三角形全等的條件 要點(diǎn)全析

1、三角形全等的條件·要點(diǎn)全析 1探索三角形全等的條件 三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角共六個(gè)基本元素，全等三角形的六個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)相等反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)三角形的三組邊對(duì)應(yīng)相等并且三組角也對(duì)應(yīng)相等那么它們必定可以重合，根據(jù)定義，它們一定全等 但是，判定兩個(gè)三角形全等真的需要六個(gè)條件嗎？探索發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)三角形滿足一個(gè)條件（一條邊或一個(gè)內(nèi)角相等）或兩個(gè)條件都不能確定它們是否全等，而滿足三個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件就可以判定兩三角形全等 2三角形全等的條件一：“SSS”或“邊邊邊” （1）SSS：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS” （2）書寫格式：如圖13-2-1 在ABC和ABC中， ABC

2、ABC（SSS） （3）書寫格式的步驟分三步： 第一步：指出在哪兩個(gè)三角形中如上邊的，在ABC和ABC中 第二步：按條件中的邊角順序列出三個(gè)條件如上邊的 第三步；寫出結(jié)論，如上邊的，ABCABC（SSS） 【說(shuō)明】第一步中，兩個(gè)三角形之間的“和”不能寫成“”，也不能取消第二步中，大括號(hào)內(nèi)的三個(gè)條件的書寫是有順序的，必須與判定條件一致，并且注意邊、角字母的對(duì)應(yīng)一般前一個(gè)三角形的邊、角寫在等號(hào)的左邊，另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊、角寫在右邊寫結(jié)論時(shí)，注意對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上，并在后面的括號(hào)內(nèi)注明判定條件的簡(jiǎn)寫，如“SSS”或“邊邊邊” 例如：如圖13-2-2已知ABAC，D為BC中點(diǎn)試說(shuō)明BC是否成立，

3、為什么？ 解：BC成立D為BC中點(diǎn)， BDCD 在ABD和ACD中， ABDACD（SSS） BC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 【說(shuō)明】在本例中使用了證明的格式 在本例中的最后兩步中有兩個(gè)“”符號(hào)，前一個(gè)“”，是由前面大括號(hào)內(nèi)的三個(gè)條件得出的后一個(gè)“”，是將前一個(gè)“”當(dāng)成了“”，然后推出后一個(gè)“”，這里省略了一步：ABDACD因此，今后在書寫中要注意 3三角形全等的條件二：“邊角邊”或“SAS” （1）SAS：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“SAS” （2）表達(dá)格式為在ABC和DEF中（圖13-2-3） ABCDEF（SAS） 例如：如圖13-2-4中，AD、BC相交于點(diǎn)OO

4、AOD，OBOC，那么ABDC是否成立 解：AD、BC相交于點(diǎn)O， AOBDOC（對(duì)頂角相等） 在AOB和DOC中， AOBDOC（SAS）ABDC 【說(shuō)明】本題中，書寫三條件時(shí)，應(yīng)該按邊、角、邊的順序，將兩邊的夾角放在中間，用括號(hào)括起來(lái)；或者寫成一行，也按邊、角、邊的順序，將兩邊的夾角放在中間，再推出兩個(gè)三角形全等 4三角形全等的條件三：“角邊角”或“ASA” （1）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA” （2）表達(dá)格式：如圖13-2-5，在ABC和DEF中， ABCDEF（AAS） 5三角形全等的條件四：“角角邊”或“AAS” （1）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩

5、個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS” （2）表達(dá)格式，如圖13-2-5，在ABC和DEF中， ABCDEF（AAS） 例如：如圖13-2-6中，ABCD，AEDF，ABCD求證：AEDF 證明：ABCD， ABCDCB AEDF，AEBDFC 在ABE和DCF中， ABEDCF（AAS）AEDF 6直角三角形全等的條件：“斜邊、直角邊”或“HL” （1）HL：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL” （2）表達(dá)格式：如圖13-2-7，在ABC中，ADBC于D，ABAC在RtABD和RtACD中， RtABDRtACD（HL） （3）直角三角形是三角形

