǎng)或磁場(chǎng)中，由于擺球帶電，擺球會(huì)受電場(chǎng)力或磁場(chǎng)力的作用，此時(shí)單 擺的周期是否變化應(yīng)從回復(fù)力的來(lái)源看，如果除重力外，其他的力參與提供回復(fù)力，則單擺周期變化,若不參與提供回復(fù)力，則單擺周期不變.【答案】【解析】對(duì)單擺乙:對(duì)單擺丙:B對(duì)單擺甲:由于擺動(dòng)過程中洛倫茲力總是垂直于速度方向，故不可能產(chǎn)生圓弧切向的分力效果而參與提供回復(fù)力，所以周期不變，即對(duì)單擺丁：由于擺球受豎直向下的重力的作用，同時(shí)受豎直向下的電場(chǎng)力，電場(chǎng)力在圓弧切向產(chǎn)生分力，與重力沿切向的分力一起提供回復(fù)力，相當(dāng)于重力增大了.等效重力故等效重力加速度故周期所以有【總結(jié)升華】單擺處在電場(chǎng)或磁場(chǎng)中，由于擺球帶電，擺球會(huì)受電場(chǎng)力或磁場(chǎng)力的作用，此時(shí)單 擺的周期是否變化應(yīng)從回復(fù)力的來(lái)源看，如果除重力外，其他的力參與提供回