6、中的一種特殊情況，因此，它也可以用一般三角形全等的條件如兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可用“SAS”，一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等可用“ASA”或“AAS”它的特殊條件就是“斜邊、直角邊” 7“角角角”與“邊邊角” 在三角形全等的條件中，上面已說(shuō)過(guò)的有：三邊的SSS，兩邊一角的SAS和一邊兩角的ASA，AAS，那么“AAA”和“SSA”能否成為三角形全等的條件呢？ （1）有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如圖13-2-8，DEBC，則ADEB，AEDC，AA，ADE與ABC有三角對(duì)應(yīng)相等，但它們沒(méi)有重合，所以不全等 （2）如圖13-2-9，在ABC與ABD中，ABAB，ACAD，BB，但ABC與ABD不完全

7、重合，故不全等也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等 8證明的意義和步驟 （1）證明的意義 證明是由題設(shè)（已知）出發(fā)，經(jīng)過(guò)一步步的推理，最后推出結(jié)論（求證）正確的過(guò)程，簡(jiǎn)單地說(shuō)，證明就是推理過(guò)程 （2）證明的步驟 證明一個(gè)命題為正確的時(shí)候，其步驟如下： 弄清命題的條件和結(jié)論，畫出圖形 根據(jù)條件，結(jié)合圖形，寫出已知 根據(jù)結(jié)論，結(jié)合圖形、寫出求證 寫出證明過(guò)程 證明一個(gè)命題不正確的時(shí)候，只需舉出一個(gè)反例即可 例如：若a2b2，則ab這是一個(gè)錯(cuò)誤命題，證明如下 證明：（5）25225，而55 若a2b2，則ab，是一個(gè)錯(cuò)誤命題 9證明題目時(shí)常用的三種方法 在探索三角形全等的過(guò)程中

8、，經(jīng)常要遇到條件不足或結(jié)論不易尋找等問(wèn)題，如何分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系，常用的分析方法有以下三種： （1）綜合法 就是從題目的已知條件入手，根據(jù)已學(xué)過(guò)的定義、定理、性質(zhì)、公理等，逐步推出要判斷的結(jié)論，有時(shí)也叫“由因?qū)Чā?例如：如圖13-2-10，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F 求證：BFDE 分析：從已知條件到推出結(jié)論，其探索過(guò)程如下 BFDDEC（ASA） BFDE（目標(biāo)） 以上這種由因?qū)Ч姆椒ň褪蔷C合法 （2）分析法 就是從要判斷的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已學(xué)的定義、定理、公理、性質(zhì)等，倒過(guò)來(lái)尋找能使結(jié)論成立的條件，這樣一步步地遞求，一直追溯到結(jié)論成

9、立的條件與已知條件相吻合為止，有時(shí)也叫“執(zhí)果索因法” 如上題，用分析法的探索過(guò)程如下： BFDEBFDDEC （3）分析綜合法 在實(shí)際的思考過(guò)程中，往往需要使用這兩種方法，先從結(jié)論出發(fā)，想一想需要什么條件，層層逆推，當(dāng)思維遇到障礙時(shí)，再?gòu)臈l件出發(fā)，順推幾步，看可以得出什么結(jié)論，從而兩邊湊，直至溝通“已知”和“結(jié)論”的兩個(gè)方面 即： 例如：如圖13-2-11，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上任一點(diǎn)，連接EB、EC， 求證：EBEC 分析：本題比較復(fù)雜，可用上述的三個(gè)方法均可，現(xiàn)在以分析一綜合法為例，說(shuō)明分析過(guò)程 先用綜合：由因?qū)Ч?ABDACD 再用分析：執(zhí)果索因 EBECABE

10、ACEABDACD 證明：D是BC的中心，BDCD 在ABD和ACD中 ABDACD（SSS）BADCAD 在ABE和ACE中 ABEACE（SAS） BECE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 【說(shuō)明】本題證明過(guò)程中，后一次三角形全等，也可選BDECDE，方法同上 本題兩次用到全等三角形，在分析中應(yīng)找準(zhǔn)三角形，理清思路 10判定兩個(gè)三角形全等方法的選擇 選擇哪種方法判定兩個(gè)三角形全等，要根據(jù)具體已知條件而定，見下表：已知條件尋找條件判定方法邊一角對(duì)應(yīng)相等一邊SAS一角SAS或AAS兩角對(duì)應(yīng)相等一邊ASA或AAS兩邊對(duì)應(yīng)相等一角SAS一邊SSS 11如何選擇三角形判定全等 在學(xué)過(guò)本節(jié)內(nèi)容之后，經(jīng)常會(huì)遇

11、到判定兩條線段相等，兩個(gè)角相等的問(wèn)題，而要判斷它們相等，就要考慮選擇三角形全等如何選擇三角形呢？可考慮以下四個(gè)方面： （1）可以從判斷的結(jié)論（線段或角）出發(fā)，尋找這些結(jié)論在哪兩個(gè)可能的全等三角形中，就試著判定兩個(gè)三角形全等 （2）可以從題目的已知條件出發(fā)，看已知條件能確定哪兩個(gè)三角形全等就判定它們?nèi)?（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后判定它們?nèi)?（4）如果以上方法都行不通，可考慮添加輔助線的辦法，構(gòu)造三角形全等 例如：如圖13-2-12，已知ABAC，BDCD，試判斷B與C的關(guān)系，并說(shuō)明理由 分析：要判斷B與C的關(guān)系，先看B與C是否在兩個(gè)全等三角形中，而此題沒(méi)

12、有兩個(gè)全等三角形，只有一個(gè)四邊形，目前由已知條件四邊形ABDC，要?jiǎng)?chuàng)造三角形，可以連接AD或BC，那么連接誰(shuí)更合適呢？ 若連接AD，則B、C分在左、右兩個(gè)三角形中，若全等，則BC，事實(shí)上，BC，若連接BC，則B、C分在上、下兩個(gè)三角形中，根據(jù)目前所學(xué)知識(shí)還不能確定BC因此，連接AD較為合適 解：BC 連接AD， 在ABD和ACD中， ABAC，BDCD，ADAD（公共邊）， ABDACD（SSS）BC 12探索三角形全等時(shí)常作的輔助線 在利用三角形全等進(jìn)行解題時(shí)，有時(shí)題目所給條件不足或不明顯，還需從題目本身或圖形中挖掘它的隱含條件，還有的需加上一些輔助線，為解題鋪路搭橋，起到很好的輔助作用，這

13、些輔助線常見的有以下幾種： （1）連接圖形中的已知點(diǎn)，構(gòu)造全等形 例如：如圖13-2-13，已知AC、BD相交于O點(diǎn)，且ABCD，ACBD，判斷A與D的關(guān)系，并說(shuō)明理由 解：AD連接BC， 在ABC與DCB中， ABDC，ACDB，BCCB， 則ABCDCB（SSS） 因此AD （2）取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形 例如：如圖13-2-14，已知在梯形ABCD中，ABDC，AD，試判斷ABC與DCB的關(guān)系，并說(shuō)明理由 解：ABCDCB 取AD的中點(diǎn)N，取月C的中點(diǎn)M 連接MN、BN、CN，則ANDN，BMCM，在ABN和DCN中， ABNDCN， 則ABNDCN，NBNC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊

14、相等） 在BMN和CMN中， BMNCMN， 則MBNMCN（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 那么ABNMBNDCNMCN 即ABCDCB 【說(shuō)明】在本題中，輔助線起到了很好的橋梁作用，為解題創(chuàng)造了條件 （3）有角平分線時(shí)，常在角兩邊截相等的線段，創(chuàng)造全等三角形 如圖13-2-15，OC平分AOB，在OC上任取一點(diǎn)P，在OA、OB上截取OMON，連接PM、PN，那么，PMPN 事實(shí)上，在MOP和NOP中， OMON，MOPNOP，OPOP， 則MOPNOP（SSS） 因此有PMPN （4）三角形中有中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形 如圖13-2-16，在ABC中，AD為BC邊上的中線，若延長(zhǎng)AD至E，使ADDE，連接BE，在ACD和EBD中，BDCD，12，ADED，則ACDEBD，因此BEAC 13利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題的步驟 全等三角形在日常生活、科技生產(chǎn)中有很多的用途，在用它解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)可分以下幾個(gè)步驟： （1）先明確實(shí)際問(wèn)題與哪些知識(shí)有關(guān)，確定用哪些知識(shí)來(lái)解決 （2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫出圖形 （3）結(jié)合圖形寫出已知和結(jié)論 （4）分析已知，找出解決問(wèn)題的途徑 （5）寫出解決問(wèn)題的過(guò)程（或探索過(guò)程） 例如：如圖13-2-17，要測(cè)河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，可以在AB的垂線BF